Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1211] BohnerGéza2009-05-11 23:22:32

Segítség a 150. feladat egy lehetséges megoldásához: Az E és D pontot máshogy definiálva lássuk be addíciós tételek következménye segítségével, hogy megfelelnek az eredeti definíciónak.

Egyelőre megpróbálok más jellegű (számomra szebb) megoldást is kitalálni.

Előzmény: [1208] HoA, 2009-04-29 15:00:17
[1210] HoA2009-05-07 22:43:48

Mit néztél el? Szerintem a feladat jó. Nyilván sokunknak beugrik a hetedik, azonos sugarú kört és egymást érintő hat kör, és ezek befoglaló köre. De azt nem sikerült bizonyítanom, hogy a hetedik kör elhagyásával nem adható jobb megoldás - kisebb befoglaló kör.

Előzmény: [1209] BohnerGéza, 2009-05-07 00:35:55
[1209] BohnerGéza2009-05-07 00:35:55

A 148. feladat megoldása: A keresett sugár 12 cm. Ha valaki tud jobb feladatot, tűzze ki! (Elnéztem.)

Előzmény: [1203] BohnerGéza, 2009-04-08 05:14:08
[1208] HoA2009-04-29 15:00:17

Úgy látom nagy a csend. Hadd tűzzem ki 150. feladatnak a KÖMAL egyik régi számában talált problémát –a megoldások után pontosan megjelölöm a forrást.

Az ABC egyenlőszárú háromszögben AC = BC és a C-nél lévő szög 80o . A háromszög belsejében kijelöljük azt a D és E pontot, amelyre DAB\angle=EAB\angle=10o,DBA\angle=30o,EBA\angle=20o . Bizonyítsuk be, hogy DCB\angle=10o és ECB\angle=20o.

A téma olvasói könnyen rájönnek, miért tetszett meg ez a feladat.

[1207] BohnerGéza2009-04-17 13:56:24

A 149. feladathoz: 2. rész.

Az előző [1206] hozzászólás folytatása.

A megoldásban nem törekedtem a teljességre, a legegyszerűbb megfogalmazásra, inkább a gondolatmenet bemutatására.

Jó lenne, ha valaki szebben megfogalmazott, vagy más jellegű megoldást is adna!

Vegyük észre a kapcsolatot az itt és HoA[1204] hozzászólásában látottak közt!

Előzmény: [1206] BohnerGéza, 2009-04-17 13:43:59
[1206] BohnerGéza2009-04-17 13:43:59

A 149. feladathoz: 1. rész.

Folytatása a következő hozzászólásban.

[1205] BohnerGéza2009-04-17 13:29:51

Nekem is hiányérzetem volt janomo[1200] hozzászólásával kapcsolatban. Igaz így legalább HoA pontos, érthető megfogalmazásában láthattuk a megoldást!

Példát mutatok egy kevésbé szépre a következő hozzászólásban, az eredeti feladat kapcsán. Remélem, látható lesz belőle, hogy a szép megoldások is esetleg hosszabb gondolkodás után, sok munka árán, nem véletlenszerűen jönnek össze. Az így elért eredmény, sőt részeredmény is örömet adhat. (Ráadásul nem kell közben pl. négykerekű motoros marhasággal -nem jut eszembe a neve - tönkretenni a környezetet.)

149. feladat: A Surányi János emlékverseny 2. feladata: Az ABC háromszög beírt köre az AB és AC oldalakat rendre a D és E pontban érinti. A beírt körnek és az AEB háromszög köré írt körnek E-től különböző közös pontja legyen F, a D pont merőleges vetülete az EB egyenesen G. Igazoljuk, hogy 2ABEszög=BFGszög.

(Elnézést, a továbbiakban ezeket az eredeti jelöléseket használom!)

Előzmény: [1204] HoA, 2009-04-17 09:10:46
[1204] HoA2009-04-17 09:10:46

Szerintem nem érdemes annyival elintézni az inverziós megoldást, hogy „inverzió a B pontra és kész”. Más feladatoknál is felhasználható például, hogy három, a póluson nem áthaladó egyenesen fekvő pont képe egy, a póluson átmenő körön van, és viszont: ha négy pont húrnégyszöget alkot – egy körön van – akkor egyiküket pólusnak választva a másik három pont inverz képe egy egyenesen fekszik.

Legyen tehát az inverzió pólusa B, alapköre a k-t merőlegesen metsző kör. Ekkor k képe önmaga, A és A’ egybeesik, F képe az AB egyenes F’ pontja, melyre F’A = AB, AB Thálesz-körének képe az AB-re merőleges e egyenes, D képe, D’ BD és e metszéspontja, I képe a BI egyenes k-val alkotott második metszéspontja. CIF egyenes képe a B’, F’, I’ pontok által meghatározott kör. Ennek F’B húrja, e húrfelező merőlegese, tehát szimmetriatengelye. e k-nak is szimmetriatengelye, így a két kör metszéspontjai, C’ és I’ egymás tükörképei e-re. Ez igaz az F’, B pontpárra is, tehát a BD’I’ egyenes e-re vett tükörképe az F’D’C’ egyenes. A fentiek szerint ezért BCDF húrnégyszög, körülírt körében az egyenlő BF és DF húrokhoz egyenlő kerületi szögek tartoznak: DCF\angle=FCB\angle.

Előzmény: [1200] janomo, 2009-04-04 12:18:33
[1203] BohnerGéza2009-04-08 05:14:08

148. feladat: Mekkora annak a legkisebb körnek a sugara, amelyben átfedés nélkül elfér 6 db 4 cm sugarú kör? (Érintkezés lehet.)

[1202] BohnerGéza2009-04-08 05:10:40

Érdemes HoA [1198]-ban lévő megjegyzése alapján is végiggondolni a megoldást!

Előzmény: [1201] HoA, 2009-04-07 22:58:30
[1201] HoA2009-04-07 22:58:30

Tényleg kár, hogy másokat nem érdekelnek ezek a jó kis feladatok. A 147. feladathoz: D rajta van AB Thálesz körén, AF = DF = BF. A szelőtételből FD2=FA2=FI.FC . FID és FDC \Delta-ek hasonlók, FBD \Delta egyenlőszárú, DCF\angle=FDB\angle=DBF\angle, BCDF húrnégyszög, körülírt körében az egyenlő BF és DF húrokhoz egyenlő kerületi szögek tartoznak: DCF\angle=FCB\angle

Előzmény: [1197] BohnerGéza, 2009-04-01 19:15:28
[1200] janomo2009-04-04 12:18:33

Inverzió a B pontra és kész.

Előzmény: [1197] BohnerGéza, 2009-04-01 19:15:28
[1199] BohnerGéza2009-04-03 11:43:26

Írtam, hogy belső szögfelező?!

Előzmény: [1198] HoA, 2009-04-03 11:38:44
[1198] HoA2009-04-03 11:38:44

A mellékelt ábra nem csak gonoszkodás, talán a megoldáshoz is segítséget nyújt :-)

Előzmény: [1197] BohnerGéza, 2009-04-01 19:15:28
[1197] BohnerGéza2009-04-01 19:15:28

Köszönöm HoA! Elírtam. Helyesen a feladat:

A Surányi János emlékverseny 2. feladata alapján.

147. feladat: Érintse a k kör az AB egyenest az A pontban és legyen C a k egy A-tól különböző pontja, F az AB szakasz felezőpontja. Az FC messe még k-t az I pontban, az A-nak a BI-re eső merőleges vetülete D.

Bizonyítandó, hogy CF felezi a DCB szöget.

Előzmény: [1196] HoA, 2009-04-01 16:15:55
[1196] HoA2009-04-01 16:15:55

Az ábra alapján inkább a cáfolat mint a bizonyítás látszik esélyesebbnek.

Előzmény: [1194] BohnerGéza, 2009-03-31 20:48:12
[1195] BohnerGéza2009-03-31 20:57:04

Örülnék, ha nem csak HoA kapcsolódna be a 144. és 144.b feladat megoldásába.

Hogy jellemezhető pl. HoA 6 megoldása, hány és milyen megoldást adó P lehet még a háromszögön kívül?

Előzmény: [1193] HoA, 2009-03-28 14:32:44
[1194] BohnerGéza2009-03-31 20:48:12

A Surányi János emlékverseny 2. feladata alapján.

147. feladat: Érintse a k kör az AB egyenest az A pontban és legyen C a k egy A-tól különböző pontja, F az AB szakasz felezőpontja. Az FC messe még k-t az I pontban, az A-nak a BI-re eső merőleges vetülete D.

Bizonyítandó, hogy CF felezi a DFB szöget.

[1193] HoA2009-03-28 14:32:44

144.b feladathoz: Az ABC háromszögön belüli P pontokra a talpponti DEF háromszögben a megfelelő pontok hat különböző helyzetben lehetnek szabálytalan hegyesszögű háromszög esetén, lásd [1190] ábráját. A [1189]-ben vázolt szerkesztést elvégezve mind a hat pontra kapunk megoldást az ábra szerint.

Előzmény: [1192] BohnerGéza, 2009-03-25 04:35:44
[1192] BohnerGéza2009-03-25 04:35:44

a 144. feladattal kapcsolatban:

HoA nagy ötlete után példát mutatok az adott ABC háromszöghöz olyan P pont szerkesztésére, amelyhez adott QRS háromszöghöz hasonló talpháromszög tartozik:

Az ábra Q’PS’ szöge 180 fok-alfa, egyenlő a QP’S szöggel, így P’ számára adott vonal a QS szakasz 180 fok-alfa szögű látóköre. Hasonlóan pl. az RQ 180 fok-béta látóköre is, így P’ szerkeszthető.

A Pa pont SP’ távolságra van az AC-től és QP’-re az AB-től. P-nek az APa-n (és hasonlóan a BPb-n) kell lenni. …

Természetesen több megoldása lehet (van) a feladatnak. 144.b feladat: Adjuk meg a lehetséges megoldások számát!

Előzmény: [1188] HoA, 2009-03-22 19:52:41
[1191] Maga Péter2009-03-22 22:33:02

Szia! - 2 hónap késéssel, de...

Látom, hogy már kaptál segítséget, de ha dobsz egy e-mailt, akkor tudok küldeni egy anyagot. Nem egészen elemi, de annak idején (tavaly vagy tavalyelőtt) a debreceni Fazekas Gimnázium matek önképzőkörén mondtam el, és értették, legalábbis úgy tettek:).

Előzmény: [1166] edu, 2009-01-23 09:22:12
[1190] HoA2009-03-22 20:09:30

Az ABC belsejében fekvő P pontokhoz olyan DEF háromszög tartozik, melynek egy-egy oldala P-ből \pi-\alpha ill. \pi-\beta szög alatt látszik. A 3. ábrán ezért a DEF háromszög oldalainak \pi-\alpha (zöld) ill. \pi-\beta (kék) látószögű köríveit és azok metszéspontjait vizsgáljuk. A szimmetria kedvéért feltüntettük a \pi-\gamma (lila) látószögű köríveket is, ezek természetesen áthaladnak ugyanazokon a metszéspontokon. A hat metszéspont közül az egyik DEF magasságpontja. Tudjuk, ez felel meg annak, ha P gyanánt ABC körülírt körének középpontját választjuk. Két másik metszéspont DEF első ill. második Brocard pontja (Könnyen belátható, hogy a Brocard pontokból két oldal látószöge \pi-\alpha ill. \pi-\beta) . Kérdések: DEF Brocard pontjait választva a szerkesztés eredményeként kapott P ABC-nek is Brocard pontja lesz? Kapunk-e megfelelő P pontot a 3. ábra fennmaradó három látószög-körív metszéspontjából?

Előzmény: [1186] BohnerGéza, 2009-03-19 19:55:52
[1189] HoA2009-03-22 20:04:53

A második ábrán a H2 DEF háromszög oldalainak a háromszög belseje felé eső \alpha (zöld) , \beta (kék) ill. \gamma (lila) látószögű köríveit és azok metszéspontjait vizsgáljuk. Az R pont jó lenne az 1. ábra P pontjának, csak \beta és \gamma sorrendje fordított. Ezért szerkesztésünk alapja a H2 háromszög H3 tükörképe. Legyen EDR szög = \delta. Vegyük fel az 1. ábrán az AC szakasz C-n túli meghosszabbításán a D’ pontot. A D’-pontban AC-re emelt merőlegessel annak A-t tartalmazó oldalán \delta szöget bezáró egyenes és AB metszéspontja E’ . A H3 –hoz hasonló D’E’F’ H4 háromszöget A-ból vetítsük úgy, hogy F’ F képe BC-re essen. Ekkor a H4 ( = H2 ) DEF háromszög megfelel, P az AC-re D-ben és az AB-re E-ben emelt merőlegesek metszéspontja. Kérdések: Kapunk-e így megoldást a szemközti, A csúcsú végtelen síktartományban? A 2. ábra (\alpha, \beta) látószögű Q pontja ad-e megoldást az 1. ábra AB szakaszának C-t nem tartalmazó oldalán lévő síktartományban ? Hát a C csúcsú végtelen síktartományban? A 2. ábrán DEF piros körülírt körének D-t nem tartalmazó EF ívén minden pontból a DEF háromszög egy-egy oldala \beta ill. \gamma szög alatt látszik. Megfelenek-e ezek a pontok R szerepére?

Előzmény: [1186] BohnerGéza, 2009-03-19 19:55:52
[1188] HoA2009-03-22 19:52:41

Nevezzük a megfelelő P pont vetületei által meghatározott háromszöget P talpponti háromszögének. Mit állapíthatunk meg az adott ABC háromszög oldalegyenesei által hét tartományra osztott sík egyes részeiben a P-ből a talpponti háromszög csúcsaiba vezető szakaszok által bezárt szögekről? Az 1. ábráról leolvasható, hogy 2-2 tartományban ezek a szakaszok egymással nem egymás szögtartományába eső , szokásos szögmérési irányban mért ( \alpha,\gamma) , ( \gamma,\beta ) illetve ( \beta,\alpha ) szögeket zárnak be. A háromszög belsejében a megfelelő szakaszok szöge pl. ( \pi\alpha,\pi\beta )

A keresendő P pontok lehetséges helyzetét vizsgáljuk nem az ABC, hanem a talpponti, DEF háromszöghöz képest. Ezzel a keresett P pontok megszerkesztésének egy lehetséges útját is kijelöljük. Általános hegyesszögű ( 45, 60 75 fokos ) háromszöget választottam. ( Majd meg kell vizsgálni, hogy módosulnak az eredmények egyenlőszárú, egyenlőoldalú, derékszögű, tompaszögű, vagy akár más általános hegyesszögű háromszög esetében. ) Ha van megfelelő P pont az 1. ábra BC szakaszának A-t nem tartalmazó oldalán lévő síktartományban, akkor P-ből a DEF háromszög egy-egy oldala \beta ill. \gamma szög alatt látszik, mégpedig úgy, hogy P DEF egy-egy oldalának \beta ill. \gamma látószögű, a háromszög belseje felé eső körívén van. ( Mikor jöhetnek szóba a külső körívek? )

Előzmény: [1186] BohnerGéza, 2009-03-19 19:55:52
[1187] fityfiritty2009-03-21 20:17:29

Köszönöm.

Itt egy új, a számozottak között 146. feladat:

A hegyesszögű APD\Delta AP, illetve PD oldalának tetszőleges pontja rendre B, illetve C. Az ABCD négyszög átlói a Q pontban metszik egymást. M1, illetve M2 rendre az APD\Delta, illetve a BPC\Delta magasságpontja. Az ABQ és CDQ háromszögek körülírt köreinek Q-tól különböző metszéspontja legyen X, a BCQ és ADQ háromszögekre ugyanígy kapott pont pedig legyen Y. Bizonyítsuk be, hogy: ha az M1, M2 és X pontok egy e egyenesre esnek, akkor Y \ine.

Előzmény: [1182] HoA, 2009-03-16 16:59:04

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]