Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[318] philip2005-11-29 19:51:23

Köszönöm szépen a segítséget! Lenne mégegy feladatom: Az ABCD négyszög paralelogramma,amelynek BC oldalát az E pont harmadolja úgy,hogy E C-hez van közelebb,az F pedig a DC oldalt felezi.Bizonyítsuk be,hogy a BF szakasz az AE szakaszt negyedeli,az AE a BF szakaszt felezi!

[317] jonas2005-11-24 10:11:26

Hmm. A 18 tényleg rossz.

Akkor x=1/(1/b+1/c)=8.

Ez onnan jön ki, hogy az FEC és a DBE háromszög hasonló az ABC-hez, mert az oldalaik párhuzamosak, így aztán a CE szakasz ax/c, az EB szakasz ax/b, amiből a=ax/c+ax/b.

Előzmény: [316] lorantfy, 2005-11-24 08:11:52
[316] lorantfy2005-11-24 08:11:52

Szia Jónás!

Te hogy értelmezted? Mert nem tudom hogy lehet 18 a rombusz oldala?

\frac{x}{12}=\frac{24-x}{24}Amiből x=8.

Előzmény: [315] jonas, 2005-11-23 20:57:43
[315] jonas2005-11-23 20:57:43

Mi a kérdés?

 \frac{b + c}2 = 18 a rombusz oldalának hossza, azt hiszem. 46.56 fokos a szöge, ha el nem számoltam.

Előzmény: [314] philip, 2005-11-23 17:43:45
[314] philip2005-11-23 17:43:45

Sziasztok! Az alábbi feladat megoldásában szeretnék segítséget kérni:

1.Egy háromszög oldalainak hossza c=24 a=18 b=12.Írjunk bele olyan rombuszt,amelynek egyik csúcsa az A,a többi csúcsa a háromszög oldalaira illeszkedik.

Eéőre is köszönöm!

[313] nadorp2005-11-22 12:09:49

Azt hiszem van valami a szimplexre. Először belátunk egy állítást:

Legyenek a,b,c pozitív számok, min(a,b,c)=a, b\neqc Ekkor léteznek olyan x,y,z pozitív számok,hogy x<a,

x+y+z=a+b+c

x2+y2+z2=a2+b2+c2,továbbá xyz<abc is teljesül. Biz:

Az egyenletrendszer ekvivalens az alábbival ( ):

y+z=a+b+c-x

y2+z2=a2+b2+c2-x2,azaz

yz=x2-(a+b+c)x+(ab+ac+bc).

Egy kis számolással adódik, hogy a fenti egyenletrendszer olyan másodfokú egyenletre vezet, melynek diszkriminánsa b\neqc esetén alkalmas x<a-ra pozitív,ezért a fenti egyenletrendszernek létezik ezzel az x-szel y,z pozitív megoldása.Már csak az abc>xyz egyenlőtlenséget kell belátni.

xyz=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x=f(x). Mivel f(0)=0 és f(a)=abc, ezért ha bebizonyítjuk, hogy f(x) a [0,a]-n monoton, akkor kész vagyunk. Ehhez elég belátni, hogy a derivált függvény gyökei nagyobb egyenlőek, mint a. Ez egy kis számolással a (b-a)(c-a)\geq0 nyilvánvaló egyenlőtlenségre vezet.

Az eredeti feladat ezek után egyszerű. Ha

\sum_{k=1}^nx_k=n és

\sum_{k=1}^nx_k^2=\frac{n(n-1+\alpha^2)}{n-1}, akkor

\frac{n-x_n}{n-1}=\frac{\sum_{k=1}^{n-1}x_k}{n-1}\leq\sqrt{\frac{\sum_{k=1}^{n-1}x_k^2}{n-1}}=\frac{\sqrt{n(n-1+\alpha^2)-(n-1)x_n^2}}{n-1},ebből

xn\geq1-\alpha. A fenti állításból következik, hogy a koordináták szorzata akkor minimális, ha valamelyik xi éppen 1-\alpha, a többi pedig egyenlő.Ez viszont nem lehet más,mint 1+\frac\alpha{n-1}

[312] Lóczi Lajos2005-11-21 20:35:48

Eddig mi már beláttuk az a.) pontot, sőt annál többet is: a szorzat a minimumot/maximumot olyan pontokban veszi fel (és nem csak "veheti"), ahol az xi számok pontosan 2 különböző értéket vesznek fel, l. a Lagrange multiplikátoros (valamint kompaktsági) érvelést.

A b.) rész n=3-ra a [302]-es hozzászólás-beli utolsó képletemből szinte triviális, két polinomot kell összehasonlítani, a k=2 érték minden \alpha>0 esetén kisebb, mint a k=1-hez tartozó.

Hiányzik a c.) rész, valamiféle induktív érvelés kellene tehát. Ha ez meglenne, akkor

ezek alapján a d.) kérdésre is pozitívan válaszoltunk.

Mindenesetre rögtön adódott egy szép és nehéz egyenlőtlenség a [302]-es végéről. Ha n nagy, akkor annak a függvénynek a képe "kotangens" jellegű, ilyen típusú függvényekről pedig tudom, hogy meggyűlt velük már a bajom :)

Előzmény: [311] Róbert Gida, 2005-11-21 19:49:09
[311] Róbert Gida2005-11-21 19:49:09

Nem úgy látom be, segítség a 61. feladathoz:

62. feladat

a. Legyen a és b rögzített pozitív valós számok és n>1 pozitív egész, ahol \frac{n^2}{n-1}*a^2>b>n*a^2. Legyen \sum _{i=1}^n x_i=n*a és \sum _{i=1}^n x_{i}^2=b ,x=(x1,x2,...,xn)\geq0 , akkor \prod _{i=1}^n x_i a minimumot olyan pontban veheti csak fel, ahol az xi-k pontosan két különböző értéket vesznek fel.

b. Bizonyítsuk be, hogy n=3-ra a minimumot olyan pontban veszi fel, ahol 2 darab xi megegyezik, a külöböző pedig kisebb.

c. Bizonyítsuk be n>3-ra, hogy a minimumot olyan pontban veszi fel, ahol (n-1) darab xi megegyezik, a különböző pedig ettől kisebb.

d. Ezzel bebizonyítottuk-e a 61. feladatot?! Ha igen akkor miért?

Előzmény: [310] Lóczi Lajos, 2005-11-21 13:08:17
[310] Lóczi Lajos2005-11-21 13:08:17

Legalább már "látjuk" a kontextust, de ezzel nem jutottunk közelebb a megoldáshoz :)

Azt kérdezném még, hogy be tudnád-e látni a [302]-es hozzászólás végén szereplő kifejezésről, hogy k-ban szigorúan monoton fogy (vagy várom a másik utat, hogy anélkül hogyan tudjuk minimalizálni a szorzatot...)

Előzmény: [309] Róbert Gida, 2005-11-21 07:11:15
[309] Róbert Gida2005-11-21 07:11:15

Ez a lineáris programozási feladatnak Karmarkar féle projektív módszeréhez kell ez az állítás. Konkrét tétel ( neve is van ) ez az állítás a projektív módszernél. Projektív módszer egy polinomiális futás idejű algoritmus, ellentétben a szimplex módszerrel a lineáris programozási feladatokra. Módszer lényege, hogy trafókkal eléri, hogy min(x1) ahol Ax=0,\vec {11}^t*x=n,x\geq 0-t kell meghatározni, tehát pont a mi szimplexünkőn dolgozik, egy hipersíkkal elmetszve, ráadásul úgy, hogy egy lépésben ezt az \alpha*r sugarú gömböt is használva egy kisebb x1 értékkel rendelkező megengedett megoldást talál és úgy transzformálja a feladatot, hogy újra ebbe a szimplexbe viszi a feladatot ( az A más lesz ) a megengedett megoldást pedig a gömb középpontjába, ami a csupaegy vektor.

Ha kell akkor tovább bontom a feladatot.

Előzmény: [308] Lóczi Lajos, 2005-11-20 19:34:22
[308] Lóczi Lajos2005-11-20 19:34:22

Az extremizálandó xi-szorzatnak szerintem az az érdekessége (és ez ellentmond a szemléletnek), hogy éppen akkor lesz minimális, ha a lehető legtöbb szám egynél nagyobb benne és csak 1 db lesz 1-nél kisebb; illetve akkor maximális az értéke, ha (n-1) db kisebb 1-nél és csak 1 db nagyobb 1-nél közülük.

Majd megkérdezzük Róbert Gidát, hogy honnan szedte ezt a feladatot, biztosan nem "csak úgy" kitalálta :)

Előzmény: [307] nadorp, 2005-11-20 18:59:58
[307] nadorp2005-11-20 18:59:58

Nyert,süllyedt. Ezt igencsak elnéztem.

Előzmény: [305] Lóczi Lajos, 2005-11-20 18:37:23
[306] Lóczi Lajos2005-11-20 18:53:07

[A Lagrange-multiplikátoros módszerhez a teljesség kedvéért hozzá kell tenni, hogy ugye ott lehetnek szélsőértékpontok, ahol a célfüggvény és a feltételi függvények deriváltjainak (multiplikátorokkal vett) lineáris kombinációja a nullvektor, VAGY OTT, ahol a feltételi függvények deriváltvektorai lineárisan összefüggenek. Nem egy tankönyvet láttam már, ahol ez utóbbi eshetőséget elfelejtették a példamegoldások során külön megvizsgálni (és így bizonyos, erre kihegyezett példákat nem is jól oldanának meg). A mi esetünkben ez az eset azért nem fordulhat elő, mert ahol lineáris függőség van, azok a pontok nincsenek a hipergömb felületén.

Aztán a másik apróság, hogy azt mondtuk: az xi-k egy másodfokú egyenlet megoldásai. Azonban a másodfokú egyenlet csak elsőfokú, ha az egyik multiplikátor éppen nulla lenne. Ekkor minden xi azonos lenne, de ez is ellentmondást adna a feltételi egyenletekkel.]

Előzmény: [305] Lóczi Lajos, 2005-11-20 18:37:23
[305] Lóczi Lajos2005-11-20 18:37:23

Na igen, kétféle értéket vehetnek fel az xi-k, ez igaz, az egyik értéket vegye fel k darab, a másik értéket (n-k) db (k=1,2,3,...,n-1; mind egyforma nem lehet, ezt könnyű látni). Ezeket behelyettesítve a két eredeti feltételi egyenletünkbe (t.i. az xi pontok a hipergömbfelületen és a hipersíkon is rajta vannak) megkapjuk, mi is lehet az a kétféle érték, ez az amit Te u-val és v-vel jelöltél.

Azonban u és v is függ k-tól! Tehát az Általad leírt egyenlőtlenséglánc egyáltalán nem látszik, és ez az a pont, ahol nekem is csak numerikus kísérleteim vannak.

Előzmény: [304] nadorp, 2005-11-20 17:31:44
[304] nadorp2005-11-20 17:31:44

Hülyeséget írtam, nem xi=\pmxj , hanem arra gondoltam, amire Te,hogy ebből némi esetszétválasztással kétféle érték adódhat az xikre. A vége változatlan.

Előzmény: [303] nadorp, 2005-11-20 17:17:53
[303] nadorp2005-11-20 17:17:53

Én ezt csináltam,de találtam valamit. Ha a Lagrange multiplikátor módszerrel dolgozol, akkor pld:

x1x2..xn-1=2axn+b. Mivel xn>0,ezért szorozhatunk vele

x1...xn=2axn2+bxn, azaz

2axi2+bxi=2axj2+bxj, amiből következik, hogy xi=\pmxj. Tehát a számok csak kétféle értéket vehetnek fel.Legyen ez a két érték u és v. Ekkor ha pld. u>v, akkor

uvn-1<u2vn-2<u3vn-3<...<un-1v miatt szélsőérték csak ott lehet, ahol az egyik szám egyszer, másik (n-1)-szer szerepel.

Előzmény: [302] Lóczi Lajos, 2005-11-20 15:25:56
[302] Lóczi Lajos2005-11-20 15:25:56

A pontosság kedvéért hozzá kell tennem, hogy az én bizonyításom sajnos nem teljes.

Lagrange-multiplikátorokkal némi meggondolás (és esetszétválasztás) után kiadódnak azok a pontok, ahol a szorzatnak szélsőértéke lehet: k db xi azonos az \left(1+\frac{\alpha}{\sqrt{n-1}}\cdot \sqrt{\frac{n-k}{k}}\right) számmal és (n-k) db azonos az \left(1-\frac{\alpha}{\sqrt{n-1}}\cdot \sqrt{\frac{k}{n-k}}\right) értékkel, ahol k=1,2,...,n-1.

A gömb azonban kompakt és a függvény folytonos, ezért létezik minimum és maximum, tehát a fenti pontok között ott van a szorzat minimuma és maximuma.

A numerikus kísérletek szerint k=1-nél lesz a maximum, és k=n-1-nél a minimum, de ezt nem tudtam pár óra alatt belátni (több időt pedig nem tudok rászánni egyelőre). Elég lenne bebizonyítani, hogy a

k\mapsto \left(1+\frac{\alpha}{\sqrt{n-1}}\cdot \sqrt{\frac{n-k}{k}}\right)^k \left(1-\frac{\alpha}{\sqrt{n-1}}\cdot \sqrt{\frac{k}{n-k}}\right)^{n-k}

függvény monoton fogyó a lehetséges k értékekre, a lehetséges n és \alpha paraméterértékek mellett, de ez így nem tűnik egyszerűnek.

Te milyen módszerrel jutottál túl ezen a ponton (ha egyáltalán ilyesféleképp csináltad)?

Előzmény: [301] nadorp, 2005-11-20 13:34:19
[301] nadorp2005-11-20 13:34:19

Én is erre jutottam, szélsőérték vizsgálattal. Az elemibb levezetésre egyelőre csak ötletem van.

Előzmény: [300] Lóczi Lajos, 2005-11-19 20:27:52
[300] Lóczi Lajos2005-11-19 20:27:52

Nyilván csak 0<\alpha<1 vizsgálata szükséges.

Láttuk, hogy \alpha=1 esetén valamelyik xi-nek 0-nak kell lennie, hogy a szorzat minimális legyen. Az is leolvasható az adott bizonyításból, hogy ha \alpha>0, akkor minden xi>0 kell legyen, hogy a gömbfelületen maradjunk.

A megoldás a 61. feladatra az lesz, hogy az adott gömbfelületen elhelyezkedő xi számok (i=1,2,...,n) szorzata pontosan akkor minimális, ha közülük valamely (n-1) db egyenlő az 1+\frac{\alpha}{n-1} számmal, továbbá 1 darab közülük egyenlő (1-\alpha)-val. A minimum értéke ebből már meghatározható.

Másrészt, ez ugyan nem volt kérdés, de az xi számok (i=1,2,...,n) szorzata pontosan akkor maximális, ha közülük valamely (n-1) db egyenlő az 1-\frac{\alpha}{n-1} számmal, továbbá 1 darab egyenlő (1+\alpha)-val.

Előzmény: [299] Róbert Gida, 2005-11-18 15:54:44
[299] Róbert Gida2005-11-18 15:54:44

61. feladat

Szép megoldás volt nadorp. Most jöjjön az igazi feladat. Legyen r az 59. feladatbeli beírt gömb sugara és 0<\alpha\leq1. Mennyi min\prod _{i=1}^n x_i ahol x=(x1,x2,...,xn) az a B_{\alpha r} ({\vec {11}}) felszínén van és a minimumot mely pontokban veszi fel? Ez \alpha=1-re az 59.feladat d része volt.

[298] nadorp2005-11-18 09:19:59

a) Legyen e1=(n,0,0,...,0),e2=(0,n,0,...,0)...,en=(0,0,...,n). Ekkor az ei pontok nyilván egy szabályos (n-1) dimenziós S szimplexet határoznak meg. Ha x=(x1,x2,...,xn) eleme ennek a szimplexnek, akkor

x=\sum_{i=1}^{n}\lambda_ie_i=(n\lambda_1,n\lambda_2,...,n\lambda_n), ahol \sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1,\lambda_i\geq0, azaz \sum_{i=1}^{n}x_i=n és xi\geq0. Fordítva, ha

\sum_{i=1}^{n}x_i=n ,xi\geq0, akkor (x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}ne_i és itt \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}n=1, azaz x eleme S-nek. Tehát a megoldáshalmaz egybeesik S-sel.

b) Ha s a súlypont, akkor \sum_{i=1}^{n}(s-e_i)=0, azaz, s=\frac1n\sum_{i=1}^{n}e_i=(1,1,...,1)=\vec{11}

c)Az n-dimenziós térben egy (n-1) dimenziós gömböt úgy kaphatunk,ha egy n-dimenziós gömböt elmetszünk egy (n-1) dimenzós síkkal. Ha P=(p1,p2,...,pn) a beírt gömb sugara, akkor szükségképpen S síkjában helyezkedik el,azaz \sum_{i=1}^{n}p_i=n. Határozzuk meg P távolságát a szimplex (n-2) dimenziós lapjaitól, vegyük pld. a \sum_{i=1}^{n-1}x_i=n lapot. Ekkor a (p1,...,pn-1,0) pontnak a laptól való távolsága \left|{\frac{p_1+...+p_{n-1}-n}{\sqrt{n-1}}}\right|=\frac{p_n}{\sqrt{n-1}}. Tehát P távolsága a laptól \sqrt{\frac{p_n^2}{n-1}+p_n^2}=p_n\sqrt{\frac{n}{n-1}}. Ezt elvégezve az összes többi (n-2) dimenziós lapra és felhasználva, hogy ezek a távolságok egyenlőek kapjuk, hogy p1=p2=...=pn=1, azaz P=\vec{11} és a beírt gömb sugara \sqrt{\frac{n}{n-1}}

d) Nyilván, ha xi=0, akkor a szorzat 0, azaz minimális lehet.Megmutatjuk, hogy vannak ilyen pontok. Azt kell belátni, hogy pld. létezik x=(x1,x2,...,xn-1,0) pont úgy, hogy

\sum_{i=1}^{n-1}x_i=n , xn=0 és

\sum_{i=1}^{n}(x_i-1)^2=\frac{n}{n-1}.

A második egyenlőséget átrendezve felhasználva az elsőt:

\sum_{i=1}^{n-1}x_i^2=\frac{n^2}{n-1}. Tehát

\frac{n}{n-1}=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}x_i}{n-1}\leq\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n-1}x_i^2}{n-1}}=\frac{n}{n-1}. Egyenlőség van, azaz x_1=x_2=...=x_{n-1}=\frac{n}{n-1}. Hasonlóan kapjuk a többi n-1 darab pontot is.

Előzmény: [296] Róbert Gida, 2005-11-16 22:17:53
[297] Róbert Gida2005-11-16 23:30:48

60. feladat

Bizonyítsuk be vagy cáfoljuk meg:

A szabályos 30-szög belsejében pontosan 331 darab különböző olyan pont van, amin legalább 5 átló megy át.

[296] Róbert Gida2005-11-16 22:17:53

59. feladat

Legyen \vec {11} az n dimenziós csupa 1 oszlopvektor. S legyen az \vec {11}^t*\vec x=n, \vec x\geq \vec {0} megoldáshalmaza. Bizonyítsuk be, hogy:

a: Az S egy szabályos (n-1) dimenziós szimplex

b: Mi az S súlypontja?

c: Mi az S-be írható (n-1) dimenziós gömb középpontja és sugara?

d: Mennyi min \prod _{i=1}^n x_i ahol x=(x1,x2,...,xn) a beírható gömb felszínén van. A minimumot mely pontokban veszi fel?

[295] lorantfy2005-11-15 21:02:49

Szép volt fiúk! Kösz a megoldásokat! Én is felteszek egy rajzos megoldást. Racionális osztásarányra általánosítható:-)

Előzmény: [294] nadorp, 2005-11-15 15:01:25
[294] nadorp2005-11-15 15:01:25

Jelentkező hiányában megróbálom. Húzzunk párhuzamost H1-ből CH3-mmal, ez az AB oldalt P-ben metszi.Ekkor ha PB=x, akkor a párhuzamos szelők tétele szerint H3P=2x és mivel H3 harmadoló pont, AH_3=\frac{H_3B}2=\frac32x. Az AH_3D_{\Delta} és APH_{1\Delta} háromszögek hasonlóak, a hasonlóság aránya az előbbiek szerint \frac{\frac32x}{\frac32x+2x}=\frac37, így az AH3 és AP oldalakhoz tartozó magasságok aránya is ennyi.Ha m jelöli az AP-hez tarozó magasságot, akkor azt kaptuk, hogy

\frac{T_{AH_3D}}{T_{ABH_1}} =\frac{\frac32x\frac37m}{\frac92xm}=\frac17, azaz ha T jelöli az ABC háromszög területét, akkor T_{AH_3D}=\frac{T}{21}. Hasonlóan ugyanez igaz a másik két kis háromszögre is. Másrészt ennek alapján T_{H_3BED}=\frac{T}3-\frac{2}{21}T=\frac5{21}T és ugyanez igaz a másik két keletkező négyszögre is. Összefoglalva

T_{DEF}=T-\frac3{21}T-\frac{15}{21}T=\frac{T}7

Előzmény: [290] lorantfy, 2005-11-12 22:07:51

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]