Fórum: Nehezebb matematikai problémák

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[3] nadorp

2003-12-02 17:11:35

Megoldás a 3. feladatra.

Az ember a szimmetria miatt akaratlanul arra gondol, egyenlőség csak $a=b=c=\frac1{\sqrt3}$ esetén van. Ekkor a balodalon álló összes tört értéke $\frac{\sqrt3}2$ . Másrészt $\frac{3{\sqrt3}}2\cdot(\frac1{\sqrt3})^2=\frac{\sqrt3}2$ is teljesül, ezért az

$\frac{x}{1-x^2}-\frac{3{\sqrt3}}2\cdot{x^2}=0$

egyenletnek az $\frac1{\sqrt3}$ szám gyöke,ezért belőle a $\sqrt3x-1$ kifejezés kiemelhető. Valóban, nem részletezve a számolást, a fenti egyenlet bal oldalára a következőt kapjuk:

$\frac{x({\sqrt3}x-1)^2({\sqrt3}x+2)}{1-x^2}$ , ami a (0;1) nyílt intervallumon nemnegatív.

Most már az eredeti feladat könnyen megoldható. A fenti egyenelet bal oldalán szereplő kifejezésbe helyettesítsük rendre az a,b és c számokat és adjuk össze ezt a három kifejezést. Felhasználva a négyzetösszegekre vonatkozó feltételt, pont a kívánt egyenlőtlenséget kapjuk.

Előzmény: [2] Pach Péter Pál, 2003-12-01 22:09:03

[2] Pach Péter Pál

2003-12-01 22:09:03

A továbbiakban „Bizonyítsuk be, hogy” röviden „Bbh” lesz. Kezdetnek négy feladat: (Kedvcsinálónak könnyebb példa is van köztük. :-))

1. feladat: Bbh bármely véges csoporthoz létezik olyan véges egyszerű gráf, amelynek az automorfizmuscsoportja izomorf vele.

2. feladat: Bbh egy gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha akárhogyan is hagyunk el néhány pontot (és a belőlük kiinduló éleket), a maradékban a páratlan komponensek száma nem nagyobb az elhagyott pontok számánál. Megjegyzés: bocs mindenkitől, aki ismeri.

3. feladat: 0<a,b,c<1 és a²+b²+c²=1. Bbh

$%> \frac a{1-a^2}+\frac b{1-b^2}+\frac c{1-c^2}\ge\frac{3\sqrt3}{2}$

4. feladat: x,y,z nemnegatívak, bbh

9(x²+yz)(y²+zx)(z²+xy) $\le$ 8(x³+y³+z³)²

[1] Pach Péter Pál	2003-12-01 22:04:53
Azért nyitottam ezt a témát, hogy a nehezebb példákat is kitűzhessük valahol. Tehát itt olyan feladatokat adnánk fel és oldanánk meg, amiket nem írunk be az Érdekes matekfeladatok-hoz, mert nehéznek érezzük őket. Természetesen kevésbé nehéz példákat is kitűzhetünk, senki se tartson vissza példát csupán azért, mert aggódik, hogy az nem elég kemény.

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34]

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?