Fórum: GEOMETRIA

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[1614] HoA	2012-12-11 13:07:32
Hogy mennyire tömény és elegáns, azt ítélje meg más, minden esetre "nyolcadikosabb" , mint az előző. Építsük fel a mellékelt ábrát az ABC háromszög csúcsaiból, a körülírt kör O középpontjából és a CA oldallal 30 fokos szöget bezáró CE egyenesből kiindulva. CO felező merőlegesének és CE -nek a metszéspontja Q. Az állandó QC hosszúságú piros szakaszok ismételt felméregetésével kialakul az ábra. A 10, 20, 40 ill. 60 fokos szögeket kékkel, rózsaszínnel, lilával ill. zölddel jelöltem. Látható - és persze bizonyítható - , hogy P a feladatban definiált pont. A BPC háromszöget O körül pozitív irányban 100 fokkal elforgatva P Q-ba , B C-be kerül, A BP szakasz képe tehát a PC-vel egy egyenesbe eső CQ, ezért BPC szög 100 fok.

Előzmény: [1611] w, 2012-12-10 16:46:48

[1613] w

2012-12-10 22:22:18

Jogos a hozzászólásod. Én arra gondoltam, hogy a feladatot úgy is meg lehet oldani, hogy csak a következőket használhatjuk: háromszög belsőszög-összege, nevezetes vonalai, beírt kör, szög/szakasz/pont felvétele.

A Fálesz-HoA-megoldás sokkal hasznosabb, mint az, amire gondolok. Mindenesetre hamarosan - amint lesz időm az ábrát elkészíteni - közlöm a megoldásomat.

******

Mutassuk meg, hogy ha egy háromszög két belső szögfelezője azonos hosszú, akkor és csak akkor a háromszög egyenlő szárú.

Előzmény: [1612] Lóczi Lajos, 2012-12-10 18:30:06

[1612] Lóczi Lajos	2012-12-10 18:30:06
Én a mellékelt ábrákon mást sem látok, csak háromszögeket.
Előzmény: [1611] w, 2012-12-10 16:46:48

[1611] w

2012-12-10 16:46:48

Köszönöm szépen, a megoldásotok nagyon szép, és igen sok feladatra felhasználható.

A feladatot eredetileg nyolcadik osztályosoknak tűzték ki, talán 2007-ben (?), ezért nyilván van olyan megoldás, ami tömény, elegáns háromszöggeometria.

Előzmény: [1610] HoA, 2012-12-10 11:26:43

[1610] HoA	2012-12-10 11:26:43
A [1609] –beli megközelítés egy konkrét megvalósítása, a szükséges nem triviális közös metszéspont bizonyításával: Válasszuk meg az A, B, C csúcsokat az ábra szerint, így ABC a feladatban szereplő háromszög. Mivel egy sokszög oldalhoz, ill. a körülírt körben a hozzá tartozó ívhez 10 fokos kerületi és 20 fokos középponti szög tartozik, AOC $\angle$ = 160 fok , így CAO $\angle$ = 10 fok. A CA –val 30 fokos szöget bezáró P₁₁P₄ ( = CE ) , egyenes és a P₅P₁₄ átmérő metszéspontja legyen F. Az OEF háromszögben OEF $\angle$ = 20 fok, mint a P₁₁P₁₃ ívhez tartozó kerületi szög, FOE $\angle$ = 20 fok, mint a P₄P₅ –höz tartozó középponti szög, OEF háromszög egyenlőszárú. Az AOE egyenlőszárú háromszögben O-nál 60 fokos szög van, mint P₁P₄ –hez tartozó középponti szög, AOE háromszög szabályos. AEFO deltoid, AF átlója felezi a 60 fokos OAE szöget, FAO $\angle$ = 30 fok, FAC $\angle$ = 40 fok , F tehát feladatunk P pontja. Mivel P rajta van a P₅P₁₄ átmérőn és a P₁₁P₄ átlón, ezért az utóbbinak P₅P₁₄ –re vett tükörképén , a P₆P₁₇ átlón is rajta van. A BCP háromszögben BCP $\angle$ = P₆CP₄ $\angle$ = 20 fok, CBP $\angle$ = P₁₁BP₁₇ $\angle$ = 60 fok, így BPC $\angle$ = 100 fok.

Előzmény: [1609] Fálesz Mihály, 2012-12-10 09:28:23

[1609] Fálesz Mihály	2012-12-10 09:28:23
Az ilyenfajta feladatokhoz egy kiváló cikk: Csirmaz László: Egy geometriai feladatról A lényeg röviden: 1. Egy szabályos 18-szögben az átlók közötti szögek mind a 10^o többszörösei. 2. Vannak olyan átlók, amik nem teljesen triviálisan egy ponton mennek át. Például a O középpontú P₁P₂...P₁₈ szabályos 18-szögben a P₉P₁₅ átló az OP₁₂ sugár felező merőlegese, és ebből következik, hogy a P₁P₁₀ egyenes tükörképe a P₉P₁₅ átlóra éppen a P₇P₁₂ egyenes. Ha ezeket a P₁P₁₀ átmérőre is tükrözzük, láthatjuk, hogy a P₁P10, P₅P₁₁, P₇P₁₂. P₈P₁₃ és P₉P₁₅ átlók egy ponton mennek át. 3. A feladat megoldása ezek után abból áll, hogy megkeressük a rengeteg oldal és átló között a feladat ábráját...

Előzmény: [1608] w, 2012-12-09 11:22:59

[1608] w	2012-12-09 11:22:59
Köszönöm, AB=BC és nem AB=AC. Újra átnéztem, más hiba nincsen.
Előzmény: [1607] HoA, 2012-12-08 22:50:41

[1607] HoA	2012-12-08 22:50:41
Alighanem elírtad. Ha AB = AC , akkor ABC $\angle$ = ACB $\angle$ , így BAC $\angle$ -re 20 fok marad, belső P pontra nem lehet PAC $\angle$ 40 fok.
Előzmény: [1606] w, 2012-12-08 21:34:35

[1606] w	2012-12-08 21:34:35
ABC háromszögben AB=AC, P belső pontra PAC<=40 fok, ACP<=30 fok. Mekkora a BPC<, ha ABC<=80 fok?

[1605] Mordon	2012-10-31 16:11:53
Köszönöm!
Előzmény: [1604] m2mm, 2012-10-31 15:50:29

[1604] m2mm	2012-10-31 15:50:29
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=feladat&f=B4311&l=hu
Előzmény: [1603] Mordon, 2012-10-31 15:00:07

[1603] Mordon

2012-10-31 15:00:07

P az ABC háromszög belső pontja. A CP egyenes az AB oldalt a D, az AP egyenes a BC oldalt az E, a BP egyenes a CA oldalt az F pontban metszi. Tudjuk, hogy PA+PB+PC=43 és PD=PE=PF=3. Határozzuk meg a PA^.PB^.PC szorzat értékét.

Ennek a tavalyi Szőkefalvi feladatnak a megoldását valaki le tudná írni?

Előre is köszönöm!

[1602] Kásás János	2012-10-24 13:28:36
Köszönöm mindeninek a segítséget. Sajnos a gépelésnél tényleg én követtem el a hibát, egyel mellé ütöttem. Még egyszer köszönöm mindenkinek a segítséget.
Előzmény: [1601] HoA, 2012-10-24 13:02:31

[1601] HoA	2012-10-24 13:02:31
Gondolom mivel a szereplő betük közül N a B mellett van a billentyűzeten, a kérdező B-t gondolt. Ekkor a metszéspont Jónás T pontja, a keresett hosszúságok AT = 4/5 AC = 4/5 * 28 cm = 22.4 cm, BT = 3/5 BC = 3/5 * 21 cm = 12.6 cm , mint [1597]-ben.
Előzmény: [1596] jonas, 2012-10-23 22:01:37

[1600] jonas	2012-10-24 10:12:39
Jaj. Gondoltam, hogy kell lennie egyszerűbb megoldásnak is. Akkor a derékszögű háromszöget csak a feladat második fele miatt adták föl?
Előzmény: [1599] Blinki Bill, 2012-10-24 06:57:11

[1599] Blinki Bill	2012-10-24 06:57:11
Mivel F felezi az ívet, ezért CF a C-nél levő szög szögfelezője és az AB oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja a szögfelező-tétel miatt. Az arány 3:4, így a 35cm-t kell ilyen arányban bontani, adódik 20cm és 15cm.
Előzmény: [1595] Kásás János, 2012-10-23 20:10:04

[1598] jonas	2012-10-23 22:49:11
Itt egy ábra is a feladathoz.

Előzmény: [1597] jonas, 2012-10-23 22:26:48

[1597] jonas

2012-10-23 22:26:48

A feladat első részéhez vedd észre, hogy a háromszög derékszögű.

Tegyük fel, hogy a BC oldal hossza 21 cm, az AC oldalé pedig 28 cm. Koordinátázzuk úgy a síkot, hogy a háromszög körülírt körének a középpontja legyen az origó, az A pont legyen a (-17.5 cm, 0), a B legyen (17.5 cm, 0), a C második koordinátája pedig legyen pozitív.

Jelölje T a C-hoz tartozó magasság talppontját. A talppont az AB átfogón úgy helyezkedik el, hogy az AT távolság egyenlő az AC befogó négyzete osztva az átfogóval, vagyis 22.4 cm. Ebből a T koordinátái (4.9 cm, 0). A CT magasság hossza egyenlő a befogók szorzata osztva az átfogóval, vagyis 16.8 cm, így a C koorindátája (4.9 cm, 16.8 cm).

Mármost az F pont a feladat szerint annak az ívnek a felezőpontja, aminek az átmérője az A és a B pont, ezért az F koordinátái (0, -17.5 cm). Ebből a CF szakasz metszete az AB koordinátatengellyel, amit hívjunk R-nek, (4.9cm^.17.5cm/(17.5cm+16.8cm),0) = (-2.5cm,0). Ebből pedig az AR szakasz hossza 20 cm, az RB szakasz hossza pedig 15 cm.

Előzmény: [1595] Kásás János, 2012-10-23 20:10:04

[1596] jonas	2012-10-23 22:01:37
Nem értem a feladatot. Az N pontot honnan kapod?
Előzmény: [1595] Kásás János, 2012-10-23 20:10:04

[1595] Kásás János

2012-10-23 20:10:04

Segítséget szeretnék kérni tőletek, mert nem tudom megoldani a gyermekem házi feladatát:

Az ABC háromszög oldalainak hossza 21, 28 és 35 cm. A háromszög köré írt kört a háromszög csúcsai három ívre bontják. Ezek közül a leghosszabb ív felezőpontja F. Kössük össze F-et a háromszög szemközti csúcsával (legyen ez a csúcs C). Mekkora részre bontja a CF szakasz az AB szakaszt? Tükrözzük a C pontot az AN szakasz egyenesére (C’). Mekkora részre bontja a CC’ szakasz az AB oldalt?

A szögfüggvényeket még nem tanulták, azokat nem lehet használni.

Fáradozásotokat előre is megköszönve.

Tisztelettel: Kásás János

[1594] HoA	2012-08-16 21:51:44
A 181.feladat elemi megoldása: Legyenek az ABCD érintőnégyszög beírt körének szemközti E,G ill. F,H érintési pontjait összekötő húrok e₁ és e₂ . Legyen AEG $\angle$ =EGD $\angle$ = $\epsilon$ ,CFH $\angle$ =FHD $\angle$ = $\phi$ . Az érintőnégyszög szemközti, B-nél és D-nél lévő szögeinek összege az M-nél derékszögű MGDH és MEBF négyszögekből $\beta$ + $\delta$ =(360–90- $\epsilon$ - $\phi$ )+(360-90–[180- $\epsilon$ ]–[180- $\phi$ ])=180 fok. ABCD tehát egyúttal húrnégyszög is. BDC $\angle$ =BAC $\angle$ , AEM és DGM háromszögek hasonlóak, M-nél lévő AME és DMG szögeik egyenlőek. Így egyenlőek az ezeket a szögeket 90 fokra kiegészítő AMH és DMH szögek is, vagyis e₂ felezi az AC és BD átlók által bezárt szöget.

Előzmény: [1569] m2mm, 2012-05-27 18:19:14

[1593] m2mm

2012-08-14 10:50:14

Projektív megoldást találtam én is, elemi engem is érdekelne.

Ma böngészve régebbi KöMaL-példák között találtam a B.3680. feladatra, ami tulajdonképpen a 181. feladat nemtriviális része, így egy újabb megoldást rakhatunk a feladathoz, a hivatkozásban láthatunk egy újabb bizonyítást.

B.3680

Előzmény: [1570] Vonka Vilmos Úr, 2012-05-27 20:25:16

[1592] Zilberbach	2012-08-13 22:07:52
Elnézést a telhetetlenségemért. Magyarul nincs valami a témában?
Előzmény: [1589] Lóczi Lajos, 2012-08-13 09:42:33

[1591] Gézoo	2012-08-13 09:48:15
Köszönöm szépen, a 2. nagyon jó, (csak kár, hogy nem magyar).
Előzmény: [1589] Lóczi Lajos, 2012-08-13 09:42:33

[1590] Gézoo	2012-08-13 09:47:25
Na ez az! Ezt kérdeztem. Köszönöm szépen a választ!
Előzmény: [1588] Fálesz Mihály, 2012-08-13 09:07:23

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?