Fórum: Nehezebb matematikai problémák

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[373] Sirpi

2006-09-28 11:52:25

Igen ez az. Az egyszerűség kedvéért legyen a sugár egységnyi (a végén szorozni kell 6000-rel). Ekkor $\alpha$ kezdőszög esetén a teljes úthossz (az egyes tagokhoz tartozó ívek sorrendben követik egymást):

$\frac1{\cos \alpha} + \tg \alpha + (\frac 32 \pi - 2\alpha) + 1$

Ezt deriválva, és nullhelyet keresve:

$\frac {\sin \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac1{\cos^2 \alpha} - 2 = 0$

Átszorozva, felhasználva a cos² $\alpha$ =1-sin² $\alpha$ azonosságot és rendezve:

2sin² $\alpha$ +sin $\alpha$ -1=0

(2sin $\alpha$ -1)(sin $\alpha$ +1)=0

Vagyis $\alpha$ =-90^o (ez nem jó), vagy $\alpha$ =30^o, ahonnan a teljes úthossz:

$\sqrt 3 + \frac 76 \pi + 1$

Ezt 6000-rel szorozva kijön a 38384m (felfelé kerekítve).

Előzmény: [372] Hajba Károly, 2006-09-28 11:04:26

[372] Hajba Károly	2006-09-28 11:04:26
Hát ha szebb szög, akkor itt a megoldás ... :o) ... és valóban 38.384 m.

Előzmény: [370] Sirpi, 2006-09-28 10:30:41

[371] Hajba Károly	2006-09-28 10:54:08
Először az erdő széle ferdén volt nálam, azért nem jöttem rögtön rá a javításra. Az új rajz szerint felírtam egy képletet, deriváltam is, de nem jött ki használható eredmény. Vagy elfelejtettem deriválni vagy rossz képletet állítottam fel. Jelenleg nem találom a hibámat, ezért helyben topogok. Legfeljebb grafikai úton tudnék iteratív módszerrel tovább lépni, de az időrabló tevékenység.
Előzmény: [370] Sirpi, 2006-09-28 10:30:41

[370] Sirpi	2006-09-28 10:30:41
Alakul az, csak a kezdőszög nem optimális (az ugyanis egy jóval szebb szög :-) ).
Előzmény: [369] Hajba Károly, 2006-09-28 08:27:48

[369] Hajba Károly	2006-09-28 08:27:48
Lemaradt, így 38.628 m.
Előzmény: [368] Hajba Károly, 2006-09-28 08:26:51

[368] Hajba Károly	2006-09-28 08:26:51
Most már sejtem, de az alábbi eltérés szerint még optimalizálni kellene.

Előzmény: [367] Hajba Károly, 2006-09-28 08:19:01

[367] Hajba Károly	2006-09-28 08:19:01
OK. Spirál-elmélet ejtve. :o) Nekem 38.831 m jött ki, mint legkisebb. Neked hogyan jött ki a kisebb hossz?

Előzmény: [366] Sirpi, 2006-09-27 22:21:22

[366] Sirpi	2006-09-27 22:21:22
Mivel a 6km sugaró kör kerületére mindenképp ki kell valamikor menni, vegyük az első pontot, ahol a kör határát érintjük. Eddig a pontig érdemes egyenes vonalban kivágtatni, különben nem optimális a stratégia. Asszem ezzel megcáfoltam a spirálelméletet :-)
Előzmény: [365] Hajba Károly, 2006-09-27 19:40:29

[365] Hajba Károly

2006-09-27 19:40:29

Elvileg nem egy olyan spirál eleje lenne, aminek a visszakanyarodó vonalszakaszai egyforma távolságra helyezkednek el?

$r(\alpha)=d(n - 1 + \frac{\alpha}{2\pi})$

n $\in$ N⁺ - spirálkör sorszáma

d - két spirálkör távolsága

Előzmény: [364] Sirpi, 2006-09-27 16:11:17

[364] Sirpi	2006-09-27 16:11:17
Egyébként ez az utolsó eredményem már 4 egymáshoz csatlakozó ívből jön ki, nem 3-ból, mint amiről az ábra készült. Ha lesz rá igény, írok róla bővebben, de éppen más is megteheti :-)
Előzmény: [363] Sirpi, 2006-09-27 08:05:15

[363] Sirpi

2006-09-27 08:05:15

38384m :-) És ezt már nem tudom tovább javítani, nem tudom, lehet-e.

Amúgy én nyáron a pusztafalui matektáborban másfél órás előadást tartottam erről a legrövidebb úthálózatos problémáról, úgyhogy talán nem szólnék hozzá egyelőre.

Előzmény: [361] Sirpi, 2006-09-27 07:44:12

[362] Hajba Károly

2006-09-27 07:45:20

Üdv!

Nehezítsük rizsesz előbbi példáját az aálatlánosítás felé:

- Mi a helyzet a szabályos ötszög esetén?

- Mely szabályos sokszögeknél lesz a legrövidebb úthálózat a sokszög kerülete és melyeknél nem?

[361] Sirpi	2006-09-27 07:44:12
Na, egy kicsit módosítottam a vonalon és most 40275 helyett csak 39558m-t kell gyalogolni, sőt, még ez se tökéletes.
Előzmény: [359] Sirpi, 2006-09-26 12:17:09

[360] rizsesz	2006-09-26 22:13:21
köszönöm Sirpi.

[359] Sirpi	2006-09-26 12:17:09
Az első feladatnál annak belátásához, hogy az itt látható úthálózat optimális, érdemes felhasználni azt az önmagában is érdekes tényt, hogy minden olyan háromszögben, melynek legnagyobb szöge legfeljebb 120 fokos, a háromszög izogonális pontja az a pont, melynek a csúcsoktól vett távolságösszege minimális. Izogonális pontnak azt a pontot nevezzük, melyből minden oldal 120 fokos szög alatt látszik.

Előzmény: [358] rizsesz, 2006-09-26 11:06:20

[358] rizsesz

2006-09-26 11:06:20

Kedves Sirpi és Yegreg!

Milyen vonalon mozognak a kedves feladatban szereplő barátaink?

[357] Hajba Károly	2006-09-25 23:45:38
E témával talán egy orosz matematikus foglalkozott és a KöMaL 80-as évek eleji valamely számában volt róla szó.
Előzmény: [356] rizsesz, 2006-09-25 23:02:38

[356] rizsesz	2006-09-25 23:02:38
akkor elmondom, hogy én eddig mit gondolkodtam :) a kiindulási pontban állva, egy olyan vonalat kell rajzolni, ami amelynek akármilyen elforgatása mellett van közös pontja a szabadsággal. akármennyire akarom, nem tudom megtalálni a legjobb alakzatot. asszem még nem találkoztam ilyen feladattal nagyon.

[355] Sirpi	2006-09-25 22:41:40
Hát ez nem nevezhető valami hajjdebonyinak, tudod 3 részből áll, mint a rovarok: fej, tor, potroh :-)
Előzmény: [354] rizsesz, 2006-09-25 22:07:25

[354] rizsesz	2006-09-25 22:07:25
Igazából én buta vagyok :) a stratégia leglebutítottabb verziója, ha ember számára érthető, nekem már tökéletes. :)

[353] Sirpi	2006-09-25 21:23:44
A b) részre nekem kicsit kevesebb, mint 40275m jött ki, ami ha jól számolom, belül van 42195-ön :-)
Előzmény: [351] rizsesz, 2006-09-25 18:06:09

[352] Yegreg	2006-09-25 20:45:15
54,64102 km is elég :)

[351] rizsesz

2006-09-25 18:06:09

2 remek stratégia-alkotó feladat:

a., adott 4 város, melyek egy 20 egység oldalú négyzet sarkaiban vannak. lehetőségünk van 55 km út kiépítésére, de többre nem. ezek segítségével kiépíthető olyan út-rendszer, melyeken bármely városból bárhova el lehet-e jutni? b., Egy kirándulónk egy félsík alakú erdőben tévedt el. Ismert, hogy legfeljebb 6km-t tett meg az. A maratoni távnál kisebb séta alatt ki tud-e jutni, magyarul a legrosszabb esetben is olyan stratégiája van, hogy kijut.

[350] jonas

2006-09-18 13:45:23

Nem is tudom.

Először is $x/2 = \log\sqrt{e^x}$ amiből 2x=1/((1/x)/2) amiből pedig x²=exp(2log x) tehát a négyzetreemelést pontosan el tudjuk végezni.

Ha lenne 2 alapú logaritmusunk és exponensünk is, akkor most egyszerű dolgunk lenne:

n=log₂(2^.2...2^.2^.1)

1=2ⁿ/2/2/.../2/2

Előzmény: [349] rizsesz, 2006-09-18 13:00:49

[349] rizsesz	2006-09-18 13:00:49
a [342]-es hozzászólásomra nincsen valakinek valami remek ötlete?

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34]

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?