Kedves Péter!
A negyedik feladat megoldásával is megelőzött nadorp, azért leírom az enyémet:
A megoldás során két jól ismert egyenlőtlenséget fogunk felhasználni. Az egyik a hatványközepekre vonatkozó egyenlőtlenség, amely szerint ha , akkor nem negatív számok -adik hatványközepe nem nagyobb a -adik hatványközepüknél. x,y,z négyzetes és köbös hatványközepére:
Mindkét oldalt 6-odik hatványra emelve, és 8/9 -del beszorozva kapjuk:
A másik egyenlőtlenség két számsorozat "skaláris szorzatára" vonatkozik, amely szerint az akkor maximális, ha a sorozatok egyezőleg rendezettek, minimális, ha ellenkezőleg rendezettek. Például x,y,z -re
xy+yz+zxx2+y2+z2
A bizonyítandó egyenlőtlenség bal oldalának zárójeles kifejezéseire alkalmazva a számtani-mértani közép egyenlőtlenségét majd köbre emelve és 9-cel beszorozva:
Ebben az egyenlőtlenségben a jobboldal (a "skalár szorzatos" egyenlőtlenség miatt):
A két utóbbi és a hatványközepekre vonatkozó egyenlőtlenséget összevetve kapjuk a bizonyítandó állítást:
A 3. feladat megoldását nem gondoltam végig, mert nadorp megoldása egyszerűbb, azért ezt is leírom. Az helyettesítést bevezetve a bizonyítandó egyenlőtlenség . A feltételek ,,hegyesszögű háromszöget adnak meg.
|