Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[72] Csimby2004-02-24 20:52:49

Kedves Onogur!

A feladatot először itt láttam: http://www.stetson.edu/ efriedma/touchingn/ , itt 4-re, 12-re és 14-re van megoldás, de a többi esetről semmmit sem mond. Én találtam megoldást minden páros n-re, azt pedig, hogy a páratlanok miért nem jók nagyon könnyű belátni. Az, hogy 6,8,10 -re miért nem jó szerintem nehezebb dió, tulajdonképpen csak 6-re néztem meg, mert nem találtam egyszerű módszert, de amit kitaláltam szerintem működik 8-ra és 10-re is. A feladatot egyébként úgy gondoltam, hogy összefüggő legyen az alakzat és a csúcsokban történő érintés is érintésnek számítson. Most lelőttem a poént, hogy mikor van megoldást, de a konstrukciókat és bizonyításokat attól még ki lehet találni, és elképzelhető, hogy 8,10-re van megoldás csak én nem találtam.

[71] Hajba Károly2004-02-24 12:57:06

Kedves Miklós!

A 3*3, 5*5, 7*7, ... négyzet kirakása nagyságrendekkel könnyebb, mint az eredeti feladatod, főleg László képei után. Érdekes lenne a 4*4, ... 2n*2n, négyzeteket kirakni a kiegészítő négyzet számoságának bizonyos korlátozásával (,de ebbe még bele kellene mélyedni :o).

Szóval az az érzésem az eredeti feladattal kapcsolatban, hogy nagyobb valószínűséggel lehetne bizonyítani a kirakás lehetetlenségét, mint kirakni. De hát ez csak egy érzés.

S csak illusztrációnak az első bekezdésbeli kirakások:

Előzmény: [67] Kristóf Miklós, 2004-02-24 10:56:07
[70] Hajba Károly2004-02-24 11:03:55

Kedves Csimby!

Újabb érdekes feladatokat kotortál elő valahonnan.

Tehát, ha jól értem, akkor egységnégyzeteket kell lehelyeznünk.

Ha 4 db négyzetet úgy helyezek el, hogy az egy nagyobb négyzetet alkosson, akkor elvileg mind a 4 négyzet 3 másikat érint. Így elvileg minden n*4 négyzetet le lehet helyezni, hogy 3 másikat érintsen, feltéve, hogy nem egybefüggő alakzatot kell alkotni a végeredménynek.

Tehát a fenti hozzászólásomban 3 pontosítási eset is van:

(1) egységnégyzet; (2) "keresztbe érintés" sarok a sarokkal érintés-e; (3) a végeredmény lehet-e széteső vagy egybefüggőnek kell lennie?

HK

Előzmény: [65] Csimby, 2004-02-23 23:17:38
[69] Kristóf Miklós2004-02-24 11:03:10

Kedves Lorantfi! Köszönöm az ábrát, igen, ez az az alakzat. Az első ábra prezentálja azt az esetet, amikor egy exta elemet, egy négyzetet is használok. Az eredeti feladatban viszont extra elem nélkül kell megcsinálni a téglalapot. Az alakzat tükörképe is használható. Úgy érzem, vagy nincs megoldás, vagy ha van akkor nagyon nagy.

Előzmény: [60] lorantfy, 2004-02-18 13:46:01
[68] Kristóf Miklós2004-02-24 10:59:08

Kedves Sirpi! Természetesen megengedett a tükörkép használata, így kíváncsian várom a tipped. Érdekes lehet azon minták osztálya, ahol nem megengedett a tükörkép.

Előzmény: [61] Sirpi, 2004-02-18 13:51:06
[67] Kristóf Miklós2004-02-24 10:56:07

Kedves Géza! A feladat tőlem származik, nem emlékszem hogy valaha is láttam volna máshol. Természetesen fel lehet adni pontversenyben is, de azzal a megjegyzéssel hogy semmi se garantálja hogy létezik megoldás, illetve lehet hogy a legkisebb megoldás is többezer elemből áll. Én olyan versenyként adnám fel, ahol nem időre mérik a megoldást, hanem az nyer aki előbb beküld egy működő megoldást, és ezután még azok kapnak pontot akik ettől eltérő új megoldást küldenek be. A versenynél meg lehet említeni a nevem, hogy ez tőlem származik. Még nagyon sok feladatot tudok. Pl. feladat lehet aperiodikus de szabályos minták kirakása ezzel az alakzattal az egész síkon.További feladat lehet olyan kirakóminta, ahol ez az alakzat egy másikkal együtt szerepel párban. Pl. ha még egy egységnégyzet is megengedett, akkor lehet 3x3, 5x5, 7x7... stb négyzet kirakása. Milyen más extra alakzat jöhet szóba?

Előzmény: [63] Kós Géza, 2004-02-19 11:41:11
[66] Csimby2004-02-23 23:23:30

Bocsánat, kifelejtettem, hogy a négyzetek legyenek egybevágóak!

[65] Csimby2004-02-23 23:17:38

15.feladat El lehet-e helyezni 6,8,10 db. négyzetet a síkban úgy, hogy mindegyik pontosan 3 másikat érintsen?

El lehet-e helyezni páratlan sok négyzetet a síkban úgy, hogy mindegyik pontosan 3 másikat érintsen?

El lehet-e helyezni 4,12,14,16... db. négyzetet a síkban úgy, hogy mindegyik pontosan 3 másikat érintsen?

[64] lorantfy2004-02-22 22:27:05

Kedves Géza és Fórumosok!

Desargues tétele: Ha két \Delta csúcspontjait összekötő egyenesek: AA1, BB1 és CC1 egy S pontban metszik egymást, akkor a két \Delta megfelelő oldalegyeneseinek metszéspontjai egy egyenesre esnek.

A tétel megfordítása: Ha két \Delta megfelelő oldalegyeneseinek metszéspontjai egy egyenesre esnek, akkor a megfelelő csúcspontokat összekötő egyenesek: AA1, BB1 és CC1 egy pontban metszik egymást.

Mi köze van a tétel megfordításásnak ahhoz, hogy a \Delta súlyvonalai egy ponban metszik egymást? Az ábráról ez már leolvasható.

Ha a két \Delta megfelelő oldalegyeneseinek metszéspontjai ideális pontok - vagyis ha az oldalegyenesek egymással párhuzamosak - a tétel akkor is igaz. A \Delta középvonalai pedig nyilván párhuzamosak az oldalakkal.

(A tétel a Hajós-ban: Ha két háromszög pontra nézve perspektív, akkor egyenesre nézve is perspektív és fordítva)

Előzmény: [58] Kós Géza, 2004-02-16 13:51:32
[63] Kós Géza2004-02-19 11:41:11

Kedves Miklós,

Honnan származik a feladat? Ha nem túl ismert, akkor fel lehetne adni a pontversenyben is. (Ebben az esetben elhalasztanánk a megoldás megtárgyalását.)

Géza

Előzmény: [59] Kristóf Miklós, 2004-02-18 12:55:21
[62] BohnerGéza2004-02-18 16:06:33

Kedves Fórumosok!

Igazán nem László [56] és Géza [58] bosszantására ( sőt ha nem lesz más jelentkező, akkor az általuk várt megoldást is megadom), hanem tanulságos volta miatt írom a következőket:

Amíg egyenesek párhuzamosságáról, metszéspontjukról van csak szó egy feladatban, célszerű lehet ferdeszögű koordinátarendszert használni. A krsz-t kezdőpontja és alapvektorai határozzák meg, melyekre ilyenkor elég, ha a nem párhuzamosak feltétel teljesül. A 14. feladat [46] esetén az A-t véve kezdőpontnak, az AB-t és AD-t véve alapvektornak a következő ábra alapján lehet számolni.

Ajánlom a módszert a 10.C. feladat [45] ábráját tekintve megoldására is. Ott célszerű a D-ből induló A ill. C felé mutató egységvektorokkal indulni. ( D(0;0), A(b;0), C(0;c), B(b;c), X(b;a), ... ) Igaz, így a megoldás annyira egyszerű lesz, hogy az már nem is szép, de a versenyen gyorsan, bemelegítésként megoldhatunk esetleg így egy feladatot.

[61] Sirpi2004-02-18 13:51:06

Van tippem a válaszra, de azért megkérdezem: a tükrözött példányokat is fel lehet használni?

S

Előzmény: [59] Kristóf Miklós, 2004-02-18 12:55:21
[60] lorantfy2004-02-18 13:46:01

Az első próbálkozások:

Előzmény: [59] Kristóf Miklós, 2004-02-18 12:55:21
[59] Kristóf Miklós2004-02-18 12:55:21

Kedves Mindenki! Lehet-e téglalapot kirakni az alábbi alakzatból?

Bocs, nem tudom felrajzolni.Mindent egy sorba ír ez. Így kell rajzolni: Két lépés le, egy lépés jobbra, egy lépés jobbra fel, egy lépés balra, egy lépés balra fel. Ez tehát egy konkáv ötszög. A kirakást természetesen négyzethálós papíron kell elképzelni.

[58] Kós Géza2004-02-16 13:51:32

Csak egy apróság a projekítv geometria kedvelőinek.

Azt, hogy a súlyvonalak egy ponton mennek át, a Desargues-tétel megfordításával érdemes (és érdekes) kapcsolatba hozni. (Ezt is a feleségemtől tanultam. :-))

Előzmény: [54] BohnerGéza, 2004-02-10 23:50:33
[57] BohnerGéza2004-02-15 21:31:44

Kedves László és Fórumosok!

László észrevétele teljesen jogos, nem egyszerű a javasolt megoldás, így további útmutatást adok. ( Nem gondoltam végig, ráadásul elszámoltam az Y vektort. )

A megoldás lényege a következő: A-ból B-be és D-be mutató vektorok és a gamma ismeretében a trapéz adott, a delta meghatározza X-et. Az AY párhuzamos XC feltétel meghatározza Y-t, tehát bétát is (deltától függ). Ehhez kihasználjuk majd, hogy ha pD=qB, akkor p=q=0, mivel d és B nem egyirányú vektorok. A béta ismeretében igazolható a BX párhuzamos YD. A megoldás befejezését most is az érdeklődőkre bízom. Jóval egyszerűbb a számolás, ha a helyvektorok kezdőpontjának a szárak metszéspontját vesszük, ezt is javaslom végigszámolni azoknak, akik még keveset foglalkoztak vektorokkal.

[56] lorantfy2004-02-13 10:48:13

Kedves Géza és Fórumosok!

Természetesen bármilyen módszerrel adott megoldást szivesen látok a 14. feladatra. Azért szeretném ha megoldaná valaki a Papposz tétel felhasználásával is, hogy a [44] és [45] hozzászólásom ne legyen hiábavaló.

Persze Géza megoldási javaslatát is be kellene fejeznie valakinek...(Remélem Géza nem sértődsz meg érte, de szerintem a bafejezés nem mindenkinek nyilvánvaló!) Segítségül egy ábra:

Előzmény: [55] BohnerGéza, 2004-02-13 00:38:12
[55] BohnerGéza2004-02-13 00:38:12

Mindenkitől elnézést kérek, de az 54. hozzászólásban sikerült második 14. feladatot összehoznom, ezért az eredetire, a 46-ban szereplőre mutatok egy megoldási lehetőséget. Tudom, a feladat kitűzője nem erre a módra gondolt, de így is lehet. Ajánlom mindazoknak, akik a vektorokkal való számolást még nem "érzik".

A 46. hozzászólásban szereplő ábra jelöléseit használjuk.

[54] BohnerGéza2004-02-10 23:50:33

(Téma: Ahhoz, hogy három nem párhuzamos egyenes egy pontban metszi egymást elég megmutatni, hogy van olyan pont, melyet tükrözve az első, a tükörképet a második, majd a harmadik egyenesre, visszajutunk az eredeti pontba.

Ezt használva könnyen megmutatható, hogy a háromszög oldalfelezőmerőlegesei egy pontban metszik egymást. Ismerve az – még nem biztosan létező, hiszen most akarjuk belátni, hogy van középpontjuk – érintőkörök tulajdonságait, a szögfelezőkhöz – három belső, vagy két külső és a harmadik belső – is találunk ilyen pontot. A magasságvonalakkal kapcsolatban:

14. feladat: Jelöljük az ABC háromszög magasságegyeneseit a-val, b-vel, c-vel, a és c metszéspontját M-mel, az M középpontú B-n áthaladó kört k-val, a béta szögfelezőjének k-val való metszéspontját P-vel. Mutassuk meg, hogy P segítségével igazolható, hogy a magasságegyenesek egy pontban metszik egymást.

A súlyvonalakkal kapcsolatban még nem jutottam biztos eredményre, de:

15. feladat: Az ABC háromszögben legyen p az alfa belső, q és r a béta ill. gamma külső szögfelezője, S ezek metszéspontja, F az S-ből a BC-re állított merőleges talppontja. Q-t és R-t az AF-re F-ben állított merőleges metszi ki q-n ill, r-en. Bizonyítandó, hogy F a PQ felezőpontja!

A feladat bizonyítása megy, csak azt nem látom, hogy - a fenti feladatban - abban a PQR háromszögben, melynek S a súlypontja az A segítségével belátható-e, hogy a súlyvonalak egy pontban metszik egymást.

A témával kapcsolatban szívesen fogadok segítséget (irodalom, feladatok).

[53] Csimby2004-02-10 22:21:39

Igen Onogur erre gondoltam, de sajnos ha van is még ilyen eset, túl sok háromszöget kell elhelyezni.

Talán érdekes lehet, a természet hogyan old meg a hasonló feladatot: (http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/packing.html)

[52] Hajba Károly2004-02-10 00:40:33

Kedves Csimby!

Ha jól értelmeztem a 13/b feladatodat, akkor arra lennél kiváncsi, hogy létezik-e még olyan a amire s egész. Én a=16-ra s=2,976+ eredményt hoztam ki, míg a=17-et nem sikerült s=3-ba belerakni. Így, ha létezik, az magasabb régiókban található.

HK

Előzmény: [49] Csimby, 2004-02-07 19:09:25
[51] Hajba Károly2004-02-09 00:32:26

Kedves Osztogatók!

Közreadom a 12. feladatra a saját megoldásomat, az alábbi megjegyzésekkel: (1) Úttörőbecsületszavamra kijelentem, hogy nem kukkoltam más honlapokra :o) (2) mivel több napig csak ritkán kerültem gépközelbe, így csak most tudtam a feladattal komolyabban foglalkozni. (3) Megoldást csak iteratív módszerrel sikerült készítenem (4) de cserében felszerkesztettem László változatát is a szögméréshez (\beta).

\alpha=36,88445849... \beta=35,33...

S az ábrák:

Előzmény: [37] Csimby, 2004-02-04 19:59:04
[50] lorantfy2004-02-07 22:12:38

Kedves Csimby!

Kösz a jó feladatokat. A 13-ast láttam a Stetson-on, ezt nem találtam meg, igy kénytelen voltam próbálkozni. Megszerkesztettem, és így már valamivel meggyőzőbb.

Előzmény: [49] Csimby, 2004-02-07 19:09:25
[49] Csimby2004-02-07 19:09:25

Kedves Lorantfy!

Szerintem jó a megoldásod, másik két megoldás található a feladatra a következő címeken: http://www.stetson.edu/~efriedma/tis/iso01.gif http://www.stetson.edu/~efriedma/tis/iso11.gif

Kedves Onogur!

Ez is jó, gratula! 13.b feladat Vajon a 7-en kívül más a darabszámra is igaz, hogy a db egység oldalú szabályos háromszöget el lehet helyezni egy olyan négyzetben amelynek oldalhossza a többszöröse (ennél kissebb oldalhosszú négyzetben viszont nem, persze ezt nem kell bizonyítani, nekem elég ha "úgy tűnik")? (a=15-ig "úgy tűnik" nincsen más ilyen lásd.: http://www.stetson.edu/~efriedma/triinsqu/)

[48] lorantfy2004-02-07 14:10:38

12. feladat megoldása: Jól néz ki, de nem biztos, hogy létezik! Ha van kedve valakinek számoljon utánna, lehet-e mindegyik háromszög derékszögű az ábrán!

Előzmény: [37] Csimby, 2004-02-04 19:59:04

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]