Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[192] BohnerGéza2004-11-25 18:38:10

A 45. feladat [182.] egy megoldása. A Fórum - Kürschák-verseny 5. hozzászólásában szerepel a Casey-tétel. Az alapkör a k körülírt kör, az érintőkörök: az A, B és C nullkörök, valamint a k-ca kör. Jelöljük a BF=BE szakaszt x-szel, ekkor AB*CF+BF*CA=AE*BC, azaz c(x-a)+xb=(c+x)a. Innen (b+c-a)x=2ca, 2(s-a)x=2ca, ( innen olvashatóbban a következő hozzászólásban! ) x=ca/(s-a). Tekintve, hogy a BEOca és az OCoB háromszögek hasonlók ( O a beírt kör sugara, így OCo=ró és CoB=s-b ) r-ca=ca(s-b)/ró(s-a).

A folytatás a jobb olvashatóság érdekében ( és lustaságom miatt ) a következő hozzászólásban lesz.

Megjegyzések:

1.A feladatot elkapkodva adtam föl, így szövegéből kimaradt, hogy a körülírt kört kívülről érintő körről van szó, valamint a három megadott sugár szorzata nem adható meg csak a körülírt kör sugara és a félkerület szorzatával.

2.A k-ac kör és a k-ca két különböző kör, ilyen jellegű - a körülírt kört kívülről érintő - kör 6 db van.

Előzmény: [182] BohnerGéza, 2004-11-17 09:35:09
[191] lorantfy2004-11-25 11:14:19

46. feladat: Ar ABC \Delta csúcsait kössük össze a szemközti oldalak egyik harmadoló pontjával. Mekkora a keletkező DEF \Delta területe?

[190] Hajba Károly2004-11-24 14:47:40

Kedves Svejk!

Félrevezető a vastag keret. Átrajzoltam vékonnyal és behúztam az igazi átfogót.

Cserébe mondd meg nekünk, hogy mennyi a P töréspont és e átfogó közötti távolság, ha a háromszög két befogója 13 és 5 egység.

HK

Előzmény: [187] svejk, 2004-11-24 13:22:42
[189] jenei.attila2004-11-24 13:29:08

Helyesen: 2/5 nem= 3/8. A felső alakzat egy konkáv négyszög, amelyhez a konkáv résznél épp 1 területegység hiányzik, hogy derékszögű háromszög legyen.

Előzmény: [188] jenei.attila, 2004-11-24 13:23:21
[188] jenei.attila2004-11-24 13:23:21

Az a baj, hogy a befoglaló "háromszög" nem háromszög, csak majdnem. Ugyanis ha az lenne, akkor a piros és a sötétzöld háromszögeknek hasonlóaknak kellene lenni, de nem azok (2/5 nem = 5/8).

Előzmény: [186] svejk, 2004-11-24 13:15:02
[187] svejk2004-11-24 13:22:42

Kedves Matekosok!

Elnézést, hogy előbb a képet küldtem.:( Úgy tudom, hogy ez egy elég régi feladvány, de még senkitől nem kaptam kielégítő magyarázatot, hogy miért változnak meg a részterületek összegei. Help!

A választ előre is köszönöm!

[186] svejk2004-11-24 13:15:02
[185] Kós Géza2004-11-22 16:34:40

Kedves Géza,

Ezek szerint a kívülről érintő körökre gondoltál.

Invertáljuk a beírt kört és a BC egyenest az A középpontú, \sqrt{bc} sugarú körre, majd mindkettőt tükrözzük az A-ból induló szögfelelezőre. A B és C pont képe önmaga, a BC egyenes képe a körülírt kör, a beírt kör képe pedig az AB és AC félegyeneseket, valamint a körülírt kört érintő kör, vagyis kbc.

A beírt körnek az AB, AC félegyeneseken levő érintési pontjai az A ponttól s-a távolságra vannak. A kbc kör érintési pontjai ennek megfelelően \frac{bc}{s-a} távolságra vannak A-tól. A sugarak aránya ugyanaz, mint az érintő szakaszoké, tehát

r_{bc}=\frac{\frac{bc}{s-a}}{s-a}\cdot\varrho=
\frac{bc\varrho}{(s-a)^2}.

Mindhárom körre felírva és összeszorozva,

r_{ab}\cdot r_{bc}\cdot r_{ca}=
\frac{a^2b^2c^2\varrho^3}{(s-a)^2(s-b)^2(s-c)^2}.

Beírva a Héron-képletet és a t=s\varrho=\frac{abc}{4r} területképleteket,

r_{ab}\cdot r_{bc}\cdot r_{ca}=
\frac{(4rt)^2(t/s)^3}{t^4/s^2}=
\frac{16r^2t}s=16r^2\varrho.

Előzmény: [184] BohnerGéza, 2004-11-19 14:22:11
[184] BohnerGéza2004-11-19 14:22:11

Ábra 45. feladathoz. A feladat szövege alapján 6 db kört lehet hasonlóan definiálni.

Előzmény: [183] Kós Géza, 2004-11-17 18:12:11
[183] Kós Géza2004-11-17 18:12:11

Nekem az jött ki, hogy ha a három kör kívülről érinti a körülírt kört, akkor

r_{ab}\cdot r_{bc}\cdot r_{ca} = \frac{16r^2t}s = 16r^2\varrho,

és a szorzatot nem lehet csak r-rel és s-sel kifejezni, de ki lehet fejezni a beírt és körülírt kör sugarával.

Ha a három kör belülről érinti a körülírt kört, akkor

r_{ab}\cdot r_{bc}\cdot r_{ca} = \frac{16r^2t^3}{s^5}.

Előzmény: [182] BohnerGéza, 2004-11-17 09:35:09
[182] BohnerGéza2004-11-17 09:35:09

45. feladat: A r-ca jelentse az ABC háromszög körülírt körét, valamint az AB és BC - ilyen irányú - félegyeneseket érintő kör sugarát. Mennyi az r-ca, r-ab és r-bc szorzata a körülírt kör r sugarával és az s félkerülettel kifejezve?

[181] lorantfy2004-11-11 08:38:28

Kedves Mihály!

Ez tényleg érdekesebb, meg aztán jóval egyszerűbb is, hiszen a két kör területének különbségével egyezik meg:

(121-81)\pi=40\pi

Előzmény: [179] Fálesz Mihály, 2004-11-10 14:07:23
[180] lorantfy2004-11-10 20:31:38

44. feladat megoldása: Vegyük fel az \alpha szöget és mérjük fel a száraira a félkerületet. A kapott E és F pontban állítsunk merőlegest. Ezek metszéspontja P a háromszög kívülírt körének középpontja, sugara ra=PE. Rajzoljuk meg a kört! Az a oldal ennek a körnek érintője. Húzzuk meg az AP szögfelezőt, ez a kört a G pontban metszi.

A háromszög területe T=\rhos. Mivel s adott, ez akkor a legnagyobb, ha a beírt kör a lehető legnagyobb. Ez pedig akkor van ha a beírt kör G pontban érinti a kívülírt kört.

Tehát a maximális területű háromszög egyenlő szárú.

Így a szerkesztés befejezése egyszerű: Állítsunk merőlegest a G pontban a szögfelezőre, ez lesz az a oldal.

Előzmény: [177] BohnerGéza, 2004-11-09 10:36:42
[179] Fálesz Mihály2004-11-10 14:07:23

Szerintem sokkal érdekesebb azt kiszámolni, hogy mekkora a piros és a kék terület különbsége.

Előzmény: [176] matekos04, 2004-11-08 19:54:26
[178] BohnerGéza2004-11-09 13:29:57

A B.3736. feladat és egy megoldása: Az egységnyi oldalú ABCD négyzet CD oldalán adott az N, CB oldalán pedig az M pont úgy, hogy az MCN háromszög kerülete 2. Mekkora az MAN szög?

Adott az MCN háromszög egy szöge (derékszög) és kerülete, ami kettő. Így félkerülete s=1. Tudjuk, hogy a csúcsból a szemközti hozzáírt körig húzott érintőszakasz hossza s, így esetünkben a C-vel szemközti érintőkör B-nél ill. D-nél érinti a C-ből induló oldalakat, tehát középpontja A. Az AM és AN az MCN külső szögfelezői. Tükrözve AM-re B-t a E-t, majd AN-re E-t a D-t kapjuk. A két tengelyes tükrözés B-t A körül 90 fokkal forgatta el, így a két tengely szöge 45 fok.

[177] BohnerGéza2004-11-09 10:36:42

44. feladat: . Szerkesztendő a lehető legnagyobb területű háromszög, ha adott egy szöge és a kerülete!

[176] matekos042004-11-08 19:54:26

Udv. mindenkinek!

Maglattam ezt a topikot erdekesnek talaltam es gondoltam hogy bekuldök egy feladatot:

A kerdesem az hogy hany negyzetcentimeter a szurke terulet.

[175] BohnerGéza2004-11-07 18:18:31

A 41. feladat másik megoldása: Az OOa Thálesz-körén a B, a C és pl. a B tükörképe is rajta van, így b*c=AC*AB';=AO*AOa.

Előzmény: [172] BohnerGéza, 2004-10-21 09:01:05
[174] lorantfy2004-10-24 11:21:22

Kedves Géza!

A 42. feladatra egy látványosabb bizonyítást szerettem volna adni, de idő hiányában beérem azzal, hogy visszavezetem egy ismert összefüggésre. Hivatkozok - és egyben felhívom a figyelmeteket - Kiss György: Amit jó tudni a háromszögekről című cikkére itt.

42. feladat megoldása:

Bizonyítandó:  \rho =4r sin \frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}sin\frac{\gamma}{2}\implies sin \frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}sin\frac{\gamma}{2}= \frac{\rho}{4r}

Felhasználjuk, hogy  sin \frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}sin\frac{\gamma}{2}= \frac{T^2}{s \cdot abc}

Tehát, be kell látnunk, hogy \frac{T^2}{s \cdot abc}= \frac {\rho}{4r} Átszorozva: T^2=\rho s \cdot \frac{ab}{2} \frac{c}{2r}=\rho s \cdot \frac{ab}{2}sin \gamma  =T \cdot T

Előzmény: [172] BohnerGéza, 2004-10-21 09:01:05
[173] lorantfy2004-10-23 14:55:54

41. feladat megoldása: AOC\Delta hasonló ABOA\Delta, mert A csúcsnál lévő szögük \frac {\alpha}{2}. AOC \angle = 180- \frac{\alpha}{2}- \frac{\gamma}{2}=\alpha + \beta + \gamma - \frac{\alpha}{2}- \frac{\gamma}{2}= \beta + \frac{\alpha+ \gamma}{2}=ABO_A \angle

Így aztán az oldalak arányából:  \frac{AB}{AO_A}= \frac{AO}{AC} \implies AB \cdot AC=AO \cdot AO_A

Előzmény: [172] BohnerGéza, 2004-10-21 09:01:05
[172] BohnerGéza2004-10-21 09:01:05

41. feladat: Az ABC háromszög szokásos jelölései mellett (O a beírt, Oa az A-val szemközti hozzáírt kör középpontja) igazoljuk, hogy AO*AOa = b*c.

42. feladat: ( ró a beírt kör, r a körülírt kör sugara ) bizonyítandó, hogy

ró = 4r*sin(alfa/2)*sin(béta/2)*sin(gamma/2)

[171] BohnerGéza2004-10-15 09:48:29

Sajnos máshogy nem tudom javítani a [170.] hozzászólásban elírt részt! A 37. feladat a [157.] hozzászólásban szerepel.

Előzmény: [170] BohnerGéza, 2004-10-14 22:50:38
[170] BohnerGéza2004-10-14 22:50:38

40. feladat: Az ABC háromszög és a k-val jelölt kör feleljen meg a 37. feladatban ( [169.] hozzászólásban ) leírtaknak. Igazoljuk, hogy ABC magasságpontja k-n van! ( pontosítható az állítás )

Ez a feladat ötletet adhat a 37. feladat megoldásához, illetve segíthet a [169.] hozzászólásban vázolt számolásban.

Előzmény: [158] BohnerGéza, 2004-09-08 20:25:06
[169] BohnerGéza2004-10-11 15:47:59

A 37. feladat: megoldásához. Egyelőre nincs jobb ötletem, mint a koordináta geometriai út, ez járható is. A mellékelt ábrán használt jelöléseket ajánlom. ( Hasonlóság miatt elég az ott látott AB szakasz esetén bizonyítani. ) A 38. feladat alapján először az APB és az ABC háromszög Euler-egyenese metszéspontjának meghatározását ajánlom. Szép, érdekes eredményt kapunk. Néhány nap múlva ezt közlöm.

Előzmény: [159] BohnerGéza, 2004-09-13 08:51:57
[168] Kristóf Miklós2004-10-06 13:18:22

Kedves Sirpi és többiek! Még egy picit csinosítható a képlet:

r = 5 - 3sqr(2) - sqr(142 - 100sqr(2))/2

A képlet érdekessége hogy 142 az majdnem 100sqr(2)=141.42..

Előzmény: [165] Sirpi, 2004-09-15 15:29:54

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]