Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1860] Bátki Zsolt2014-09-15 22:28:23

Ha a két pont egyenese közrefogja a kört, akkor annak egyenese kimetszi a megoldást a körből.(háromszög egyenlőtlenség) AB>=AP+PB Ha AB szakasz kívül van a körön, akkor rajzoljunk egy szabályos háromszöget a körhöz képest kifelé. Ennek csúcspontja C. C és a kör középpontja O által meghatározott egyenes és a kör metszéspontja a nyerő. P pont. Nem tudom bizonyítani, de Geogebrával ellenőrizhető. Valószínűleg köze van ahhoz, hogy egy 120 fokosnál kisebb háromszög esetén AP+BP+CP összeg akkor a legkisebb, ha P minden oldalról 120 fokos szögben látszik. (Nem tudom kinek a tétele)

Így a szerkesztés nagyon egyszerű. Köszönöm a feladatot. megj, Fizika: a fény a legrövidebb utat keresi. Tehát ha tükörből van a kör (henger) akkor A-ból a B pontot P pontban látjuk. (Beesési és kimenő szög egyenlő) Aki akarja bizonyítsa, hogy tényleg ez a minimális. Érdekel a megoldás.

[1859] Bagesz2014-09-15 04:52:30

Sziasztok! Két pont között a legrövidebb utat kellene kiszámolnom, úgy hogy egy kört kell érinteni. Ismert a 2 pont és a kör koordinátái, valamint a kör sugara. Azt tudom, hogy a kör azon pontja a keresett pont, ahol a kör érintője és a pontok által bezárt szög megegyezik. Ezt viszont hogy lehet kiszámolni vagy kiszerkeszteni? Előre is köszi a segítséget. Üdv

[1858] w2014-08-12 12:31:07

Oké, igen, triviális. Meddig jutottál egyébként a feladattal?

Előzmény: [1857] Sinobi, 2014-08-10 20:25:29
[1857] Sinobi2014-08-10 20:25:29

ennek kupszeletes altalanositasarol tudsz valamit? igaz-e, hogy 4-5 kupszelethez mindig letezik olyan kupszelet, amely mindegyiket erinti?

-

@w: "Legyen ABC háromszög BC oldalához írt köre h, amely a BC oldalt D-ben érinti. Tekintsük azt a k kört, amely áthalad a B és C pontokon, és érinti h-t (de nem a BC egyenes). Mutassuk meg, hogy h és k érintési pontját P-vel jelölve, PD egyenes felezi a BPC szöget."

Vesszuk BC Apolloniusz-korei kozul azt, amelyik meroleges h-ra. Athalad P-n es D-n, mert invertalva ra P es D fixen kell maradjanak.

Előzmény: [1856] Fálesz Mihály, 2014-08-08 16:56:22
[1856] Fálesz Mihály2014-08-08 16:56:22

Ez az Apollóniusz féle szerkesztési feladat speciális esete: adott három kör, pont vagy egyenes, szerkesszünk olyan kört, ami mindhármat érinti (pont esetén átmegy rajta).

Egy tipikus megoldás, hogy a körök sugarait ugyanannyival megváltoztatjuk úgy, hogy az egyik kör ponttá fajuljon. (Az egyenest eltoljuk). Ezután jöhet egy inverzió, ami visszavezeti a feladatot két kör közös érintőinek megszerkesztésére.

Előzmény: [1855] djuice, 2014-08-08 15:07:32
[1855] djuice2014-08-08 15:07:32

Sziasztok!

Az alábbi geometriai szerkesztési példán gondolkodom már napok óta, de nem jutok eredményre. Tudnátok segíteni?

Adottak "r1" és "r2" tetszőleges sugarú és helyzetű körök a síkon, valamint egy őket nem érintő és nem metsző "f" egyenes, melynek ismerjük a körök középpontjától mért paraméteres (n1-; n2-szeres) távolságát. Szerkesszük meg azt a közbeeső kört, mely érinti mindkét kört és az egyenest! Számítani is próbálom a pontokat, de a szerkesztés volna a lényeg.

Mellékelem az ábrát is:

[1854] w2014-07-18 13:38:09

Ez nagyon szép, köszi! :)

Előzmény: [1853] csábos, 2014-07-18 09:22:53
[1853] csábos2014-07-18 09:22:53

Tekintsük azt a tetraédert, amely alapja az &tex;\displaystyle ABC&xet; háromszög és minden lapja egybevágó vele. Másképp: Induljon ki az &tex;\displaystyle A&xet; csúcsból egy &tex;\displaystyle a&xet; hosszú, a &tex;\displaystyle B&xet; csúcsból egy &tex;\displaystyle b&xet; hosszú, a &tex;\displaystyle C&xet; csúcsból egy &tex;\displaystyle c&xet; hosszú él. Ekkor a keresett pont a &tex;\displaystyle D&xet; csúcsból induló magasság talppontja.

MOTIVÁCIÓ: Oldjuk meg a feladatot térben. Ha a &tex;\displaystyle P&xet; (síkbeli pont) olyan, hogy a &tex;\displaystyle Q&xet; vetülete az &tex;\displaystyle ABC&xet; síkra &tex;\displaystyle P&xet;, akkor &tex;\displaystyle QA^2=PA^2+QP^2&xet;, ugyanez szimmetrikusan. Így a &tex;\displaystyle QBC&xet; háromszög oldalainak négyzetösszege &tex;\displaystyle 2QP^2&xet;-tel nagyobb, mint a &tex;\displaystyle PBC&xet;-é. A fent leírt &tex;\displaystyle D&xet; pont nyilvánvalóan teljesíti a feltételeket. Az, hogy nincs másik, az is kijön. Ha a &tex;\displaystyle P'&xet; pont jó, akkor emeljük ki a síkból olyan ,,magasra", hogy a keresett összeg épp &tex;\displaystyle a^2+b^2+c^2&xet;. Ekkor a feltételeket felírva adódik, hogy &tex;\displaystyle |Q'A|=a&xet;.

Síkban úgy oldanám meg, hogy keresném a &tex;\displaystyle P&xet; pont &tex;\displaystyle X&xet; tükörképét mondjuk az &tex;\displaystyle AC&xet; oldal felezőpontjára. Ekkor a &tex;\displaystyle PBC&xet; és &tex;\displaystyle PAB&xet; háromszögekre felírt négyzetösszegből &tex;\displaystyle PB^2&xet;-t kivonva &tex;\displaystyle XC^2+AB^2=XA^2+BC^2&xet; adódik, azaz a &tex;\displaystyle BCXA&xet; négyszög átlói merőlegesek. Innen az említett módokon adódik a &tex;\displaystyle P&xet; pont heyzete.

Előzmény: [1852] w, 2014-07-17 18:56:13
[1852] w2014-07-17 18:56:13

OK igen.

Van egy analóg vektoros megoldás, azt a megoldást vártam (bár én tipikusan koordinátázom a feladatokat). Vagyis ha most a kisbetűk a megfelelő csúcsokhoz tartozó vektorok, akkor a feltétel szerint

&tex;\displaystyle (a-b)^2+(b-x)^2+(x-a)^2=(a-c)^2+(c-x)^2+(x-a)^2&xet;

és ennek ciklikus permutáltjai állnak fenn. Előbbi egyenletet kicsit alakítva, kapjuk, hogy (skalárszorzatokkal)

&tex;\displaystyle [(a^2-2ab+b^2)-(a^2-2ac+c^2)]+[(b^2-2bx+x^2)-(c^2-2cx+x^2)]=0,&xet;

&tex;\displaystyle 2(-a+b+c-x)(b-c)=0,&xet;

azaz &tex;\displaystyle \vec{AB}+\vec{XC}&xet; vektor merőleges &tex;\displaystyle BC&xet;-re. Előbbi vektor &tex;\displaystyle A&xet;-ból az &tex;\displaystyle X&xet; pont &tex;\displaystyle BC&xet; felezőpontjára vett tükörképébe mutat, vagyis &tex;\displaystyle X&xet; rajta van az &tex;\displaystyle A&xet;-ból induló magasság &tex;\displaystyle BC&xet; felezőpontjára vonatkozó tükörképén. Hasonlóan, a &tex;\displaystyle B&xet;-ből és &tex;\displaystyle C&xet;-ből induló magasságok tükörképein is rajta van. Az egyetlen ilyen pont a kiegészítő háromszög magasságpontja.

Jellegétől fogva a feladatot szerintem nem nagyon lehet koordináták/vektorok nélkül megoldani. Kíváncsi vagyok, hogy mégis van-e "elemi" megoldása.

Előzmény: [1851] emm, 2014-07-17 13:09:23
[1851] emm2014-07-17 13:09:23

&tex;\displaystyle x=a+b&xet; épp a magasság oldalfelező merőlgesre vett tükörképe, a koordinátázás meg oldalfüggetlenül szimmetrikus, szóval mind a 3 ilyen egyenesen rajta van, ebből meg kb. adódik a sejtés, hogy így lehetne értelmezni.

Előzmény: [1850] w, 2014-07-17 12:49:11
[1850] w2014-07-17 12:49:11

Ez is egy érdekes megközelítés. A geometriai interpretációra viszont hogyan jöttél rá?

Előzmény: [1849] emm, 2014-07-17 12:40:02
[1849] emm2014-07-17 12:40:02

Legyen a háromszög &tex;\displaystyle ABC&xet;, koordinátázunk. &tex;\displaystyle A(a,0)&xet;, &tex;\displaystyle B(b,0)&xet;, &tex;\displaystyle C(0,c)&xet;, &tex;\displaystyle P(x,y)&xet; legyen egy keresett pont. Ekkor a kerületek rendre

&tex;\displaystyle K_{PAB}=(x-a)^2+y^2+(x-b)^2+y^2+(b-a)^2&xet;

&tex;\displaystyle K_{PAC}=(x-a)^2+y^2+x^2+(c-y)^2+a^2+c^2&xet;

&tex;\displaystyle K_{PBC}=(x-b)^2+y^2+x^2+(c-y)^2+a^2+b^2&xet;

&tex;\displaystyle K_{PAB}-K_{PAC}=-2 (b (a - b + x) + c (c - y))=0&xet;

&tex;\displaystyle K_{PAC}-K_{PBC}=2 (b - a) (a + b - x)=0&xet;

Innét &tex;\displaystyle x=a+b&xet; és &tex;\displaystyle y=c+\frac{2ab}{c}&xet;. Tudjuk, hogy ebben a koordinátarendszerben a magasságtpont &tex;\displaystyle M\Big(0,-\frac{ab}{c}\Big)&xet; és köréírt kör középpontja &tex;\displaystyle O\Big(\frac{a+b}{2},\frac{ab+c^2}{2c}\Big)&xet;, és &tex;\displaystyle 2O-M&xet; épp az általunk kapott pont, így &tex;\displaystyle P&xet; a magasságpont középpontra vett tükörképe.

Előzmény: [1848] w, 2014-07-17 11:49:57
[1848] w2014-07-17 11:49:57

Adott egy &tex;\displaystyle ABC&xet; háromszög a síkon. Adjuk meg az(oka)t a &tex;\displaystyle P&xet; pontokat, melyekre az &tex;\displaystyle ABP&xet;, &tex;\displaystyle BCP&xet; és &tex;\displaystyle CAP&xet; háromszögek oldalainak négyzetösszege megegyezik. Keressük meg &tex;\displaystyle P&xet; geometriai jelentését!

[1847] HajduM2014-07-05 21:11:52

Jézusom, most értettem meg a pitagoras tételt...

Köszönöm a segítséget...

Előzmény: [1844] HajduM, 2014-06-20 19:46:03
[1846] Sinobi2014-06-24 18:06:01

[1845] az trivialisnak tunik... Bloffre: belatod, hogy X1PX2P' egy erintonegyszog csucsai, felveszed az erintesi pontokat, alkalmazod, hogy egy pontbol egy korhoz huzott ket erinto ugyanolyan hosszu, es azt kapod, |PF1-PF2| = |P'F1-P'F2|, gondolom.

Mas feladat: maximum hany olyan pontpart lehet megadni a sikon, hogy lehessen hozza talalni olyan 2-od rendu gorbesort, hogy minden pontpar mindket eleme ugyanazon a 2-od rendu gorben fekudjon? (ez nem egy krealmany, hanem tenyleg elojott geometria kozben, van, ahol hasznos lenne tudni. En nem tudom)

[1845] w2014-06-20 23:27:30

Egy &tex;\displaystyle \varepsilon&xet; ellipszisnek és egy &tex;\displaystyle H&xet; hiperbolának ugyanazok a fókuszai: &tex;\displaystyle F_1,F_2&xet;. Mutassuk meg, hogy minden &tex;\displaystyle P\in H&xet;-ra az &tex;\displaystyle X_i=PF_i\cap \varepsilon&xet; (i=1,2) jelöléssel &tex;\displaystyle F_1X_2\cap F_2X_1&xet; is &tex;\displaystyle H&xet; pontja lesz.

[1844] HajduM2014-06-20 19:46:03

Üdv!

Fel kell készülnöm mindenre ami szóba jöhet.

Ma volt egy olyan feladatom, amit csőszerelő szakmában izometriának neveznek, ami azt jelenti, hogy meghatározott két pontot össze kell kötni egy csőszakasszal úgy, hogy közben függőleges, vízszintes irányváltásokkal ki kell kerülni gépeket más csöveket stb...

Gyakorlatilag 3 dimenzióban kell gondolkodnunk, és megtervezni, hogy A ponttól B-ig, miként jutunk el egy pl 100 milliméter vastagságú csővel és e szakaszba épített berendezésekkel.

Ha A pont egy kocka bal alsó sarka, B pedig a túl oldali jobb felső, és közben egy 12 fokos, egy 74 fokos, és egy 17 fokos íveltséget kell számolnom, illetve meg kell tudnom, hogy az ívek közötti egyenes szakaszok mekkorák?

Ezt le kell gyártanom a földön, majd esetleg 6 méter magasban, befűzni egy csőhídra, most éppen Kecskeméten az Univer konzervgyár, paradicsomfeldolgozó épülő üzemében.

Tehát alapvetően a megfelelő kérdések megfogalmazásával bajlódom, mert Ti egészen másképpen gondolkodtok, mint ahogyan nekem kell.

Nem elég tudnom a számokat, teljesen el kell tudnom képzelni (vizualizálni) a kész csőhálózatot és tudnom kell lépésről lépésre a folyamatot, miközben ki kell számolnom az ívek szögeit, és meg kell tudnom mellé az egyenes (passz-darabok) méretét is!

Szombaton délután, vagy vasárnap lesz szabadidőm, majd neki veselkedek a megfelelő kérdések megfogalmazásának!

Addig is köszönöm a segítőszándékot.

Előzmény: [1843] Sinobi, 2014-06-19 23:59:29
[1843] Sinobi2014-06-19 23:59:29

Be tudod hatarolni a feladatokat arra a nehany, csak szamertekeikben eltero feladatra, amelyre szukseged lesz, vagy fel szeretnel keszulni arra, hogy barmilyen szobajoheto problemat meg tudj oldani?

Lesz majd lehetoseged internetet hasznalni? Internetre vagy szamologepre szukseged lesz.

Konkret kerdesre hogy valaszoljak: a szinusz egy fuggveny. Egy szog szinuszat sin(szog) alakban jeloljuk, es nagyon sokfelekeppen hivatkozunk ra szoban, de ha egy kifejezesben egy szog es a szinusz szo szerepel, ezt a jelolest ertjuk alatta. Egy altalad valasztott szog szinuszat, peldaul a 45°-et ugy kapod meg, hogy beirod a google-ba, hogy sin 45 degrees, es a google kiir egy masik szamot, amely a szog szinusza. Ez annyit jelent, hogy ha az atfogo 1 cm hosszu, es az atfogo es a vizszintes kozott a szog 45°, akkor a fuggoleges befogo 0.7071 cm hosszu. Mas szogre is, amit a google kiad, a fuggoleges befogo hosszat adja meg, 1 cm hosszu atfogo eseten.

Előzmény: [1842] HajduM, 2014-06-18 22:09:22
[1842] HajduM2014-06-18 22:09:22

Mindenekelőtt köszönöm a választ...

Olyan hatással van ez rám, mintha nyakon öntöttek volna egy tányér forró nem kívánatos anyaggal, hogy finom legyek...

Olyan természetességgel ugrasz egyik értékről a másikra, ahogyan Én egyik állványról a másikra...

12 órás műszak után, szinte semmit nem értek ebből, de annyira, hogy még vissza kérdezi sem tudok..

Csőszerelő szakmai közegről van szó egyébként, ahol a 14 milliméter átmérőjű csőtől az 500-as ig dolgozunk, dominánsan nagyokkal.

Reggel elolvasom megint, és megpróbálok kérdést feltenni, mert most még az sem megy!

A Pitagoras tételt értem, de a többit nem, sem szinuszt, sem koszinuszt, sem semmit...

Előzmény: [1841] w, 2014-06-17 22:56:24
[1841] w2014-06-17 22:56:24

A szögfüggvényekkel kapcsolatban itt szerintem megtalálod a definíciókat. A kérdésekből ítélve, a számításokhoz csak a szögfüggvények definíciói, illetve még talán később a szinusz- és koszinusztétel kellenek, keress rájuk Google-on. Vagy vegyél egy trigonometriáról szóló alkalmas könyvet a könyvesboltban. A Kömal korábbi C-jelű feladatai között találhatók még példák bőséggel.

Nézzünk is egy &tex;\displaystyle a,b&xet; befogókkal rendelkező derékszögű háromszöget, melynek átfogója &tex;\displaystyle c&xet;. Az &tex;\displaystyle a&xet; befogóval szemben lévő szöget jelölje &tex;\displaystyle \alpha&xet;.

Az első kérdésedben, ha jól értettem &tex;\displaystyle \alpha&xet; és &tex;\displaystyle a&xet; adott. Ha megnézed, a definíció szerint &tex;\displaystyle \sin\alpha=\frac ac&xet;, vagyis átszorozva &tex;\displaystyle c=\frac{a}{\sin\alpha}&xet;. A számológép segítségével &tex;\displaystyle \sin\alpha&xet; számolható, innen megvan &tex;\displaystyle c&xet;.

A második kérdésedhez annyit, hogy a Pitagorasz-tétel szerint &tex;\displaystyle a^2+b^2=c^2&xet; a Pitagorasz-tétel szerint, avagy például &tex;\displaystyle c=\sqrt{a^2+b^2}&xet; stb. Vagyis egy derékszögű háromszögben két oldal ismeretében a harmadik oldal megadható. Utána nézd meg a &tex;\displaystyle \sin\alpha=\frac{a}{c}&xet; hányadost, ennek az értéke ismert. Ahhoz, hogy ebből &tex;\displaystyle \alpha&xet;-t megkapd, a &tex;\displaystyle \sin&xet; függvény inverzét kell alkalmazni, számológépen pl. &tex;\displaystyle \sin^{-1}&xet; szokta ezt jelölni. (Számológép nélkül ezek a számítások nem nagyon szoktak menni.)

A harmadik kérdésnél is ugyanezt csináljuk. Tudod, hogy például &tex;\displaystyle \sin\alpha=\frac ac&xet;, vagy &tex;\displaystyle \cos\alpha=\frac bc&xet;. Ezt átszorozva, &tex;\displaystyle c=\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\cos\alpha}&xet;. Vagyis az &tex;\displaystyle a&xet; befogót például &tex;\displaystyle \frac1{\sin\alpha}&xet; értékkel kell megszorozni, hogy &tex;\displaystyle c&xet; átfogót kapjuk, például &tex;\displaystyle \alpha=45^\circ&xet; esetén ez az arány &tex;\displaystyle \sin\alpha=\frac1{\sqrt2}&xet; miatt éppen &tex;\displaystyle \sqrt2&xet; lesz. Vagy &tex;\displaystyle \alpha=53^\circ&xet;-ra &tex;\displaystyle \sin 53^\circ=0,7986&xet;, &tex;\displaystyle \frac1{\sin 53^\circ}=1,2521&xet;.

Előzmény: [1840] HajduM, 2014-06-17 21:29:37
[1840] HajduM2014-06-17 21:29:37

Üdv mindenkinek. Az eddig olvasottakból azt feltételezem, hogy a kérdésem túl egyszerű lesz a fórum színvonalához, de valahonnan válaszhoz szeretnék jutni...

Tanultam persze régen ipari suliban sőt még általánosban is a szögfüggvényekkel kapcsolatosan, de ki emlékszik már arra, mikor az elmúlt 30 évben nem kellett alkalmaznom sehol ezt a tudást, így el is felejtődött...

Most olyan munkakörülmények közé kerültem, ahol egyre mélyebben bele kell másznom a rég tanultakba, de alig emlékszem valamire!

Ezért szeretnék a számotokra nyilván primitív kérdéseket feltenni, és persze válaszokat kapni rájuk!

Az első kérdésem.

Ismerem egy háromszög egyik befogójának méretét, és az ehhez tartozó szöget.

Pl, 45 fokos szög, és 600 milliméter a egyik befogó mérete. Szeretném megtudni az átló/átfogó méretét...

A második ennek a kérdésnek az inverze...

Tudom a két befogó méretét, és azt, hogy ezek 90 fokos szöget zárnak be, szeretném megtudni a vízszintes befogó és az átfogó által bezárt szöget...

A harmadik kérdés:

Tudjuk, hogy egy derékszögű háromszög esetén, ha pl az egyik befogó és az átfogó által bezárt szög 45 fok, akkor 1.42-vel szorozva a befogót, megkapjuk az átfogó méretét. Kérdés, hogy ugyanilyen szorzót, hogyan kaphatunk meg más, mondjuk 32 fok, vagy 53 vagy más szög esetén... Tehát egy méretből és az általa bezárt szögből miként számítható ki az az egyszerűsített szorzó, amely megadja az átfogó méretét?

Elnézést, ha kicsit sok és bugyuta a kérdésfelvetés, de per pillanat nem tudom jobban elétek tárni a kérdést...

[1839] Sinobi2014-05-27 10:53:31

eh, képlet helyesen:

&tex;\displaystyle \implies 2d=\frac{|OAA(O)-k(O)|}{|AA(O)|}=\frac{|k(O)|}{r}=const.&xet;

ábra:

[1838] Sinobi2014-05-27 10:49:49

lemma: Ha adott k1, k2 kör, középpontjaik távolsága d>0, hatványvonaluk h, akkor a sík minden P pontjára:

&tex;\displaystyle |h(P) \cdot 2d|=|k1(P)-k2(P)|&xet;

Ahol h(X), k1(X) és k2(X) a megfelelő alakzatok normált egyenletei.

Ezt használva a B4618 megoldása:

B. 4618. Az A1A2... An sokszögbe és köré is írható kör. A beírt kör középpontja O, továbbá az OAiAi+1 kör középpontja Ci (i=1,2,...,n, és An+1=A1). Igazoljuk, hogy C1,C2,...,Cn egy körön vannak.

A sokszög K köré írt körére, az OAiAi+1 körre és az O pontra felírom az összefüggést.

&tex;\displaystyle OAA(O)=0,~AA(O)=r,~k(O)=const.&xet;

&tex;\displaystyle \implies 2d=\frac{|k1(P)-k2(P)|}{|AA(O)|}=\frac{k(O)}{r}=const.&xet;

&tex;\displaystyle \implies&xet; Minden Ci ugyanolyan messze (&tex;\displaystyle |k(O)/2r|&xet;) van a sokszög köré írt kör középpontjától, Q.E.D.

B4631 megoldásának egy része:

B. 4631. Az egy síkban fekvő k0, k1, k2, k3 körök páronként kívülről érintik egymást; ki és kj érintési pontja Tij. Legyen k0 középpontja O; sugara r. Legyen a T12T23T31 kör középpontja U, sugara pedig R. Igazoljuk, hogy

&tex;\displaystyle |OU^2 - R^2 - r^2|= 4Rr&xet;

(ez saját átfogalmazásom az állításnak, valamivel könnyebb talán, mint amit ki akartak tűzni)

Elnevezem az egyik T pont körüli, k0-ra merőleges kört a-nak. a-ra történő inverzió során TTT kör k0 és az a kör hatványvonalába megy át, távolsága O-tól 2r (lásd ábra).

Az a és TTT körökre és az O pontra felírva a lemmát:

&tex;\displaystyle 2R \cdot 2r = |TTT(O)-a(O)| = |OU^2 - R^2 - r^2|&xet;

amelyből az eredeti feladathoz már csak az előjelet kell kiszedni valamilyen okos indoklással.

[1837] HoA2014-04-21 20:51:09

Re: ket olyan kor letezik, amely erinti az egyenespart es a korsor eleme, valahol ki kell diszkuszalni, hogy melyiket erinti CD

Lásd a [1834] feladatot.

Előzmény: [1836] Sinobi, 2014-04-18 13:30:02
[1836] Sinobi2014-04-18 13:30:02

nem kap kedvet, de szerintem nagyon szep egyszeru a megoldasod, ha jol ertem:

T,O, kAB es kCD kozeppontja egy parallelogramman helyezkedik el, mert a kozeppontok a megfelelo oldalfelezo merolegesek metszespontjai, amelyek viszont tukrosek az OT felezopontjara, igy a kozeppontok is. Ha a parallelogramma ket oldalhosszanak osszegevel O korul kort rajzolunk, erinteni fogja kAB-t es kCD-t, tehat az ilyen kor egyszerre erinti oket. (nb: ket olyan kor letezik, amely erinti az egyenespart es a korsor eleme, valahol ki kell diszkuszalni, hogy melyiket erinti CD)

A T1 tartopontra torteno, k2-t fixen hagyo inverzio az elliptikus korsorbol koncentrikust kepez, k1 kepe k2-vel koncentrikus, es erinti AB kepet (kCD-t), tehat kAB-t, CD kepet is, QED.

Nekem ez tetzsik, egyszeru, elemi geometriai.

Az en megoldasom nem sokkal bonyolultabb, csak sajnos olyan dolgokat hasznal, amelyekhez nem ertek, es inkabb algebra mintsem geometria. Felveszem a k1-t erinto masik egyenest, es azt akarom belatni, hogy AC is atmegy T1-n. Ezt ugy teszem, hogy belatom, hogy a korsor egyenesparral valo Ai Ci metszespontjai egymassal projektivek, es belatom 4 specialis esetre, hogy az AC egyenes atmegy a T1-n. Nem bonyolult, de nem is erdekes, nem reszleteznem.

Előzmény: [1835] HoA, 2014-04-14 21:54:31

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]