[767] BohnerGéza | 2007-06-06 22:32:11 |
Nagyon szép észrevétel, de mielőtt valaki összekapcsolná a Simson-egyenessel:
klevente feladata, 116. feladat: Adott egy kör és két egyenes. A kör P pontjából állítsunk merőlegest az egyenesekre, a talppontok közti felezőpont legyen Q. Bizonyitandó, a Q pontok mértani helye ellipszis, ha P végigfut a körön.
|
Előzmény: [765] klevente, 2007-06-06 14:17:45 |
|
|
[765] klevente | 2007-06-06 14:17:45 |
Egy háromszög köré írt kör tetszőleges P pontjából állítsunk merőlegeseket a háromszög oldalegyeneseire. Közismert, hogy ezen merőlegesek talppontjai kollineárisak, ez az ún. Simson-egyenes.
Vizsgáljuk valamelyik két talppont összekötő szakasza felezőpontjának mértani helyét, ha P befutja a köréírt kört. A GeoGebra programmal nézve ez szinte bizonyosan ellipszis.
Kérdések: a) tud-e valaki arról, hogy ez a tény (sejtés) ismertnek számít-e a matematikában? b) tudná-e valaki bizonyítani vagy cáfolni?
Koncz Levente
|
|
[764] HoA | 2007-05-31 22:11:09 |
114** feladat Vizsgáljuk az li hosszúságú ri rúdra ható erőket. A rúdra hat a feladatban adott Fi külső erő és a csuklókban a szomszédos rudak Gi1 és Gi2 kényszerereje. Bontsuk fel az erőket rúdirányú és a rúdra merőleges összetevőkre. Gi1 és Gi2 rúdirányú összetevői egymás ellentettjei, mert a rúd nyugalomban van és más rúdirányú erő nem hat rá. Gi1 és Gi2 rúdra merőleges összetevői egyenlőek és nagyságúak, mert a rúd másik végére vonatkozó nyomatékuk li karon egyensúlyt tart Fi erő karon kifejtett nyomatékával. Megállapíthatjuk tehát, hogy Gi1 és Gi2 egyenlő nagyságűak. Mivel a csuklókban a rudak azonos nagyságú erővel hatnak egymásra, a szomszédos rúdra hatő kényszererő is akkora, mint Gi1 és Gi2 és így tovább : az összes csuklóban ugyanakkora erők hatnak. Legyen ennek az erőnek a nagysága G.
Tekintsük a szomszédos, li és lj hosszúságú ri és rj rudakra ható erőket. Válasszuk úgy az ábrán az erő mértékegységét, hogy a rúd hosszával arányos Fi és Fj erőket éppen li és lj hosszú vektorral ábrázoljuk. Az ri rúdra a Q csuklóban ható Gi erő rúdra merőleges összetevője Fi/2=li/2 . Rajzoljuk meg Q-ban a sokszög belseje felé mutató, Gi-re merőleges, G hosszúságú Gn vektort, Gi 90 fokos elforgatottját. Ennek ri irányába eső összetevője li/2, tehát O végpontja rajta van ri felező merőlegesén. De a Gn vektort úgy is tekinthetjük, mint az rj rúdra Q-ban ható Gj erö -90 fokos elforgatottját. Mivel Gj erö rj -re merőleges összetevője lj/2 nagyságú, Gn -nek rj irányába eső összetevője is ekkora, vagyis O rajta van rj felező merőlegesén is. Vagyis a P,Q,R pontok egy G sugarú körön vannak. A gondolatmenetet a következő R csuklóra alkalmazva azt kapjuk, hogy a Q,R, S pontok is egy G sugarú körön vannak. A két kör azonos: középpontjuk QR felező merőlegesén a sokszög belseje felé Q-tól és R-től G távolságra lévő O pont. Az eljárást folytatva adódik, hogy a csuklók húrsokszöget alkotnak.
|
|
Előzmény: [747] BohnerGéza, 2007-05-23 00:28:23 |
|
|
|
[762] Sirpi | 2007-05-29 20:43:23 |
Az állítás igaz. A bizonyítás úgy megy, hogy közelítsük mindkét konvex alakzatot zárt poligonokkal úgy, hogy a belső poligon se metssze a külsőt.
Ezután vegyük a belső sokszög egy élét, és hosszabbítsuk meg mindkét irányban. Az egyenes külső sokszöggel vett két metszéspontja két töröttvonalra osztja a külső sokszöget. Ebből dobjuk el azt, ami nem tartalmazza a belső sokszöget és helyettesítsük a meghosszabbított szakasszal. Ezzel a lépéssel a külső sokszög kerülete csökkent (valamint éleinek száma sem nőtt). Véges sok lépés során eljutunk oda, hogy a levagdosások hatására a külső és a belső sokszög megegyezik.
Azt kaptuk tehát, hogy a belső sokszög minden poligonközelítése kisebb kerületű a külső sokszög bármely poligonközelítésénél, vagyis a belső alakzat kerülete is kisebb a külsőénél.
|
Előzmény: [759] V Laci, 2007-05-29 17:48:47 |
|
|
[759] V Laci | 2007-05-29 17:48:47 |
Sziasztok!
Ha egy konvex síkbeli alakzat a belsejében tartalmaz egy másik konvex síkbeli alakzatot, akkor a belsőnek a kerülete kisebb mint a külsőnek.
Igaz-e az állítás? Véleményem szerint igen. De hogyan lehetne bizonyítani? A segítségeteket előre is köszönöm. Laci
|
|
[758] s.addam | 2007-05-29 17:11:17 |
Hogy lehet legkevesebb művelettel megállapítani, hogy egy kör (ismert a középpontja, és a sugara) és egy polygon (ismertek a pontjai) metszete üres halmaz-e?
|
|
[757] HoA | 2007-05-25 09:30:07 |
A kívánt bizonyítás egyszerű az izoperimetrikus tétel felhasználásával: Adott kerületű síkidomok közül a kör zárja be a legnagyobb területet. Állítsuk csuklós szerkezetünket húrsokszög alakúra. Rajzoljuk meg a körülírt kört. Az ábrán zölddel jelölt holdacskákat ragasszuk hozzá az oldalakhoz. A kör területe = húrsokszög területe + holdacskák területe. Ezután mozdítsuk el a csuklós szerkezetet. A keletkező idom körívekből álló kerülete megegyezik az eredeti kör kerülettel, de területe kisebb a körénél. Az idom területe = nem-húrsokszög területe + holdacskák területe. A holdacskákat levonva : nem-húrsokszög területe < húrsokszög területe. QED.
|
|
Előzmény: [756] BohnerGéza, 2007-05-24 19:45:22 |
|
[756] BohnerGéza | 2007-05-24 19:45:22 |
Fordított utat jártam be, mint HoA. Azt szeretném bizonyítani, hogy egy csuklós n-szög által bezárt terület, azaz ha egy n-szög oldalai adottak, területe akkor maximális, ha húrsokszög.
Ha csuklós n-szögünket két csúszós síklap közé rakjuk és belül fölfújuk, maximális tárfogatra, azaz alapterületre törekszik. A 114** feladatban leírt erők a nyomás miatt kialakuló a erőhatásokat helyettesítik. A 114** bizonyítása a fenti tétel "fizikai" bizonyítása. ( Erre egy, a matematikában sokszor használt, középiskolában tanult, bizonyítási módszert ajánlok. )
|
Előzmény: [753] HoA, 2007-05-24 11:39:17 |
|
|
|
[753] HoA | 2007-05-24 11:39:17 |
114** feladat: Igen. Geomatriai bizonyítást egyelőre nem adok, hátha más is foglalkozik a feladattal. Egy "fizikai" bizonyítás: Tegyük fel, hogy kis csuklós szerkezetünket rá tudjuk fektetni egy síkban kifeszített szappanhártyára melyet n-szögünkön belül kiszúrunk. Ekkor a hártya a rudakra a feladat feltételeiben leírt erőhatásokat fejti ki. A szappanhártya minimális felületűre akar összehúzódni. Ha tudjuk, hogy egy csuklós n-szög által bezárt terület akkor maximális ha húrsokszög, adódik, hogy a hártya csuklós szerkezetünket húrsokszöggé alakítja és ez az állapot stabil.
|
Előzmény: [747] BohnerGéza, 2007-05-23 00:28:23 |
|
|
[751] Yegreg | 2007-05-23 22:34:29 |
Maga az az állítás, hogy középpontos hasonlóságok szorzata középpontos hasonlóság, igaz, ha (ha 1 a szorzat, akkor eltolás), méghozzá tényleg arányú, a középpontja viszont nem az, ami le volt írva. Két hasonlóság esetén a szorzat középpontja a középpontok egyenesén van, méghozzá valahogy úgy, hogy , ahol -k az arányok, O1, O2 a középpontok, O3 a szorzat középpontja. Gondolom, O3-at meg lehet adni osztóviszonyokkal is, de már késő van hozzá, hogy kitaláljam :oS Egyébként szerintem ilyenek benne vannak a Geometria és határterületeiben, de nem biztos, majd megnézem.
|
|
[750] Lóczi Lajos | 2007-05-23 17:20:09 |
Vannak még figyelmes olvasók, legyen szó akár 3 év messzeségéről is. (Micsoda véletlen egybeesés: pár perce kaptam egy levelet, hogy egy általam 3 éve jelentett szoftverproblémát kijavítottak :-)
|
Előzmény: [749] Cogito, 2007-05-23 17:09:36 |
|
[749] Cogito | 2007-05-23 17:09:36 |
Tisztelt lorantfy!
Idézet a [151]-es hozzászólásodból:
Az állítás általánosan is megfogalmazható: Legyen K1 O középpontú 1 arányú kph. K2 pedig P középpontú 2 arányú kph. Ezek egymásutáni végrehajtása helyettesíthető egy K kph-al melynek aránya =1 2 középpontja pedig az a Q pont, mely P-nek O-ra vonatkozó arányú kph. képe.
E sorokat olvasva elgondolkoztam: ha igaz ez a tétel, vajon miért nem szerepel (például) Reiman István: A geometria határterületei című könyvében, illetve más szakkönyvekben? Hosszas tűnődések után fölmerült bennem a gyanú, hogy talán azért nem említik, mert esetleg hamis ez az általánosítás?!. Ilyenkor egy dolgot tehet az ember, próbál egy ellenpéldát keresni. Némi kutakodás után bukkantam a 'tétel' következő cáfolatára:
Legyen K1 az O középpontú, 1=2 arányú középpontos hasonlóság, K2 pedig a P középpontú, 2=2 arányú középpontos hasonlóság a következő választással: a számegyenesen az O pont legyen az origó, P legyen a 3-as pont.
Az OP szakasz O-hoz közelebbi H harmadolópontja az első nagyításnál a második harmadolópontba, H'-be kerül. Alkalmazzuk H'-re a P középpontú, 2=2 arányú nyújtást. Ekkor H' képe H lesz. H tehát fixpont, ez a pont a szorzathasonlóság középpontja. A vitatott 'tétel' e konkrét esetre így szólna: P-nek O-ra vonatkozó, =4 arányú középpontos hasonlósági képe H. Ellentmondásra jutottunk, hiszen 112. A 'tétel' tehát hamis.
Ezek után kijelenthetjük: az általánosítás ilyen módon nem lehetséges (valószínűleg más módszerrel sem...). Üdvözlettel: Cogito
|
|
Előzmény: [151] lorantfy, 2004-07-16 00:54:41 |
|
[748] Iván88 | 2007-05-23 13:13:57 |
Ok. Akkor pontosítok. Valós függvényre gondoltam f:RR. Időközben rájöttem arra, hogy a sejtésem így nem igaz.
Ha az egyik aszimptota párhuzamos az y tengellyel, akkor a másik tetszőleges szöget zárhat be vele.(a ]0°;180°[ nyílt intervallumban). De mi a helyzet akkor, ha nem párhuzamos az y-tengellyel egyik aszimptota sem?
Szerintem akkor nem lehet fv. a grafikon képe, de ezt se bizonyítani se cáfolni nem tudom.
|
Előzmény: [745] Lóczi Lajos, 2007-05-22 10:58:49 |
|
[747] BohnerGéza | 2007-05-23 00:28:23 |
Másodszor módositott 114. feladat: Örülök, hogy HoA nem foglalkozott a feladattal. Ellenpéldája jó lett volna.
A módositott, legyen 114** feladat: Van egy n rúdból álló, a szomszédos rudakat csuklóval összekötött tömegtelen n-szögünk. Igaz-e, hogy ez n db olyan erő hatására, melyek a rudak felezőpontjában hatnak, a rudak hosszával arányosak és merőlegesek a rudakra, csakkor lehet nyugalomban, ha rúdhúrszöget alkotnak a rudak?
Nem triviális!!!
|
Előzmény: [746] BohnerGéza, 2007-05-22 16:27:35 |
|
[746] BohnerGéza | 2007-05-22 16:27:35 |
módositott 114. feladat: Örülök, hogy HoA foglalkozott a feladattal. Ellenpéldája jó.
A módositott, legyen 114* feladat: Van egy n rúdból álló, a szomszédos rudakat csuklóval összekötött tömegtelen n-szögünk. Igaz-e, hogy ez n db olyan erő hatására, melyek a rudak felezőpontjában hatnak és merőlegesek a rudakra, csakkor lehet nyugalomban, ha rúdhúrszöget alkotnak a rudak, az erők a rudak hosszával arányosak és erővonalaik átmennek a rúdsokszög köré írt kör középpontján?
|
Előzmény: [742] HoA, 2007-05-21 12:19:34 |
|
[745] Lóczi Lajos | 2007-05-22 10:58:49 |
Esetleg egy elforgatott síkbeli koordinátarendszerben!
Amúgy pl. egy zárt síkbeli körvonal is nyilván felfogható függvényként, legfeljebb nem valós-valós függvényként, hanem pl. RR2 függvényként, tehát a feladat megfogalmazása meglehetősen laza: meg kellene mondani, milyen halmazról melyikbe képezzen a függvényként felfogandó hozzárendelés.
|
Előzmény: [744] Sirpi, 2007-05-22 10:44:19 |
|
|
[743] Iván88 | 2007-05-22 10:37:27 |
115.feladat
Igaz-e, hogy egy hiperbola grafikonja csak akkor lehet függvény is, ha az aszimptotái merőlegesek egymásra?
|
|