Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[296] Róbert Gida2005-11-16 22:17:53

59. feladat

Legyen \vec {11} az n dimenziós csupa 1 oszlopvektor. S legyen az \vec {11}^t*\vec x=n, \vec x\geq \vec {0} megoldáshalmaza. Bizonyítsuk be, hogy:

a: Az S egy szabályos (n-1) dimenziós szimplex

b: Mi az S súlypontja?

c: Mi az S-be írható (n-1) dimenziós gömb középpontja és sugara?

d: Mennyi min \prod _{i=1}^n x_i ahol x=(x1,x2,...,xn) a beírható gömb felszínén van. A minimumot mely pontokban veszi fel?

[295] lorantfy2005-11-15 21:02:49

Szép volt fiúk! Kösz a megoldásokat! Én is felteszek egy rajzos megoldást. Racionális osztásarányra általánosítható:-)

Előzmény: [294] nadorp, 2005-11-15 15:01:25
[294] nadorp2005-11-15 15:01:25

Jelentkező hiányában megróbálom. Húzzunk párhuzamost H1-ből CH3-mmal, ez az AB oldalt P-ben metszi.Ekkor ha PB=x, akkor a párhuzamos szelők tétele szerint H3P=2x és mivel H3 harmadoló pont, AH_3=\frac{H_3B}2=\frac32x. Az AH_3D_{\Delta} és APH_{1\Delta} háromszögek hasonlóak, a hasonlóság aránya az előbbiek szerint \frac{\frac32x}{\frac32x+2x}=\frac37, így az AH3 és AP oldalakhoz tartozó magasságok aránya is ennyi.Ha m jelöli az AP-hez tarozó magasságot, akkor azt kaptuk, hogy

\frac{T_{AH_3D}}{T_{ABH_1}} =\frac{\frac32x\frac37m}{\frac92xm}=\frac17, azaz ha T jelöli az ABC háromszög területét, akkor T_{AH_3D}=\frac{T}{21}. Hasonlóan ugyanez igaz a másik két kis háromszögre is. Másrészt ennek alapján T_{H_3BED}=\frac{T}3-\frac{2}{21}T=\frac5{21}T és ugyanez igaz a másik két keletkező négyszögre is. Összefoglalva

T_{DEF}=T-\frac3{21}T-\frac{15}{21}T=\frac{T}7

Előzmény: [290] lorantfy, 2005-11-12 22:07:51
[293] Ali2005-11-15 13:56:50

\vec AD := \mu \vec AH_1

\vec DC := \nu \vec H_{3}C

\vec AC = \vec AD + \vec DC = \mu \vec AH_1 + \nu \vec H_{3}C = \mu(\frac{1}{3}(\vec AC - \vec AB) + \vec AB) + \nu(\vec AC - \frac{1}{3}\vec AB)

\frac{\mu}{3} + \nu = 1

\frac{2\mu}{3} - \frac{\nu}{3} = 0

\mu = \frac{3}{7} ; \nu = \frac{6}{7}

AZ ADC háromszög AC oldalhoz tartozó magassága \frac{2}{3}\mu -szöröse az ABC háromszög AC oldalhoz tartozó magasságának, ezért területe is \frac{2}{3}\mu -szöröse az eredeti háromszög területének, vagyis T_{ADC} = \frac{2}{7}T_{ABC}. Ugyanez elmondható a TBFC és TAEB -ről. Következésképpen T_{DEF} = \frac{1}{7}T_{ABC}

Általában ha 1/3 helyett \sigma az oldalak felosztásának aránya, akkor T_{DEF} = (4-\frac{3}{\sigma^2-\sigma +1}) T_{ABC}

Előzmény: [290] lorantfy, 2005-11-12 22:07:51
[292] lorantfy2005-11-15 10:15:59

Egy ábra a 58. feladat -hoz:

Előzmény: [291] BohnerGéza, 2005-11-14 23:12:30
[291] BohnerGéza2005-11-14 23:12:30

58. feladat:

Az ABC háromszög beírt körének érintési pontjai A', B' és C', középpontja O, K az A'B'C' körülírt körének kp-ja.

Jelölje Ma az AC'B', Mb a BA'C' és Mc a CB'A' háromszög magasságpontját, valamint M az MaMbMc háromszög magasságpontját.

Legyen Oa az AC'B', Ob a BA'C' és Oc a CB'A' háromszög beírt körének középpontja, és K' az OaObOc körülírt körének kp-ja.

Bizonyítandó, hogy az O, a K, az M és a K' egybeesnek!

[290] lorantfy2005-11-12 22:07:51

A 46. feladat-ot még nem csinálta meg senki:

Az ABC\Delta csúcsait kössük össze a szemközti oldalak egyik harmadoló pontjával (az ábra szerint). Mekkora a keletkező DEF\Delta területe?

[289] lorantfy2005-11-08 22:14:48

A komplex számos megoldást itt a Fórumon is megtalálhatod a Felmerülő kérdések... témában Sirpi [143] hozzászólása. Ahogy az a megoldás, ez sem használja fel, hogy a szabályos háromszögek nem közös csúcsai egy körön vannak. Tehát elegendő annyit feltenni, hogy van egy közös csúcsuk.

Előzmény: [288] AzO, 2005-11-08 17:38:22
[288] AzO2005-11-08 17:38:22

Mostanaban kaptuk ezt a mackosajtos feladatot algebran, es komplex szamokkal (egyseggyokokkel) oldottuk meg, es mondta a tanar, hogy nem is akar belegondolni milyen nehez lenne elemi (kozepiskolai) modszerekkel megoldani :). Ennek ellenere ez frappans volt, es sztem megmutatom neki :) Koszi

Előzmény: [287] lorantfy, 2005-11-06 12:04:50
[287] lorantfy2005-11-06 12:04:50

Tomszy feladata a Felmerülő kérdések ... témából:

Egy r sugarú körben vegyünk fel három r sugarú húrt: AA', BB', CC'. Jelöljük A'B húr felezőpontját E-vel, B'C húr felezőpontját F-vel és C'A húr felezőpontját G-vel.

Bbh. EFG háromszög szabályos!

Megoldás vektorokkal: (Ugyanúgy megy mint a B.3837. feladat megoldása, amit a Lejárt határidejű ... témába írtam be.)

Legyenek A1,A2,B1,B2,C1,C2 a megfelelő, sugás hosszúságú szakaszok felezőpontjai.

A háromszög középvonalának tulajdonságai és a szabályos háromszögek miatt az ábrán azonos színnel jelölt vektorok egymásnak 60 fokos elforgatottjai.

\vec FE= \vec {FB_1}+\vec {B_1B_2}+ \vec {B_2E} \quad \quad
\vec FG= \vec {FC_1}+\vec {C_1C_2}+ \vec {C_2G}

Mivel a megfelelő összetevő vektorok egymás 60 fokos elforgatottjai, így \vec {FE} is 60 fokos elforgatottja \vec {FG}-nek, tehát EFG\Delta szabályos háromszög.

[286] hobbymatekos2005-09-22 21:56:39

A primszámtételből (számelméletből) másképp gondolkodni a logaritmussal kapcsolatban szimpatikus gondolat számomra.

Előzmény: [284] Fálesz Mihály, 2005-09-20 11:35:29
[285] Lóczi Lajos2005-09-20 13:59:13

Jó, de nézd meg, hogy mi a könyv célja: könnyítést adni azoknak, akiknek nehezen megy, bizonyos területekre így kevesebb előismerettel is el lehet jutni -- persze onnan nem lehet olyan messzire továbbhaladni.

(Az elvi célja pedig inkább az, ahogy írja, hogy közben a geometriát nem kell a valós számok bonyolult fogalmára építeni: tetszőleges algebrai test is használható.)

Előzmény: [284] Fálesz Mihály, 2005-09-20 11:35:29
[284] Fálesz Mihály2005-09-20 11:35:29

Én nem lelkesedek érte, sőt.

Trigonometria-feladatokban a szögeknek legfeljebb csak a szinuszát/koszinuszát szoktuk kiszámolni, magukat a szögeket nem. Négyzetgyökökkel pedig így is, úgy is számolni kell. Például elég megkérdezni, hogy ha az A,B,C pontok egy egyenesen vannak, mondjuk AB2=2 és BC2=3, akkor mekkora lehet AC2. A konstrukció csak a legegyszerűbb esetekben teszi félre a négyzetgyökvonást, a számolás egyáltalán nem lesz tőle sem könnyebb, sem egyszerűbb.

A trigonometrikus függvények elvetését pedig kb. olyan ötletnek tartom, mint ha valaki a prímszámtételből ki akarná irtani a logaritmust (mert hát ugye mi szükség van transzcendens függvényekre, ha egész számokról akarunk beszélni), vagy a Cardano-képletből a komplex számokat. Pont a matematikát akarja kiirtani; azt, hogy hozzunk létre elméleteket, új objektumokat (jelen esetben a trigonometrikus függvényeket), amik megmutatják, hogy a dolgok mögött milyen mélyebb összefüggések vannak.

F.M.

Előzmény: [282] Lóczi Lajos, 2005-09-19 22:50:10
[282] Lóczi Lajos2005-09-19 22:50:10

Szép és elegáns a leírás, sokmindenben egyetértek vele, bár nem hiszem, hogy túlzottan nagy változást okozna mifelénk belátható időn belül, ha egy olyan alapvető fogalomhoz, mint a "szög" akar hozzányúlni, átdefiniálni.

Előzmény: [281] 2501, 2005-09-19 10:25:15
[283] qer2005-09-19 11:15:16

http://web.maths.unsw.edu.au/~norman/papers/Chapter1.pdf

itt található az első fejezet a könyvéből (ez ingyen elérhető)...

Előzmény: [281] 2501, 2005-09-19 10:25:15
[281] 25012005-09-19 10:25:15

Sziasztok!

Ezt lattatok mar?

[280] Szalkai István2005-09-14 13:42:39

Kedves Mindenki !

A 2005.jan. feladatot általánosítva jutott eszembe a a következő probléma: Mi azon pontok mértani helye, amelyeknek adott egyenesektől való távolságai kielégítenek egy lineáris összefüggést? "Felfedezésem" biztosan nem új, bár irodalomban nem akadtam a nyomára. Közzéteszem mégis, hátha esetleg valakinek hasznára válik, no és biztosan én is tanulok hozzászólásaitokból! (Más fajta TEX-et használva nem sikerült a szöveget ide feltennem, de a következő linken megtalálható:

http://www.szt.vein.hu/~szalkai/Tavolsagok-jav.pdf

Üdvözlettel: szalkai@almos.vein.hu

[279] BohnerGéza2005-08-27 00:19:34

Jogos [275] jonas észrevétele, bár csak egy kis fogalmazási hibát követtem el. A zárójel szövege helyesen: valamint a talpponti háromszög területének. Igaz ez már nem nehéz, ha az előzőekre megvan a válasz.

Előzmény: [275] jonas, 2005-08-23 22:40:10
[278] lorantfy2005-08-24 10:25:21

Hello Viktor!

Ez az EUKLIDES program. A 2.02 verzió ingyenesen letölthető: www.euklides.hu.

Töltsd le és szórakozz el vele. Én a kész ábrát Print Screen-el vágólapra szoktam tenni. Aztán egy képszerkesztővek kivágom a lényeges részt és átlátszóvá teszem, majd elmentem gif-ben és úgy csatolom a hozzászóláshoz. Így a háttérszínen jelenik meg.

Előzmény: [277] xviktor, 2005-08-24 10:09:36
[277] xviktor2005-08-24 10:09:36

Ilyen abrat milyen programmal lehet csinalni?

Előzmény: [276] lorantfy, 2005-08-24 09:59:41
[276] lorantfy2005-08-24 09:59:41

Nem hiszem, hogy Géza itt a talpponti \Delta-re gondolt! Szerintem a=13, b=14, c=15 és a TCBTA\Delta-ről van szó.

Előzmény: [275] jonas, 2005-08-23 22:40:10
[275] jonas2005-08-23 22:40:10

A talpponti háromszög nem a TcTbTa?

Előzmény: [274] BohnerGéza, 2005-08-23 22:08:14
[274] BohnerGéza2005-08-23 22:08:14

Üdv mindenkinek!

Köszönöm Kós Ritának [273] a segítséget!

57. (számozott) feladat: Egy háromszög oldalai 13, 14 és 15. Adjuk meg a pontos értékét a

a.) beírt köre sugarának

b.) TcBTa (Ta és Tc magasságtalppontok) beírt köre sugarának

c.) TcBTa háromszög területének ( a talpponti háromszög területének )

[273] Kós Rita2005-07-26 19:31:42

A lekepezesek szorzatarol rovidebben-hosszabban Reiman Istvan konyveiben is van szo: Fejezetek az elemi geometriabol (Typotex, pici vekony, ebben biztosan), ill. A geometria es hatarteruletei c. konyvben, ha jol emlekszem.

Előzmény: [272] BohnerGéza, 2005-07-15 23:09:11
[272] BohnerGéza2005-07-15 23:09:11

Az 50., 51., 53. és 56. feladat közös, általános megoldása.

Igen örülök lorantfy és Kós Géza 56. feladatra a [267]-ben ill. [268]-ban leírt megoldásának. Ezek is alkalmasak az általánosításra.

Ha valaki még nem ismeri a leképezések szorzatát, annak is megérthető amit írok, de időt és energiát kell rá szánnia, végigjátszva-gondolva minden állítást!

A téma bővebb megismeréséhez Rácz János könyveit tudom ajánlani, de ezek nehezen érhetők el. Rossz memóriám miatt további könyveket most nem tudok, remélem lesz valaki és kisegít!

Jelölje az A körüli alfa forgatást (A|alfa). Legyen

(1)...(C|gamma)*(B|béta)*(A|alfa)=I helybenhagyás.

//A leképezések szorzatát - egymás utáni elvégzését - visszafelé olvasva kell értelmezni, tehát először A, majd B, végül C körül forgatunk,// Helybenhagyást akkor kapunk, ha összesen n*360 fokot, ahol n egész, forgatunk és van fixpont. Ez a fent jelzett feladatok esetén áll. Az egyszerűség kedvéért és mert ilyen esetre ezen feladatok mindig visszavazethetők n=1 (vagy -1) esettel foglalkozunk.

Tudnunk kell még, hogy egy forgatás helyettesíthető két tengelyes tükrözés szorzatával, pl. (A-alfa)=t2*t1, ahol t1 és t2 is átmegy A-n, valamint t1 és t2 szöge alfa fele az irányítást is figyelembe véve. (1)-et balról (C|-gamma)-val szorozva:

(2)...(B|béta)*(A|alfa)= (C|-gamma)

Legyen t2=AB, t1 és t3 pedig olyan egyenesek, melyekre (A|alfa)=t2*t1 és (B|béta)=t3*t2. Ekkor

(3)...(B|béta)*(A|alfa)=(t3*t2)*(t2*t1)=t3*(t2*t2)*t1=t3*t1= (C|-gamma)

Tehát t1 és t3 is átmegy C-n. Mindent végiggondolva ABC olyan háromszög kell legyen, melyben a megfelelő csúcsoknál alfa/2, béta/2 ill. gamma/2 szög van. //Feltéve, hogy egyik szög sem n*360 fok, azaz mind a három forgatás valódi fogatás. //

Jó munkát a fent jelzett feladatok átgondolásához! Kitalálható esetleg újabb konkrét feladat is?!

Előzmény: [268] Kós Géza, 2005-07-11 12:00:08

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]