[192] BohnerGéza | 2004-11-25 18:38:10 |
A 45. feladat [182.] egy megoldása. A Fórum - Kürschák-verseny 5. hozzászólásában szerepel a Casey-tétel. Az alapkör a k körülírt kör, az érintőkörök: az A, B és C nullkörök, valamint a k-ca kör. Jelöljük a BF=BE szakaszt x-szel, ekkor AB*CF+BF*CA=AE*BC, azaz c(x-a)+xb=(c+x)a. Innen (b+c-a)x=2ca, 2(s-a)x=2ca, ( innen olvashatóbban a következő hozzászólásban! ) x=ca/(s-a). Tekintve, hogy a BEOca és az OCoB háromszögek hasonlók ( O a beírt kör sugara, így OCo=ró és CoB=s-b ) r-ca=ca(s-b)/ró(s-a).
A folytatás a jobb olvashatóság érdekében ( és lustaságom miatt ) a következő hozzászólásban lesz.
Megjegyzések:
1.A feladatot elkapkodva adtam föl, így szövegéből kimaradt, hogy a körülírt kört kívülről érintő körről van szó, valamint a három megadott sugár szorzata nem adható meg csak a körülírt kör sugara és a félkerület szorzatával.
2.A k-ac kör és a k-ca két különböző kör, ilyen jellegű - a körülírt kört kívülről érintő - kör 6 db van.
|
|
Előzmény: [182] BohnerGéza, 2004-11-17 09:35:09 |
|
|
[190] Hajba Károly | 2004-11-24 14:47:40 |
Kedves Svejk!
Félrevezető a vastag keret. Átrajzoltam vékonnyal és behúztam az igazi átfogót.
Cserébe mondd meg nekünk, hogy mennyi a P töréspont és e átfogó közötti távolság, ha a háromszög két befogója 13 és 5 egység.
HK
|
|
Előzmény: [187] svejk, 2004-11-24 13:22:42 |
|
|
[188] jenei.attila | 2004-11-24 13:23:21 |
Az a baj, hogy a befoglaló "háromszög" nem háromszög, csak majdnem. Ugyanis ha az lenne, akkor a piros és a sötétzöld háromszögeknek hasonlóaknak kellene lenni, de nem azok (2/5 nem = 5/8).
|
Előzmény: [186] svejk, 2004-11-24 13:15:02 |
|
[187] svejk | 2004-11-24 13:22:42 |
Kedves Matekosok!
Elnézést, hogy előbb a képet küldtem.:( Úgy tudom, hogy ez egy elég régi feladvány, de még senkitől nem kaptam kielégítő magyarázatot, hogy miért változnak meg a részterületek összegei. Help!
A választ előre is köszönöm!
|
|
|
[185] Kós Géza | 2004-11-22 16:34:40 |
Kedves Géza,
Ezek szerint a kívülről érintő körökre gondoltál.
Invertáljuk a beírt kört és a BC egyenest az A középpontú, sugarú körre, majd mindkettőt tükrözzük az A-ból induló szögfelelezőre. A B és C pont képe önmaga, a BC egyenes képe a körülírt kör, a beírt kör képe pedig az AB és AC félegyeneseket, valamint a körülírt kört érintő kör, vagyis kbc.
A beírt körnek az AB, AC félegyeneseken levő érintési pontjai az A ponttól s-a távolságra vannak. A kbc kör érintési pontjai ennek megfelelően távolságra vannak A-tól. A sugarak aránya ugyanaz, mint az érintő szakaszoké, tehát
Mindhárom körre felírva és összeszorozva,
Beírva a Héron-képletet és a területképleteket,
|
Előzmény: [184] BohnerGéza, 2004-11-19 14:22:11 |
|
|
[183] Kós Géza | 2004-11-17 18:12:11 |
Nekem az jött ki, hogy ha a három kör kívülről érinti a körülírt kört, akkor
és a szorzatot nem lehet csak r-rel és s-sel kifejezni, de ki lehet fejezni a beírt és körülírt kör sugarával.
Ha a három kör belülről érinti a körülírt kört, akkor
|
Előzmény: [182] BohnerGéza, 2004-11-17 09:35:09 |
|
[182] BohnerGéza | 2004-11-17 09:35:09 |
45. feladat: A r-ca jelentse az ABC háromszög körülírt körét, valamint az AB és BC - ilyen irányú - félegyeneseket érintő kör sugarát. Mennyi az r-ca, r-ab és r-bc szorzata a körülírt kör r sugarával és az s félkerülettel kifejezve?
|
|
|
[180] lorantfy | 2004-11-10 20:31:38 |
44. feladat megoldása: Vegyük fel az szöget és mérjük fel a száraira a félkerületet. A kapott E és F pontban állítsunk merőlegest. Ezek metszéspontja P a háromszög kívülírt körének középpontja, sugara ra=PE. Rajzoljuk meg a kört! Az a oldal ennek a körnek érintője. Húzzuk meg az AP szögfelezőt, ez a kört a G pontban metszi.
A háromszög területe T=s. Mivel s adott, ez akkor a legnagyobb, ha a beírt kör a lehető legnagyobb. Ez pedig akkor van ha a beírt kör G pontban érinti a kívülírt kört.
Tehát a maximális területű háromszög egyenlő szárú.
Így a szerkesztés befejezése egyszerű: Állítsunk merőlegest a G pontban a szögfelezőre, ez lesz az a oldal.
|
|
Előzmény: [177] BohnerGéza, 2004-11-09 10:36:42 |
|
|
[178] BohnerGéza | 2004-11-09 13:29:57 |
A B.3736. feladat és egy megoldása: Az egységnyi oldalú ABCD négyzet CD oldalán adott az N, CB oldalán pedig az M pont úgy, hogy az MCN háromszög kerülete 2. Mekkora az MAN szög?
Adott az MCN háromszög egy szöge (derékszög) és kerülete, ami kettő. Így félkerülete s=1. Tudjuk, hogy a csúcsból a szemközti hozzáírt körig húzott érintőszakasz hossza s, így esetünkben a C-vel szemközti érintőkör B-nél ill. D-nél érinti a C-ből induló oldalakat, tehát középpontja A. Az AM és AN az MCN külső szögfelezői. Tükrözve AM-re B-t a E-t, majd AN-re E-t a D-t kapjuk. A két tengelyes tükrözés B-t A körül 90 fokkal forgatta el, így a két tengely szöge 45 fok.
|
|
|
[177] BohnerGéza | 2004-11-09 10:36:42 |
44. feladat: . Szerkesztendő a lehető legnagyobb területű háromszög, ha adott egy szöge és a kerülete!
|
|
[176] matekos04 | 2004-11-08 19:54:26 |
Udv. mindenkinek!
Maglattam ezt a topikot erdekesnek talaltam es gondoltam hogy bekuldök egy feladatot:
A kerdesem az hogy hany negyzetcentimeter a szurke terulet.
|
|
|
|
[174] lorantfy | 2004-10-24 11:21:22 |
Kedves Géza!
A 42. feladatra egy látványosabb bizonyítást szerettem volna adni, de idő hiányában beérem azzal, hogy visszavezetem egy ismert összefüggésre. Hivatkozok - és egyben felhívom a figyelmeteket - Kiss György: Amit jó tudni a háromszögekről című cikkére itt.
42. feladat megoldása:
Bizonyítandó:
Felhasználjuk, hogy
Tehát, be kell látnunk, hogy Átszorozva:
|
Előzmény: [172] BohnerGéza, 2004-10-21 09:01:05 |
|
|
[172] BohnerGéza | 2004-10-21 09:01:05 |
41. feladat: Az ABC háromszög szokásos jelölései mellett (O a beírt, Oa az A-val szemközti hozzáírt kör középpontja) igazoljuk, hogy AO*AOa = b*c.
42. feladat: ( ró a beírt kör, r a körülírt kör sugara ) bizonyítandó, hogy
ró = 4r*sin(alfa/2)*sin(béta/2)*sin(gamma/2)
|
|
|
[170] BohnerGéza | 2004-10-14 22:50:38 |
40. feladat: Az ABC háromszög és a k-val jelölt kör feleljen meg a 37. feladatban ( [169.] hozzászólásban ) leírtaknak. Igazoljuk, hogy ABC magasságpontja k-n van! ( pontosítható az állítás )
Ez a feladat ötletet adhat a 37. feladat megoldásához, illetve segíthet a [169.] hozzászólásban vázolt számolásban.
|
Előzmény: [158] BohnerGéza, 2004-09-08 20:25:06 |
|
[169] BohnerGéza | 2004-10-11 15:47:59 |
A 37. feladat: megoldásához. Egyelőre nincs jobb ötletem, mint a koordináta geometriai út, ez járható is. A mellékelt ábrán használt jelöléseket ajánlom. ( Hasonlóság miatt elég az ott látott AB szakasz esetén bizonyítani. ) A 38. feladat alapján először az APB és az ABC háromszög Euler-egyenese metszéspontjának meghatározását ajánlom. Szép, érdekes eredményt kapunk. Néhány nap múlva ezt közlöm.
|
|
Előzmény: [159] BohnerGéza, 2004-09-13 08:51:57 |
|
|