[1672] w | 2013-04-03 16:59:24 |
A megjegyzésben szereplők érdekelnek leginkább. Mi Steiner tétele? Be tudnád-e bizonyítani? Létezik-e a feladatomnak elemi megoldása: hol és hogyan találhatjuk meg a két hiperbola fókuszait/vezéregyeneseit?
w
|
Előzmény: [1670] Vonka Vilmos Úr, 2013-04-03 13:10:24 |
|
[1671] Fálesz Mihály | 2013-04-03 14:48:35 |
Nem értem.
"... a téglatest egy oldalára a kis téglatesteknek csak olyan lapja fekszik, aminek van egész oldala"
Miért ne lehetne valamelyik kis téglának az adott lapra merőleges éle az egész hosszúságú?
|
Előzmény: [1669] jonas, 2013-04-03 10:24:34 |
|
[1670] Vonka Vilmos Úr | 2013-04-03 13:10:24 |
Gondolom, hogy úgy értetted a feladatot, hogy a Q ponton keresztül felvett tetszőleges másik egyenest rögzítjük, és azon a rögzített f egyenesen változik az Y pont.
Az egyszerűen látható, hogy mindkét mértani hely tartalmazza a P és Q pontokat. A t mértani hely esetén P=X választással adódik a P pont; a Q pontot pedig abban az esetben kapjuk, ha X a P pont PQ felezőmerőlegesére vett tükörképe.
További közös pontok csak abban az esetben találhatóak, ha e és f párhuzamosak. Valóban: tegyük fel, hogy M közös pont, és tekintsük az e illetve f egyenes M-hez tartozó X illetve Y pontját. (Tehát azokat az X illetve Y pontokat, amelyekből kiindulva a konstrukcióddal T=U=M adódik.) Ekkor PMX és QMY egyaránt egyenlő szárú háromszögek, valamint a (PMY) és (QMX) ponthármasok kollineárisak. Így a két egyenlő szárú háromszöget tekintve a szárszögek egybevágóak, ezért az alapon nyugvó szögek is. Ebből az e és f egyenesek párhuzamossága következik.
Az egyszerűen ellenőrizhető, hogy e és f párhuzamossága esetén a két mértani hely egybeesik: ebben az esetben az e egyenes valamely X pontjából kiindulva kapott T ponthoz TPf-et Y-nak választva U=T adódik.
Összefoglalva: t és u közös pontjai pontosan P és Q, ha e és f nem párhuzamosak; ha pedig e és f párhuzamos, akkor az összes pont közös.
Megjegyzem, hogy t és u mindegyike derékszögű hiperbola. Az, hogy a mértani helyek kúpszeletek, projektív geometriai úton (Steiner tétele alapján) egyszerűen látszik. Például t ugyanis az e pontjait Q-ból vetítő sugársor és a PX szakaszok felezőmerőlegesei által alkotott sugársor metszési alakzata. Ez a két sugársor projektív kapcsolatban van, így a metszési alakzatuk kúpszelet. Ez a kúpszelet tartalmazza a sugársorok tartópontjait: tehát a Q pontot, illetve az e-re merőleges irányt jelentő ideális pontot. Tartalmazza továbbá e ideális pontját is, ugyanis abban az esetben, ha X az e egyenes ideális pontja, akkor T ugyanez az ideális pont. Így a mértani hely olyan kúpszelet, amelynek két ideális pontja merőleges irányokat jelent, azaz valóban derékszögű hiperbola.
|
Előzmény: [1667] w, 2013-04-02 14:15:13 |
|
[1669] jonas | 2013-04-03 10:24:34 |
Ha az [1665]-ben lévő feladatot elhisszük, akkor ez az első térbeli változat már következik, hiszen a téglatest egy oldalára a kis téglatesteknek csak olyan lapja fekszik, aminek van egész oldala, ezért a téglatestnek kell lennie legalább két egész élének.
|
Előzmény: [1668] Fálesz Mihály, 2013-04-03 10:01:27 |
|
[1668] Fálesz Mihály | 2013-04-03 10:01:27 |
Ne rohanjunk ennyire.
Oldjuk meg mindkét változatot, és keressünk olyan módszereket, amik magasabb dimenzóban is működnek. Pl. egy háromdimenziós téglát bontunk n×1×1, 1×m×1 és 1×1×k méretű darabokra, illetve olyan kis téglákra, amiknek van egész hosszúságű éle.
|
Előzmény: [1667] w, 2013-04-02 14:15:13 |
|
[1667] w | 2013-04-02 14:15:13 |
Igaz, a két feladat nagyon ismert.
megoldás
Akkor inkább jöjjön egy nehéz, saját feladat. Még nem sikerüt megoldanom.
Adott egy e egyenes és rajta egy rögzített P pont, illetve egy másik Q pont a síkon. Legyen Xe esetén fX a PX felezőmerőlegese, és T=fXQX. Hat. meg T pont t mértani helyét. Vegyünk fel egy tetszőleges másik egyenest is Q-n keresztül, rajta egy Y pontot, QY fY felezőmerőlegesét, és U=fYPY pont u mértani helyét. Határozzuk meg t és u közös pontjait.
|
Előzmény: [1665] Fálesz Mihály, 2013-04-02 09:02:25 |
|
|
[1665] Fálesz Mihály | 2013-04-02 09:02:25 |
Úgy már rendben.
Egy folytonos változat: ha egy T téglalapot fel lehet bontani kis téglalapokra úgy, hogy mindegyik kis téglalapnak van egész hosszúságú oldala, akkor T-nek is van egész hosszúságú oldala.
Tanulságos mindkét feladatot megoldani, és összehasonlítani a megoldásokat.
|
Előzmény: [1664] w, 2013-04-01 23:11:31 |
|
[1664] w | 2013-04-01 23:11:31 |
Mindegy. Kicsit rosszul írtam ki (ahogy sejtettem :( ). A téglalapok nem forgathatók el, méreteik 1 x m és n x 1.
|
Előzmény: [1663] w, 2013-04-01 22:52:37 |
|
|
|
[1661] w | 2013-04-01 16:17:17 |
Tudjuk, hogy egy téglalap kiparkettázható 1 x n -es és 1 x m -es téglalapokkal. Kiparkettázható-e csak 1 x n -es lapokkal vagy csak 1 x m -esekkel?
|
|
[1660] w | 2013-03-29 20:03:47 |
Ezt én nem tudom, nincs meg a tankönyv. Persze lehet spekulálni: szerintem a bizonyítás természetes, és egy középiskolás ezt értené meg legkönnyebben. Másrészt, felmerül, hogy van-e másik (megfordítási) bizonyítás erre, nincs nagyon esély módosításra.
|
Előzmény: [1659] HoA, 2013-03-29 19:35:28 |
|
[1659] HoA | 2013-03-29 19:35:28 |
Köszönöm. Természetesen én is be tudom bizonyítani. Csak arra nem emlékeztem - és ezért erre lennék kíváncsi - , milyen bizonyítás szerepel ma a tankönyvben. Vagy tudod, hogy ott is ez van?
|
Előzmény: [1658] w, 2013-03-29 18:55:50 |
|
|
[1657] HoA | 2013-03-29 15:07:43 |
Előre is elnézést a kérdésért: Hogy bizonyítja manapság a középiskolai tankönyv, hogy ha egy konvex négyszög szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor érintőnégyszög? ( A másik irányra emlékszem :-) )
|
Előzmény: [1646] Fálesz Mihály, 2013-02-27 19:22:17 |
|
|
|
|
[1653] Fálesz Mihály | 2013-03-12 20:43:45 |
A gömbháromszög területét nem határozza meg egy oldal és a hozzá tartozó magasság.
Valójában a terület használatára nincs is szükség, az euklideszi háromszögekben az összefüggés egyszerű hasonlóságból jön ki.
|
Előzmény: [1652] w, 2013-03-12 20:05:56 |
|
|
|
|
|
[1648] nadorp | 2013-02-28 15:42:12 |
A befogótétel csak derékszögű háromszögre alkalmazható, általános esetben sem. Inkább azon gondolkodj el, hogy minek a kiszámolásához használjuk leggyakrabban a háromszög magasságait?
|
Előzmény: [1647] nyerek01, 2013-02-28 14:44:40 |
|