Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[823] Hajba Károly2007-07-26 22:58:55

Ha minden pont oly módon van valamely csúcsban, hogy minden csúcsra kerül pont, akkor a konvex burok nyilvánvalóan megegyezik a kockával. Ha a kocka térfogatát egységnyinek veszem, akkor a burok maximális térfogata 1 egység.

Ha a pontokat úgy próbáljuk a csúcsokan elhelyezni, hogy minél kevesebb csúcson jelenjenek meg, akkor a 4 csúcs a lapok átellenes (átlós) csúcsaira kerülnek, s a 4 csúcs egy szabályos tetraédert alkot. Ekkor a burok térfogata 1/3 egység.

Nem erősségem a bizonyítás, de gyakorlatilag ez utóbbi a minimális térfogat.

Előzmény: [821] epsilon, 2007-07-26 14:06:03
[822] nadorp2007-07-26 14:28:01

Igazad van, viszont kör esetén ( bár ez a legspeciálisabb eset) szerintem lehetne valamit keresni.

Előzmény: [815] BohnerGéza, 2007-07-22 19:59:21
[821] epsilon2007-07-26 14:06:03

Helló Károly! Igen, úgy van ahogyan mondod. Kiváltképpen az érdekelne, hogy ennek a konvex buroknak a térfogatának az értéke a kocka térfogatának hányad részével lehet egyenlő, és esetleg mely értékeket nem veheti fel a kocka térfogatából? Üdv: epsilon

Előzmény: [820] Hajba Károly, 2007-07-24 23:50:31
[820] Hajba Károly2007-07-24 23:50:31

Üdv!

Egy naív kérdés, ellenőrzésképpen, hogy jól értem-e.

A 12 pont konvex burka az a kockából visszamaradó idom, melyet úgy kapunk, hogy a 8 sarkából tetraédereket levágunk, s egy-egy szomszédos csúcshoz tartozó tetraéderek megfelelő csúcspontjaik a kijelölt pontban azonosak?

Ha igen, akkor a következő -vizuális úton nyert- meglátásaim vannak: Ekkor az idom mindenképpen konvex. Szélsőséges esetben legfeljebb három pont a csúcsban lehet azonos is. Maximális térfogata egységnyi, míg minimális térfogata harmad egységnyi.

Előzmény: [816] epsilon, 2007-07-24 09:16:24
[819] epsilon2007-07-24 21:55:31

Helló Cckek! Itt vannak nekem is kételyeim, hogy minden esetben felvehető-e úgy a 12 pont, hogy a szóbanforgó test konvex legyen? Na persze, ha még térfogati megszorítások, kitétek is bekerülnek, akkor még áltáthatatlanabb. Nyilván a "konvex burok" csak ekkor illik a szóhasználatra!

Előzmény: [817] Cckek, 2007-07-24 10:09:12
[818] jonas2007-07-24 11:24:51

Ez egy másik feladatra emlékeztet a Pólya-Szegő analízis feladatgyűjteményből, amit feladtunk a szemináriumon. Sajnos miután utánanéztem, kiderült, hogy nem segít ehhez a feladathoz, mert a térfogatról nem mond semmit. Ide másolom a feladatsorról

Legyen a 3-térben egy test olyan tulajdonságú, hogy szakaszban vagy pontban (vagy az üres halmazban) metsz minden, a koordinátatengelyek bármelyikével párhuzamos egyenest. Legyen a test vetülete a koordinátasíkokra P, Q, illetve R területű. Legyen a test felszíne A. Lássuk be, hogy


2 \sqrt{P^2 + Q^2 + R^2} \le A \le 2 (P + Q + R)

Igazoljuk, hogy a becslés éles.

Előzmény: [816] epsilon, 2007-07-24 09:16:24
[817] Cckek2007-07-24 10:09:12

A pontok által meghatározott test, ha a pontokat megfelelő sorrendben kötjük össze konvex lesz nem?

Előzmény: [816] epsilon, 2007-07-24 09:16:24
[816] epsilon2007-07-24 09:16:24

Helló! A következő kérdésem lenne: ha egy kocka minden élén felveszünk 1-1 pontot, mi lesz a 12 pont konvex burka, esetleg meg lehetne-e mondani a térfogatának szélsőértékeit, vagy azokat az értékeket amiket ez felvehet ? Előre is kösz Mindenkinek! Üdv: epsilon

[815] BohnerGéza2007-07-22 19:59:21

Az előző hozászólásomban helyesen a 122. feladat kell legyen.

Elnézést kérek ,,Lajos Arpad´´-tól, akinek érdekes a 121. feladata. Annak megoldására kiváncsi vagyok. Ebben a hőségben inkább azt hiszem, nem speciális esetben nincs rá olyan képlet, melybe egy pont koordinátáját helyettesítve megkapjuk, hogy az fényes vagy sem.

Előzmény: [814] BohnerGéza, 2007-07-22 19:22:10
[814] BohnerGéza2007-07-22 19:22:10

121. feladat: A 120. feladat alapján szerkesztendő két egymást kívülről érintő kör közös külső érintője. (Indoklása egyben a 120. feladat megoldása is lehet.)

Előzmény: [808] sakkmath, 2007-07-16 18:26:43
[813] Lajos Arpad2007-07-21 10:23:16

A 121. feladat Hmmm... Igazad van. Ezek szerint nem volt olyan nagy kudarc hogy nekem nem sikerült ;). Nekem csak egy szép integrál jött ki, amit nem igazán tudtam megoldani annak ellenére, hogy próbálkoztam egy ideig. Egy érdekes feladat: Adott egy origó középpontú ellipszis, egyenlete: (x/a) 2 + (y/b) 2 = 1 Ezen az ellipszisen teljes visszaverôdés figyelhetô meg. Az ellipszis egyik pontjáról valamilyen irányba(az ellipszis belseje felé) elindítunk egy fénysugarat, melynek szélessége elhanyagolható, és a végtelenségig verôdik az ellipszis falán vissza. A kiindulópont legyen M(x0,y0), az irány pedig alfa az origóhoz képest. A fénysugár a végtelenségig verôdik vissza az ellipszis falán. A kérdés az, hogy (a,b,X0,Y0,alfa) függvényében hol lesz fényes az ellipszis belseje? Bevallom ôszintén, hogy én ezen a problémán kb. 3 hónapig gondolkodtam hetedmagammal ameddig egy valamennyire elfogadható megoldást találtam. Jelölés :  : hatvány

[812] ágica2007-07-21 09:39:22

Hm.. ezt miből gondolod? Tudtommal az ellipszis kerületét nem lehet ilyen szépen kifejezni. Lásd: http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html

Előzmény: [811] Lajos Arpad, 2007-07-21 06:54:48
[811] Lajos Arpad2007-07-21 06:54:48

elnézést, a kerület pi(a+b)

[810] Lajos Arpad2007-07-21 06:54:06

üdv mindenkinek, lenne egy kérdésem. Tudjuk hogy az ellipszis kerülete=pi*a*b, ahol a az ellipszis szélessége "a", hosszúsága pedig "b".Hogyan kéne bizonyítani? Meg próbáltam oldani a hozzá tartozó elliptikus integrált, de beletörött a bicskám.

[809] lorantfy2007-07-17 14:38:56

Szép megoldás. Grat!

Előzmény: [806] HoA, 2007-07-13 17:12:29
[808] sakkmath2007-07-16 18:26:43

A 120. feladat (ujjgyakorlat is lehetne):

Legyen adott az AB szakasz, melynek tetszőleges belső pontja C. Az AB, AC, CB szakaszok, mint átmérők fölé - azonos partjukra - félköröket rajzoltunk. Az AB-re C-ben állított merőleges D-ben metszi az AB félkört. Az AB félkör D-hez tartozó érintője t1, a másik két félkör közös (CD-től különböző) érintője t2. Bizonyítsuk be, hogy t1 párhuzamos t2-vel.

[807] BohnerGéza2007-07-14 01:45:23

Köszönöm HoA szép megoldását! Egy kiegészítés és egy javaslat még:

A 119. feladat feltételei, "ha ezek léteznek és nem nullák", miatt [806]-ban a megoldást így kezdtem volna: Egyenlő szárú háromszögben az állítás igaz, különben ... . Természetesen ez nyilvánvaló, de versenyen akár helyezés múlhat azon, ha leírjuk.

Javaslom, hogy a 118. feladatban szereplő eredeti 3 pontnak az ABC valamelyik oldalára eső vetületére számoljuk ki az osztóviszonyt róval és r-rel. ( beírt, körülírt kör sugara ) Használjuk ki, hogy egy csúcsból a magasságpontba mutató vektor kétszerese a körülírt kör kp-jából a csúccsal szemközti oldalfelező pontba mutató vektornak!

Előzmény: [806] HoA, 2007-07-13 17:12:29
[806] HoA2007-07-13 17:12:29

118. feladat: [803] és [805] alapján elég azt megmutatni, hogy az O, K pontoknak és az A1B1C1\Delta S súlypontjának az a illetve b oldalakra eső Oa,A1,Sa és Ob,B1Sb vetületeire teljesül: \frac {O_aS_a}{O_bS_b} = \frac {O_aA_1}{O_bB_1} . COa=a/2,CA1=s-c, így OaA1=s-c-a/2=(b-c)/2. hasonlóan ObB1=(a-c)/2 . A kettő hányadosa (b-c)/(a-c)

CSb felírható mint a CA1,CB1ésCC1 szakaszok b-re eső vetületeinek számtani közepe, így ObSb=CSb-COb=1/3((s-c).cos\gamma+(s-c)+a.cos\gamma+(b-a.cos\gamma)*((s-a)/c))-b/2. Itt 2s = a+b+c helyettesítéssel cos\gamma-t a koszinusztételből kifejezve átrendezéssel adódik:

 O_bS_b =\frac {a-c}{12abc}\bigg\{ a^2b + ab^2 - a^3 - b^3 + c ( b^2 + 4ab + a^2 ) + c^2 ( a + b ) - c^3 \bigg\}

OaSa ebből a és b szerepének felcserélésével kapható. Látható , hogy a nagyzárójelben a és b szimmetrikusan lép fel, a kifejezésnek ez a része változatlan, tehát

 O_aS_a =\frac {b-c}{12abc}\bigg\{ a^2b + ab^2 - a^3 - b^3 + c ( b^2 + 4ab + a^2 ) + c^2 ( a + b ) - c^3 \bigg\}

A kettő hányadosa \frac{O_aS_a}{O_bS_b} = (b-c)/(a-c) = \frac {O_aA_1}{O_bB_1}

Előzmény: [801] BohnerGéza, 2007-06-30 23:50:41
[805] HoA2007-07-09 13:52:12

Még egy segítség: Mivel K az A1,B1,C1\Delta körülírt körének középpontja, KM A1,B1,C1\Delta Euler-egyenese, amin A1,B1,C1\DeltaS1 súlypontja is rajta van. Tehát elég belátnunk, hogy O,KésS1 egy egyenesen vannak.

Előzmény: [801] BohnerGéza, 2007-06-30 23:50:41
[804] lorantfy2007-07-03 14:56:00

Ha Q pont nincs rajta a PR egyenesen, akkor QaQ egyenesnek PR egyenessel való metszéspontja legye A, QbQ és PR metszéspontja pedig B. Ekkor \frac{PR_a}{Q_aR_a}=\frac{PA}{AR}\ne \frac{PB}{BR}=\frac{PR_b}{Q_bR_b} vagyis (PaQaRa)\ne(PbQbRb).

Előzmény: [803] lorantfy, 2007-07-03 14:35:02
[803] lorantfy2007-07-03 14:35:02

119. feladathoz: Toljuk el a és b egyeneseket önmagukkal párhuzamosan úgy, hogy P ponton menjenek át. Ekkor, ha Q a PR egyenesen van, akkor a párhuzamos szelők tételéből következik, hogy  \frac{PR_a}{Q_aR_a}=\frac{PR}{QR}=\frac{PR_b}{Q_bR_b} és mivel Pa=P=Pb ezért (Pa Qa Ra) = (Pb Qb Rb).

Előzmény: [801] BohnerGéza, 2007-06-30 23:50:41
[802] lorantfy2007-07-01 14:30:12
Előzmény: [801] BohnerGéza, 2007-06-30 23:50:41
[801] BohnerGéza2007-06-30 23:50:41

118. feladat: A Gillis - Turán Matematikaverseny egyik szép feladatát ajánlom:

Legyen ABC egy olyan háromszög, ami nem egyenlő oldalú. Az ABC háromszög beírt köre érintse a megfelelő oldalakat az A1, B1, C1 pontokban, és legyen M az A1B1C1 háromszög magasságpontja. Bizonyítsuk be, hogy M rajta van az ABC háromszög körülírt körének középpontját és beírt körének középpontját összekötő egyenesen.

A megoldáshoz javaslom a következő segítséget:

119. feladat: Legyen a P, Q és R pont merőleges vetülete az a ill. b nem párhuzamos egyenesen Pa, Qa és Ra ill. Pb, Qb és Rb. Bizonyítandó, hogy (Pa Qa Ra) = (Pb Qb Rb) -ha ezek léteznek és nem nullák- csakkor igaz, ha a P, Q és R egy egyenesen van.

/ Az egy egyenesen lévő A, B és C pontok esetén ezek osztóviszonyán értjük az (A B C)=AC/BC előjeles hányadost. /

[800] lorantfy2007-06-29 15:03:41

Kedves Levente!

Ügyes felvetés volt, Matyinak dicséret érte. Látom C gyakorlatokat küldött az idén. Bátorítsd egy kicsit, hogy rendszeresebben küldjön!

Üdv! Laci

Előzmény: [799] klevente, 2007-06-29 11:49:08
[799] klevente2007-06-29 11:49:08

Kedves hozzászólók és megoldók!

A "tényleg ellipszis-e a mértani hely?" témát én vetettem volt fel. Köszönöm az érdeklődést és a problémát kimerítő megoldást.

A történet kezdetéhez annyit tennék hozzá, hogy az Árpád Gimnáziumban épp a Simson-egyenest tanítottam 9. osztályban specmaton, és a Kiss Matyi nevű (egyébként is elég tehetséges) diák állt elő ezzel a sejtéssel a GeoGebrát nézegetve. Elég ügyes intuíció, azt hiszem.

Koncz Levente

Előzmény: [776] lorantfy, 2007-06-18 14:46:29

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]