Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Versenyfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[20] nadorp2004-01-12 10:30:08

Kedves László !

Természetesen nem haragszom a megoldás átalakítása miatt,így egyszerűbb lett. Viszont, ha már itt tartunk, akkor általánosítsuk a 7. feladatot.

7a.feladat: Legynek a, b, c rögzített pozitív valós számok. Határozzuk meg az

a.cos\alpha+b.cos\beta+c.cos\gamma kifejezés maximumát, ha \alpha,\beta,\gamma egy háromszög szögei ( a 7. feladatban a=b=c=1 ).

Előzmény: [17] lorantfy, 2004-01-11 11:21:59
[19] lorantfy2004-01-12 08:35:54

Kedves Tmbjg!

Alapszabály, hogy kitűzütt feladatokról nem beszélünk itt a fórumon. Általánosságban azt tudom hozzáfűzni az ilyen értelmezésbeli problémákhoz, hogy ha a feladat nem zár ki egy értelmezést akkor azt a lehetőséget is meg kell vizsgálni a megoldásban. Tehát, ha nem vagy biztos benne, hogy a léc csak téglalap keresztmetszetű lehet, akkor vizsgáld meg pl. a trapéz esetet is.

Előzmény: [18] tmbjg, 2004-01-11 21:24:38
[18] tmbjg2004-01-11 21:24:38

Kedves László, nem tudom jó helyen kopogtatok-e, de egyszerűen nem tudom értelmezni a C.642-es feladatot, ott az áll, hogy egy farönkből vágunk ki "léceket" veszteség nélkül. Eddig úgy tudtam a "léc" keresztmetszete téglalap, de mi van ha trapézre gondolt a feladat írója? Vagy nincs is két párhuzamos oldala?? (Azért nem szeretem az olyan feladatokat amelyek vmilyen konkrét dologról szólnak, amellett hogy ezek állnak legtávolabb a valóságtól, mert mindig nyitva marad egy kérdés ami az egészet zavarossá teszi(: Egy Elkeseredett Versenyző

[17] lorantfy2004-01-11 11:21:59

Kedves Nádorp!

Nagyon tetszik a megoldásod! A Jensen-egyenlőtlenség nem középiskolás tananyag, de a versenyzők biztosan találkoztak már vele. A könyvajánlóba felteszek egy ügyes kis könyvecskét, amiben többek között ez is szépen le van írva.

Nem haragszol ha kicsit átalakítom a megoldásodat?

Mivel a levágott háromszögek hasonlóak az eredeti háromszöghöz a talpponti háromszögben:

T2T3=acos \alpha  T1T3=bcos \beta  AT3T2\angle=BT3T1\angle=180o-2\gamma

T_{T_1T_2T_3}=\frac{a \cos \alpha b \cos \beta \sin (2\gamma)}{2}=\frac{ab \sin \gamma}{2}2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma \leq \frac{1}{4}

Tehát azt kell csak belátnunk, hogy

\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma \leq \frac{1}{8}

Ehhez pedig elegendő belátni, hogy

\cos \alpha +\cos \beta+ \cos \gamma \leq \frac{3}{2}

Ugyanis ebből a számtani-mértani közép egyenlőtlenség felhasználásával már következik a szorzatra vonatkozó állítás.

Ez volt a Pest megyei matekverseny utolsó feladata is a 11. évfolyamosoknak:

7. feladat Biz. be, hogy ha \alpha,\beta,\gamma egy háromszög szögei, akkor

\cos \alpha +\cos \beta+ \cos \gamma \leq \frac{3}{2}

( A Jensen-egyenlőtlenség felhasználása nélkül!)

Előzmény: [16] nadorp, 2004-01-06 12:33:28
[16] nadorp2004-01-06 12:33:28

Kedves László!

Van egy megoldásom a 6. feladatra, de nem túl szép. A Te ábrád jelöléseit fogom követni, mert az Euklides ( legalábbis a shareware verzió) nekem nem nyerte el a tetszésemet.

Először is könnyű látni, hogy a CT2T1 háromszög hasonló az ABC háromszöghöz, mert a szögeik egyenlőek. (Az ABT1T2 négyszög húrnégyszög, ezért a CAB szög és a T2T1C szögek egyenlőek). Ha \gamma jelöli a C-nél levő szöget, akkor CT2=CBcos\gamma, ezért a területekre T_{CT_2T_1}=T_{\Delta}cos^2\gamma. Ugyanezt megcsinálva az A és B csúcsra is, kapjuk

(cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma)T_{\Delta}+T_{T_1T_2T_3}=T_{\Delta}.

Felhasználva azt a könnyen belátható összefüggést a háromszög szögeire, hogy

(cos2\alpha+cos2\beta+cos2\gamma)=1-2.cos\alphacos\betacos\gamma kapjuk, hogy

T_{T_1T_2T_3}=2cos{\alpha}cos{\beta}cos{\gamma}T_{\Delta}

Mivel a cosinus függvény hegyesszögekre pozitív és konkáv, ezért alkalmazva a számtani és mértani közép közti összefüggést utána meg a Jensen egyenlőtlenséget,kapjuk

T_{T_1T_2T_3}\le2\left(\frac{cos\alpha+cos\beta+cos\gamma}{3}\right)^3T_{\Delta}\le2cos^3\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)T_{\Delta}=\frac14T_{\Delta}

Előzmény: [15] lorantfy, 2004-01-04 13:44:20
[15] lorantfy2004-01-04 13:44:20

Kedves Fórumosok!

A 3. feladat bizonyításához szükségem lenne egy háromszög és tapponti háromszögének területarányára. Egyenlőre vizsgáljunk hegyesszögű háromszöget!

6. feladat

Biz. be, hogy egy hegyesszögű háromszög talpponti háromszögére:

T_{talpponti \Delta} \leq \frac{1}{4}T_\Delta

Megjegyzés: A tapponti háromszöget a magasságok tappontjai alkotják.

Egy nevezetes tulajdonsága: A háromszög különböző oldalain lévő három pont által alkotott háromszögek közül ennek a legkisebb a kerülete.

Előzmény: [7] Pach Péter Pál, 2003-12-08 20:11:31
[14] lorantfy2003-12-30 22:12:51

Kedves Suhanc!

Nagyon jó a térbeli hatszöges példád. Ebből már csak egy lépés az ötszög. Vegyük ki a térbeli hatszög egy élét és a szabadon maradt szakaszvégeket próbáljuk összeérinteni úgy, hogy a többi él között megmaradjon a derékszög. Ezt mutatja a [10] hozzászólás ábrája. A CDE szöget kelleni kiszámítani! A zölddel jelölt szakaszok \sqrt2 hosszúak.

Azt hiszem ez a versenyfeladatok téma akkor lehetne népszerűbb, ha részeredményeket, ötleteket is megosztanánk egymásssal.

Előzmény: [13] Suhanc, 2003-12-29 17:54:50
[13] Suhanc2003-12-29 17:54:50

Nem sok eredményem van, de látom, más se küldött megoldást... Az 1. feladat második kérdésére, a térbeli hatszögre a válasz:igen! Tekintsük egy kocka egyik testátlóját. A testátlóhoz tartozó 2 csúcsot, valamint a belőlük kiinduló éleket tüntessük el. A maradék 6 csúcs, és az azokat összekötő 6 él egy olyan térbeli hatszöget határoz meg, amelyre teljesülnek a feladat feltételei.

Az ötszögre egyenlőre nincs ötletem (sejtés: nem lehet), majd gondolkodom rajta...

[12] lorantfy2003-12-11 13:08:19

Ha már megvan az ábra kitaláltam hozzá egy új feladatot. Versenyfeladatnak talán túl könnyű, egy kis térlátási gyakorlat.

5. feladat:

Az ábra szerinti szakaszok AB=BC=AD=r.

k1 egy r sugarú körfűrész, középpontja C. k2 r sugarú körlap, középpontja D.

Milyen idomot vág ki a körfűrész a körlapból, ha

a) a k1 kör C középpontja a B középpontú körön halad végig és közben k2 áll?

b) k1 áll és k2 kör D középpontja az A középpontú körön halad végig, k2 pedig a B középpontú körön gördül?

[11] lorantfy2003-12-10 22:09:30

Spec. esetek a 3. feladatnál.

[10] lorantfy2003-12-10 22:03:47

Kedves Fórumosok!

Jó lenne ha megoldások is érkeznének. Teszek fel pár ábrát az 1. és 3. feladatokhoz, hátha valaki kedvet kap...

[9] Rácz Béla2003-12-08 22:57:06

Hihetetlen mennyiségű versenyfeladat található meg a következő címen (angolul, sok esetben kidolgozott megoldásokkal):

www.kalva.demon.co.uk

[8] Rácz Béla2003-12-08 22:45:08

Hadd idézzem kedvenc diákolimpiai feladatomat:

1987/6. Legyen n 2-nél nem kisebb egész szám. Bizonyítsuk be, hogy ha k2+k+n értéke prímszám minden olyan k egészre, amelyre 0\le k\le \sqrt{\frac n3} teljesül, akkor k2+k+n értéke minden olyan k-ra is prím, amely kielégíti a 0\lek\len-2 feltételt.

[7] Pach Péter Pál2003-12-08 20:11:31

Még két régi Kürschák-példa:

2. feladat Bebizonyítandó, hogy ha egy háromszög a,b,c oldalaira és szemközti \alpha,\beta,\gamma szögeire

a(1-2cos \alpha)+b(1-2cos \beta)+c(1-2cos \gamma)=0,

akkor a háromszög szabályos.

3. feladat Egy háromszög csúcsait tükrözzük a velük szemközti oldalegyenesekre. Bizonyítsuk be, hogy az így kapott három pont által alkotott háromszög területe kisebb az eredeti háromszög területének ötszörösénél.

[6] lorantfy2003-12-08 18:22:51

1. Feladat:

Van-e olyan térbeli ötszög, melynek oldalai egyenlők, és bármely két szomszédos oldala derékszöget alkot? És térbeli hatszög ?

[5] lorantfy2003-12-07 19:23:15

Kedves Evilcman!

Lehet, hogy igazad van. A "Számelméleti érdekességek" már régebben kivált a fő topicból, meg a biliárdgolyós téma is. Ha neked pl.kedvenced a gráfelmélet nyíss egy külön témát és ha van elég érdeklődő menni fog...Én biztos ott leszek, mert ebben a témában el vagyok maradva.

Előzmény: [4] evilcman, 2003-12-07 18:24:04
[4] evilcman2003-12-07 18:24:04

Szerintem jobb lenne olyan felosztas hogy pl.:Számelméleti feladatok, Gráfelméleti feladatok stb. mivel úgyis az Érdekes feladatok téma feladatainak a többsége is versenyfeladat volt, és egy ilyen tematikus rendezés sokkal áttekinthetőbb mint több nagyjából ugyanolyan célú topic.

[3] lorantfy2003-12-07 15:11:07

Kedves Zoli!

Kösz az egyetértő támogatást! Szerinten jöhetnek ide a fizika versenyfeladatok is!

Előzmény: [2] SchZol, 2003-12-07 14:06:39
[2] SchZol2003-12-07 14:06:39

Kedves László!

Én is egyet értek veled és Gyurival is, tényleg jobb egy külön téma a versenyfeladatoknak.

Ide csak matek példákat gondoltatok vagy fizikákat is? Csak, mert az Izsák és a Cornides versenynek is voltak fizikából kitűzött feladatai, amit szívesen megosztanék a többiekkel, ha van rá igény, de azokat akkor nem az Érdekes fizika feladatok témába írnám.

Üdv, Zoli

Előzmény: [1] lorantfy, 2003-12-07 13:45:46
[1] lorantfy2003-12-07 13:45:46

Azért nyitom ezt a témát, mert egyetértek Gyurival abban, hogy:

"Talán attól Érdekes egy feladat, hogy valami szellemesség, csalafintaság, meglepő eredmény vagy humor fűszerezi."

Ez a téma lenne az új és régebbi versenyfeladatoké, kivéve persze az OKTV feladatokat és a lejárt határidejű KÖMAL feladatokat, mert ezeknek már van saját témájuk.

(Arany Dániel, Kürschák József Matematika verseny, Megyei Matekversenyek... jöhetnek ide!)

Ettől föggetlenül persze mindenki abba a témába teszi fel a feladatait, ahová jónak látja!

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]