Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1056] BohnerGéza2008-06-04 12:50:33
Előzmény: [1055] HoA, 2008-06-04 10:00:34
[1055] HoA2008-06-04 10:00:34

A 134/a feladat megoldása: Az egymást nem metsző k1 és k2 körök által maghatározott körsor legyen KS1 , nullkörei N1 és N2 . k3 ne haladjon át N2-n, a k3 és N2 által maghatározott körsor legyen KS2 , ennek másik nullköre N3 , a keresett inverzió I, alapköre C, ennek középpontja O. Mivel egy elliptikus körsor köreinek középpontjai a nullkörök által meghatározott egyenesen vannak, köreink inverzeinek, k1',k2'ésk3' köröknek a középpontjai csakkor lesznek egy egyenesen, ha N1' N2' és N3' is. N1' és N2' e1' egyenese I-nél a KS1 körsor ortogonális korsora, KO1 azon ko1i körének lesz az inverze, amelyik O-n áthalad, vagyis az N1 , N2 és O pontok által meghatározott körnek. Hasonlóan N2' és N3' e2' egyenese a KS2 körsor ortogonális korsora, KO2 azon ko2j körének lesz az inverze, amelyik O-n áthalad, vagyis az N2 , N3 és O pontok által meghatározott körnek. e1' és e2' tehát csakkor azonos, ha ko1i és ko2j azonosak, vagyis ko1i = ko2j az N1 , N2 és N3 pontok által meghatározott kör, melyre O is illeszkedik. Ez persze az ortogonalitás miatt megegyezik [1049] e körével, így a megoldás folytatható az ott leírtak szerint, a nullkörök és körsorok megszerkesztése nem szükséges. Az egyszerűbb gyakorlati kivitelezést eredményező O és C megválasztás ebben a terminológiában úgy fogalmazható, hogy legyen C a KO1 azon köre, melynek O középpontja e -re illeszkedik. Ekkor KS1 inverze önmaga.

Előzmény: [1053] BohnerGéza, 2008-05-30 23:09:00
[1054] HoA2008-06-02 13:42:59

További segítségként a 134/a feladathoz feloldom az [1048]-beli észrevételt: Két kör által meghatározott körsor nullköreinek inverze adott inverziónál megegyezik a körsor inverzének nullköreivel.

Előzmény: [1053] BohnerGéza, 2008-05-30 23:09:00
[1053] BohnerGéza2008-05-30 23:09:00

Pontosítom a feltételt, ezzel segítek is: 134/a feladat: A 134. feladatban tegyük meg ezt a kikötést: a 3 kör közt van kettő, melyek nem metszik egymást, és az általuk meghatározott körsor legalább egyik nullkörén nem megy át a harmadik kör. Ekkor HoA előbbi megoldásán túl adódik egy másik megoldás is.

Előzmény: [1052] BohnerGéza, 2008-05-28 20:19:50
[1052] BohnerGéza2008-05-28 20:19:50

Elég, ha van két kör melyeknek nincs közös pontja.

Előzmény: [1051] BohnerGéza, 2008-05-28 20:13:06
[1051] BohnerGéza2008-05-28 20:13:06

Köszönöm HoA megoldását, egyben kitűzöm könnyítve a feladatot:

134/a feladat: A 134. feladatban tegyük meg azt a kikötést, hogy a 3 körnek nem lehet közös pontja. Így az előbbi mo-tól eltérő is megadható!

Előzmény: [1050] HoA, 2008-05-28 08:11:09
[1050] HoA2008-05-28 08:11:09

2. ábra

Előzmény: [1049] HoA, 2008-05-28 08:10:03
[1049] HoA2008-05-28 08:10:03

Legyenek az adott körök k1,k2ésk3, a keresett inverzió I, alapköre C, ennek középpontja O. A körök inverzei k1',k2'ésk3' , e három kör közös szimmetriatengelye e' . Mivel az inverzió saját inverz művelete, k1',k2'ésk3' inverze I-nél k1,k2ésk3. O nem lehet e'-n, mert ekkor a szimmetria miatt k1,k2ésk3 is közös szimmetriatengellyel rendelkezne és nem lehet valamelyik ki'-n sem, mert akkor ki egyenes lenne. Legyen e' inverze e. e-ről megállapítható, hogy

-kör, mert O nincs e'-n

-átmegy O-n, mert e' egyenes

-merőlegesen metszi a k1,k2ésk3 köröket az inverzió szögtartó tulajdonsága miatt.

Adottnak véve k1,k2ésk3 köröket, a keresett inverzióra szükséges feltétel, hogy O középpontja egy olyan e körön legyen, amelyik merőlegesen metszi a k1,k2ésk3 köröket , de ne legyen a körök egyikén sem, hiszen akkor ki' egyenes lenne. Megmutatjuk, hogy a feltétel elégséges is. Legyen e a k1,k2ésk3 köröket merőlegesen metsző kör, O ennek egy - a körökkel nem közös - pontja. Az O középpontú inverziónál a k1,k2ésk3 körök képe három kör lesz, k1',k2'ésk3'. e képe az e' egyenes, amely a szögtartó tulajdonság miatt merőlegesen metszi k1',k2'ésk3' köröket. Mivel egy kört metsző egyenesek közül csak az átmérő egyenesek metszenek merőlegesen, e' mindhárom körnek átmérő egyenese, tehát a három körközéppont egy egyenesen van.

e szerkesztéséhez felhasználjuk, hogy merőlegesen metsző körök esetén az egyik kör metszéspontba mutató sugara a másik kör érintője. e középpontjából, P-ből tehát a k1,k2ésk3 körökhöz egyenlő érintők húzhatók, P a három kör hatványpontja. A szerkesztés menete:

- megszerkesztjük k1,k2ésk3 P hatványpontját mint a körpárok hatványvonalainak metszéspontját - megszerkesztjük a P középpontú, k1-et merőlegesen metsző e kört - e tetszőleges, a körökre nem illeszkedő pontját a kersett inverzió O középpontjául választva tetszőleges sugarú C alapkörrel végrehajtjuk az inverziót. (1. ábra)

Egyszerűbb a gyakorlati kivitelezés, ha O-t úgy választjuk, hogy két kör, például k1ésk3 hatványvonalára illeszkedjék. Ekkor C úgy választható, hogy k1-et és k3-at merőlegesen messe, így ezek az inverzió során önmagukra képeződnek (2. ábra a következő hozzászólásban)

Előzmény: [1042] BohnerGéza, 2008-05-18 23:09:18
[1048] HoA2008-05-21 15:53:40

Segítség a 134. feladathoz:

- Ha három pont nincs egy egyenesen, akkor egy körön vannak

- Melyik három pont? ( A körközéppont inverz képe általában nem az inverz kör középpontja.)

Előzmény: [1042] BohnerGéza, 2008-05-18 23:09:18
[1047] Kata122008-05-21 11:43:02

Kedves Géza!

Nagyon szépen köszönk minden segítséget! Hasznos volt.

[1046] BohnerGéza2008-05-21 00:13:39
Előzmény: [1043] Kata12, 2008-05-20 16:00:04
[1045] Kata122008-05-20 18:45:52

Szia Géza!

Nagyon köszönöm a segítséget, esetleg az háromszöges példát tudnád kicsit részletesebben leveztni ha lehet ábrával?

[1044] BohnerGéza2008-05-20 17:46:55
Előzmény: [1043] Kata12, 2008-05-20 16:00:04
[1043] Kata122008-05-20 16:00:04

Sziasztok!

Két szerkesztési feladat megoldásában kérném a segítségeteket, amelyet az euklides szerkesztő programban kellene megszerkesztenem

1, Szerkesszünk egyenlő szárú háromszöget, ha adott az alap és a szár különbsége, továbbá a szárak közti szög.

2, Szerkesszünk négyszöget, ha ismert két átlója, az átlók szöge és a két szomszéédos szöge.

Előre is köszönöm a segítséget: Kata

[1042] BohnerGéza2008-05-18 23:09:18

134. egy nehéz feladat:

Adott 3 kör, melyek középpontjai nincsenek egy egyenesen. Adjunk meg olyan inverziót, melynél a körök képe kör marad, de ezek kp-jai már egy egyenesen vannak.

[1041] BohnerGéza2008-05-17 17:27:06
Előzmény: [1034] HoA, 2008-05-05 18:18:51
[1040] szabótimi2008-05-11 16:41:50

Üdvözlet! Ha valakinek van egy kis ideje kérem segítsen hogyan oldható meg ez a számomra bonyolult feladat! Nagyon fontos lenne!Kérlek titeket!Előre is köszi! A feladat: Ábrázoljuk a PQR háromszög köré írt kört. Szerkesszük meg a lényeges átmérők mindkét képét a végpontokhoz tartozó érintőkkel együtt, és állítsuk elő az érintőket a háromszög csúcsaiban is. Rajzoljuk meg a vetületi görbéket. P(45, 140, 265); Q(45, 40, 205); R(145, 140, 205).

[1039] HoA2008-05-08 22:34:33

A piros tetraédet - pontosabban annak B1-ben összefutó három lapját - a kék tetraéder A1BC1 lapja egy szabályos háromszögben metszi. A háromszög oldalai az ABB1A1 , BCC1B1 és A1B1C1D1 lapok középpontjait egymással összekötő három szakasz. Az alakzat szimmetriája miatt ez mind a nyolc csúcsról megállapítható. A közös részt tehát 8 szabályos háromszög határolja. A neve oktaéder. Lásd pl. http://mbuttons.bolyai.hu/upload/VRML/palyazat/kapcs.htm : Egy kocka megfelelő lapátlói szabályos tetraédert alkotnak. A két így kapott tetraéder közös része egy szabályos oktaéder.

Előzmény: [1038] Mate~, 2008-05-08 18:47:50
[1038] Mate~2008-05-08 18:47:50

zsolla feladatának megoldása engem is érdekelne, van rá egy gondolatom, csak 2 pontom helyzete bizonytalan. Tudtok segíteni? Itt egy gyorsan összedobott ábra:

[1037] Mate~2008-05-08 17:47:13

133: Én most hirtelen csak a P-t látom: ABG háromszög egybevágó BCD háromszöggel, hiszen BG=BC, AB=BD és ABGszög= CBDszög (derékszög). Mivel AB merőleges DB-re és BG merőleges BC-re, AG-nek is merőlegesnek kel lennie CD-re. Tehát az APCszög derékszög, így az APC háromszög derékszögű. Thalesz miatt pedig a P pontnak rajta kell lennie a k3 körön. A többin még agyalok. :)

Előzmény: [1034] HoA, 2008-05-05 18:18:51
[1036] zsolla2008-05-08 13:55:43

Keresem a következő feladat megoldását: Az ABCD A1B1C1D1 kocka A C B1 D1 csúcsai és az A1 C1 B D csúcsai is egy-egy tetraédert határoznak meg. Milyen test lesz a két tetraéder közös része?

[1035] BohnerGéza2008-05-06 22:01:00

Érdekesség a 133. feladathoz: Az A-t és C-t rögzítsük! B-t mozgatva AB-n a kapott DR egyenesek átmennek egy közös ponton.

Fogalmazzuk meg a fentinek megfelelő másik állítást is!

Igazoljuk az állítást!

Előzmény: [1034] HoA, 2008-05-05 18:18:51
[1034] HoA2008-05-05 18:18:51

133.feladat-nak javaslom az alábbit: Egy e egyenes 3 pontja ebben a sorrendben A, B és C. Vegyük fel az egyenes egyik oldalán a T középpontú ABDE és az U középpontú BCFG négyzeteket, valamint az AB átmérőjű k1 , BC átmérőjű k2 és AC átmérőjű k3 félköröket.

a) Igazoljuk, hogy az AG és CD egyenesek P metszéspontja k3-ra, az AU és CE egyenesek R metszéspontja k2-re, az AF és CT egyenesek Q metszéspontja k1-re esik.

b) Mi jellemzi a P, Q, R ponthármast?

[1033] BohnerGéza2008-04-29 19:18:38

Az itteni 132. feladat egy - inverzióval történő - megoldása látszik a "Valaki mondja meg!" témában lévő [479]. hozzászólásából. Néhány "elemibb" már itt, az előző hozzászólásokban megszületett. Köszönöm!

Előzmény: [1032] HoA, 2008-04-29 13:28:03
[1032] HoA2008-04-29 13:28:03

Ha az elemibb megoldást a 3 érintkező kört érintő kör szerkeztésére gondolod, egyelőre nem látom az utat. A Geometriai feladatok gyűjteménye az általános Apolloniusz feladatot oldja meg középiskolában tanult módszerekkel:

-az adott és a szerkesztendő körök növelésével-zsugorításával visszavezeti a feladatot két kört (k1,k2) érintő, adott P ponton áthaladó ke kör szerkesztésére - F2 ( elfajuló esetekben egy kör és két pont, illetve 3 pont)

-F2 megoldása során megszerkeszti a körök egyik hasonlósági pontját P-vel összekötő egyenesnek másik, ke-re illeszkedő pontját (Q)

-Végül megszerkeszti a két adott ponton (P, Q) áthaladó, pl. k1-et érintő kört. Ez a megoldás elemibb abban az értelemben, hogy nem használ inverziót, viszont sokkal hosszadalmasabb. És ami a fő baj, nem használja ki azt a speciális helyzetet, hogy a 3 adott kör érinti egymást. F2 megoldása során előjönnek az érintési pontok és a hasonlósági pont közötti kapcsolatok, de nem látom, esetünkben hogyan lehetne alkalmazni.

Előzmény: [1022] BohnerGéza, 2008-04-27 15:01:30

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]