Fórum: GEOMETRIA

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[402] Hajba Károly

2006-04-03 23:35:54

Üdv!

A Wolfram-on kicsit kutakodva ill. az SH Atlaszban találtam még néhány dolgot, de egy kicsit elgondolkoztam én is a témán. (Magad uram, ha szolgád nincsen.:o)

Ismert, hogy egy gömbháromszög területe $T_\Delta = \sum_{i=1}^3\alpha_i-\pi$ . Ezen minimális gömbi sokszöghöz adott szomszédos pontpárjukat egyesítve újabb háromszög illeszthető. Így tetszőleges n-sokszög állítható elő, akár konkáv is. Ezen sokszög területe, melyet nem nehéz belátni, $T=\sum_{i=1}^n\alpha_n-(n-2)*\pi$

Ezen gömb középpontjából kiinduló és a sokszög pontjaira illesztett félegyenesek a pontok sorrendje szerint a félegyenesek közötti síkok által meghatározott térrész a T-vel arányos térszöget határoz meg.

A gömbi sokszög adott csúcspontjára illesztett és a gömböt érintő sík a csúcsba befutó két gömbi egyenes és gömbközéppont által meghatározott két síklapra merőleges. Ezért a két síklap által bezárt szög azonos a csúcsponti szöggel.

Fentiekből következik, hogy egy síkidom adott csúcspontjához tartozó szomszédos lapok által meghatározott szögek összege és a lapok által meghatározott térszög mértéke között szoros összefüggés áll fenn a fenti képlet szerint.

Újabb érdekes összefüggések adódnak egy idom lapszögeinek és térszögeinek összegei között, de erről később, ha addig valaki nem tesz be egy ezirányú összefoglaló linket. Mert biztos van erről irodalom, legfeljebb még nem bukkantam rá.

Előzmény: [398] Lóczi Lajos, 2006-03-29 22:21:15

[401] HoA	2006-04-03 15:36:57
1.) C-t - és ezzel BC-t - rögzítve, a CD * DA szorzat akkor maximális, amikor az ACD $\Delta$ területe, hiszen $\delta$ és így sin $\delta$ is állandó, vagyis ha D az AC ív felezőpontja (ld. Jenei [395]). Ugyanez mondható D rögzítése esetén a BC * CD szorzatról, tehát C a BD ív felezőpontja. A két feltétel együttesen akkor következik be, ha C és D helyzete a [386] második ábrája szerinti. 2.)Így már világos a kapcsolat a [388]-ban feladott egyenlőtlenséggel: a vizsgált szorzat tkp. $2Rsin\frac{\alpha}2 2Rsin\frac{\beta}2 2Rsin\frac{\gamma}2$ , ahol $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = $\pi$ . Azon még gondolkodom, a 68-as feladat* hogyan következik az egyenlőtlenségből.

Előzmény: [399] BohnerGéza, 2006-03-30 08:02:53

[400] Hajba Károly

2006-03-30 14:21:40

Köszi. Amit nyelvtudás nélkül ki lehet belőle hámozni, azt eddig is sejtettem.

Gyakorlatilag az érdekelne, hogy a síklapú testek csúcsaihoz tartozó térszögek összege milyen szabályosságot mutat. Mennyire analóg ill. milyen módon analóg a 2D-s szabályokkal. $\sum_{i=1}^n\alpha_i=(n-2)*\pi$ Egy-egy csúcshoz tartozó síkszögek és térszög között milyen összefüggések állnak fenn.

Azt gyanítom, hogy azonos csúcsszámú testekhez nem feltétlenül azonos nagyságú térszög összeg tartozik. Talán a csúcshoz tartozó síkszögek valamiféle összesítése állandó, vagy esetleg a síklapok által közrezárt szögek összege?

Előzmény: [398] Lóczi Lajos, 2006-03-29 22:21:15

[399] BohnerGéza

2006-03-30 08:02:53

Köszönöm HoA-nak és Jenei Attilának a 68. ill. 70. feladatra adott megoldásait! Még eggyel bővítem a kapcsolódó feladatokat:

71. feladat: Az adott AB átmérőjű félkörön a 68. feladat ábrájának megfelelő sorrendben ([385] hozzászólás) helyezkedik el a C és D pont. Hol vannak ezek, ha a BC*CD*DA maximális?

[398] Lóczi Lajos

2006-03-29 22:21:15

Csak eszembe jutott

http://mathworld.wolfram.com/SolidAngle.html

De innentől ez már inkább gömbi geometria.

Előzmény: [397] Hajba Károly, 2006-03-27 13:21:05

[397] Hajba Károly

2006-03-27 13:21:05

Üdv!

Egy kis elméleti fejtágításra lenne szükségem a térszögek terén. Az alapfogalmak (térszög, szteradián) meghatározásán kivül nem sok mindent ad ki a Kugli.

Előre is köszönök minden segítséget ill. magyarnyelvű linket.

[396] HoA	2006-03-24 14:34:56
Kedvet kapva Jenei Attilától egy cosinus tételes megoldásra, mégegyszer a 68. feladatról : Odáig, hogy k belülről érinti f-et ld. a 386-os hozzászólást. Legyen az f2 félkörív középpontja P. AD-t rögzítve n²=AF²-FD²=AD²-2ADFD*cos $\delta$ =AD(AD-2FDcos $\delta$ ) . Mivel D az f2 köríven kívül van, $\delta$ hegyesszög, a kifejezés akkor a legnagyobb, ha DT=FD*cos $\delta$ , FD merőleges vetülete AD-re a legkisebb. Ez pedig akkor áll elő, ha FT az f2 körív AD-re merőleges érintője. De ekkor PF \|\| AD, POF és AOD $\Delta$ -ek hasonlóak, PF = PO -> AD = AO, vagyis AD az f félkörben sugár hosszúságú húr.

Előzmény: [395] jenei.attila, 2006-03-22 11:48:06

[395] jenei.attila

2006-03-22 11:48:06

A szóbanforgó érintési pont legyen E.

BE²=BD²-DE²=BD²-DC²=AB²-AD²-DC²

Ezért BE akkor maximális, ha AD²+DC² minimális.

AD²+DC²=AC²+2*AD*DC*cos $\delta$

. Mivel AC állandó és cos $\delta$ állandó és negatív AD*DC-nek kell maximálisnak lenni. Vagyis mivel sin $\delta$ állandó és pozitív az ADC háromszög területének kell maximálisnak lenni. Ez pedig akkor maximális, ha D az AC ív felezőpontja. Nem használtuk ki, hogy C az AB ív felezőpontja.

Előzmény: [389] BohnerGéza, 2006-03-17 07:55:20

[394] tothszivike	2006-03-21 14:15:01
Köszönöm Sokat segítettél!!!

[393] HoA	2006-03-21 09:55:50
A 70. feladat-ra van egy, a 68-ashoz hasonló trigonometriai megoldásom, ha nem lesz jobb, beírom. De szívesen látnék erre is meg a 68-asra is egy nem trigonometriait.
Előzmény: [389] BohnerGéza, 2006-03-17 07:55:20

[392] HoA	2006-03-21 09:50:54
Ha arra gondolsz, hogyan kell elforgatni egy négyzetet a síkjában fekvő adott pont körül adott szöggel - és ekkor mindegy, a pont a négyzeten belül vagy kívül van - egy megoldás az ábra szerinti: az adott pontból a négyzet csúcsaiba húzott szakaszok mindegyikét elforgatjuk az adott szöggel. Az új végpontok az elforgatott négyzet csúcsai.

Előzmény: [391] tothszivike, 2006-03-20 19:00:39

[391] tothszivike	2006-03-20 19:00:39
Segítséget szeretnék kérni! Hogyan kell elforgatni egy négyzetet egy azon belüli ponton keresztül mert nekük az osztályban mindenkinek trapéz jött ki a tanárnő meg nem hajlandó megmutatni!

[389] BohnerGéza

2006-03-17 07:55:20

A 384. hozzászólásban HoA által felvetett kérdés miatt alakult ki a következő feladat:

70. feladat: Az AB átmérőjű félkörív felezőpontja C. D az AC íven mozoghat. Mikor lesz leghosszabb a B-ből a D középpontú, C-n átmenő körhöz húzott érintőszakasz?

[388] BohnerGéza	2006-03-14 12:02:36

[387] axbx	2006-03-13 20:48:33
Nem megy nékem az geometria..

[386] HoA	2006-03-10 16:17:31
Köszönöm az ábrát. Legyen az AB átmérőjű f félkör középpontja O, sugara R. F rajta van f A-ból vett 1/2 arányú kicsinyítésén vagyis az AO átmérőjű f2 félkörön. n hossza A pont k-ra vonatkozó hatványának négyzetgyöke. Az AF távolságot d-vel, k sugarát r-rel jelölve n²=(d+r)(d-r)=d²-r² . C-t - és ezzel F-et és d-t - rögzítve ez akkor a legnagyobb amikor r a legkisebb, vagyis amikor k belülről érinti f-et. Ekkor D az OF egyenes és f metszéspontja, jelöljük Dm-mel. C-t az f félkörön mozgatva, C és F helyzetét a 0 és $\frac{\pi}2$ közé eső BAC = OAF = $\alpha$ szöggel jellemezve, mivel F rajta van OA Thalesz-körén d=Rcos $\alpha$ ,r=R(1-sin $\alpha$ ) n²=R²(cos² $\alpha$ -(1-sin $\alpha$ )²)=R²(cos² $\alpha$ -1-sin² $\alpha$ +2sin $\alpha$ )=R²(cos² $\alpha$ -cos² $\alpha$ -sin² $\alpha$ -sin² $\alpha$ +2sin $\alpha$ )= =2R²(sin $\alpha$ -sin² $\alpha$ )=2R²(sin $\alpha$ )(1-sin $\alpha$ ) Ez pedig a számtani és mértani közép egyenlőtlenség miatt akkor a legnagyobb, ha sin $\alpha$ =1-sin $\alpha$ =1/2 Ez a vizsgált tartományban $\alpha$ =30^o -nál következik be. Így DOA szög = CBA szög = 60^o , A, D, C és B pontok egy szabályos hatszög egymás utáni csúcsai. sin $\alpha$ =1/2 -t helyettessítve $n^2 = R^2 /2 , n = R / \sqrt2$

Előzmény: [385] BohnerGéza, 2006-03-09 20:26:52

[385] BohnerGéza	2006-03-09 20:26:52
A 68-as feladat ábrája.

[384] HoA

2006-03-09 17:53:28

- Az én értelmezésemben a rögzített AB átmérőjű félköríven C és D csak ACDB vagy ADCB sorrendben lehetnek.

- F az AC szakasz vagy az AC ív felezőpontja?

Előzmény: [382] BohnerGéza, 2006-03-09 12:15:40

[383] BohnerGéza	2006-03-09 14:09:04

[382] BohnerGéza	2006-03-09 12:15:40
68. feladat: C és D a rögzített AB átmérőjű félköríven vannak ABCD sorrendben. Legyen F az AC felezőpontja, k az F középpontú, D-n átmenő kör és n az A-ból k-ig húzott érintőszakasz. Hol van C és D, ha n a lehető leghosszabb? Mekkora ekkor n? (AB-hez képest.)

[381] hobbymatekos	2006-03-08 14:48:24
Sziasztok. Én úgy gondolom: a szabályos háromszög oldallapok súlypontjaiba a lapok területével azonos skalárok (mint tömeg pontrendszer) tömegközéppontjában lesz a tetraéder súlypontja. (Vagyis a statikai nyomatékok vektorainak bármely geometriai pontra számitott eredő nyomaték vektorának a súlypontba redukáltja nullvektor.)
Előzmény: [378] BohnerGéza, 2006-02-23 23:30:05

[379] axbx

2006-02-27 16:34:28

Már a véleményemet se mondhatom el.. (Fődmívelö) Azért nem vót szép, hogy bannoltak.

Na csak Az lenne a kérdésem, hogy hogyan kell bizonyítani a kör egyenletét?

[378] BohnerGéza

2006-02-23 23:30:05

Azt hiszem, az előző feladat után természetesen adódik, az érdeklődés miatt is, ha a térbeli analóg feladatot is kitűzöm.

67. feladat: Hol van a homogén vékony lemezből álló ABCD tetraéderhéj fizikai értelemben vett súlypontja.

[377] jonas	2006-02-23 23:13:42
Tényleg.
Előzmény: [376] Káli gúla, 2006-02-23 23:10:28

[376] Káli gúla	2006-02-23 23:10:28
De, ott van. The Spieker circle ... , X(10), is the centroid of the perimeter of ABC.
Előzmény: [375] jonas, 2006-02-23 22:57:55

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?