Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[981] BohnerGéza2008-01-06 02:29:39

Érdemes tudni, hogy egy AB szakasz látókörének két íve nem teljesen egyenértékű. Ha az egyikről AB fí szögben látszik, akkor a másikról -fí-ben.

Tekintsük HoA [978] ábráját! Ott lényeges a feladat szempontjából, hogy F-ből DA és CB ugyanolyan irányítású egyforma szögben látszik, ez a DEA(=CEB) szöggel egyenlő.

Előzmény: [979] HoA, 2008-01-04 15:42:37
[984] BohnerGéza2008-01-06 02:15:02

Köszönöm HoA!

A 129. feladat kitűzésekor valóban arra gondoltam, ha minden olyan ABCD négyszögre igaz, melyben AB nem egyenlő CD-vel, azaz valódi hasonlósággal (körüljárástartó) kaphatjuk AB-ből CD-t, akkor E a megfelelő forgatva nyújtásnsak a kp-ja, tehát a fixpontja is.

Ehhez minden lehetőségre meg kell mutatni, hogy E mindig a körök AFD ill. BFC ívén van. (Pl. akkor is, ha F az AB szakaszon van. )

Még azzal is, kell kezdeni valamit, ha a két kör érinti egymást - F-ben.

Sőt Az AB párhuzamos CD-t is vizsgálni kell. Mindezt a fórumon pontosan leírni nem érdemes - a következő hozzászólásban egy dologról még írok-, de:

Ha mindent megmutattunk, akkor bebizonyítottuk, hogy minden valódi hasonlóságnak van fixpontja. A feladat - a speciális eseteket kivéve - lehetőséget mutat a fixpont szerkesztésére.

Előzmény: [977] HoA, 2008-01-04 10:43:57
[980] Bubóka2008-01-04 18:36:09

Igen, ezt így tudtam én is, de nem ez volt a feladat, amit nem tudtam. De azért köszi. Hidd el a másik is lehetséges, hisz az egyetemen kérik. De ha megtudom, közre adom!!

Előzmény: [979] HoA, 2008-01-04 15:42:37
[979] HoA2008-01-04 15:42:37

Na látod, ez az, amiről eddig szó sem volt: adott a szakasz felezőponja is. Egy megoldás: P az AS egyenes szabadon választott pontja, PN és SB metszéspontja Q, AQ és PB metszéspontja R, SR a keresett egyenes.

Hogy "adott pontból adott pontra állítson merőlegest" azt meghagyom neked.

Előzmény: [978] Bubóka, 2008-01-04 13:46:22
[978] Bubóka2008-01-04 13:46:22

Tisztelt Fórumozók! Látom galibát okoztam, bár nem állt szándékomban. A feladatom amit nem tudok megoldani, az az volt és nem több, hogy adott pontból adott pontra állítson merőlegest. sajnos nincs itt semmiféle körkp és egyebek. Eljutottunk a párhuzamos szerkeszthetősége vonalzóval vitájához, amit konkrétan nem fejtettem ki, mert nem ez volt a feladatom, pusztán reagáltam Jónásnak arra, hogy lehetséges. De most megteszem. A feladat: adott egy AB szakasz, annak N felező pontja és S pont mely nem illeszkedik a szakaszra. Húzzon S-en át párhuzamost az AB szakasszal. Mivel a (csak)vonalzós szerkesztésekhez 4 adott pontra van szükség így egy 4. pontot tetszőlegesen veszünk föl (az A és S pontot összekötő egyenesen). HA több időm lesz megpróbálom itt megszerkeszteni de legalábbis leírni a menetét, de épp geo. vizsgára készülök.

[977] HoA2008-01-04 10:43:57

Az ábra szerinti elrendezésben az ABF és CDF háromszögek B-nél ill. C-nél lévő szögei (piros) a k2 körben, A-nál ill. D-nél lévő külső szögei (zőld) a k1 körben az EF húrhoz tartozó kerületi szögek. Úgy vélem, BohnerGéza nem a nehézsége miatt adta fel ezt a feladatot, hanem valamilyen érdekes észrevétele van - talán a forgatva nyújtással vagy a négy háromszög tételével kapcsolatban?

Előzmény: [966] BohnerGéza, 2008-01-02 22:51:56
[976] HoA2008-01-04 10:28:35

Én meg úgy gondolom, hogy egy geometria fórumon a szerkesztési feladatokat szabatosan illik megfogalmazni. Mi adott és mit kell szerkeszteni? Ha például kiderül, hogy az egyenesen és ponton kívül még egy kör meg a középpontja is adott, akár merőlegest is szerkeszthetsz az adott ponból az adott egyenesre csak vonalzóval.

Előzmény: [971] Bubóka, 2008-01-04 08:23:54
[975] rizsesz2008-01-04 10:27:45

Elnézést, legközelebb nem csak az egy hozzászólást nézem meg. :) Ennek így valóban előfeltétele egy és más. Bubókának drukkolok a vonalzóval szerkesztéshez!

Előzmény: [974] jonas, 2008-01-04 09:29:08
[974] jonas2008-01-04 09:29:08

Igen, de ott meg van adva egy párhuzamos, és egy másikat kell szerkeszteni. Azt tényleg meg lehet csinálni.

Adott a két párhuzamos fekete egyenes, és a fekete pont. Meghúzod tetszőlegesen a két piros egyenest, az egyiket a fekete ponton keresztül. Utána meghúzod a három narancssárga egyenest a megfelelő metszéspontokat összekötve, utána a zöld egyenest, majd a kéket, végül a rózsaszínt. A rózsaszín párhuzamos lesz a két feketével.

(Nem vagyok benne biztos, hogy ez a legegyszerűbb szerkesztés, lehet, hogy egy egyenest meg lehet spórolni.)

Ha viszont nincs másik párhuzamos adva, csak egy fekete egyenes és egy pont, akkor csak egyenes vonalzóval szerintem nem lehet megszerkeszteni a rózsaszín párhuzamost. A 969. hozzászólást egyszerűen nem gondoltam át.

Előzmény: [972] rizsesz, 2008-01-04 08:57:56
[973] nadorp2008-01-04 09:20:01

Az a feladat is így kezdődik: "Adott egy trapéz,...", azaz nem csak egy egyenes és egy pont adott síkon,hanem egy párhuzamos egyenespár és egy pont. Jonas épp azt kérdezte [969], hogy Bubóka eredeti feladatában nincs-e más is megadva a ponton és az egyenesen kívül.

Előzmény: [972] rizsesz, 2008-01-04 08:57:56
[972] rizsesz2008-01-04 08:57:56

Jaja, bár nincsen ott a megoldásnál, de a 2001/2002 február B. 3527. is ezen alapult.

Előzmény: [971] Bubóka, 2008-01-04 08:23:54
[971] Bubóka2008-01-04 08:23:54

Elnézést lehet kérni, de lehet párhuzamost húzni vonalzóval!!!!!! Adott ponton át adott egyenesre, "trapéz feladat" segítségével! Én úgy gondolom, hogy azért mert valaki valamit nem tud az nem egyenlő azzal, hogy olyan nem létezik.

Nem tévedés volt a merőleges. Biztos hogy lehet, csak én nem jövök rá egyenlőre a menetére.

Előzmény: [970] jonas, 2008-01-03 22:17:18
[970] jonas2008-01-03 22:17:18

Párhuzamost csak vonalzóval szintén nem lehet. Elnézést.

Előzmény: [969] S.Ákos, 2008-01-03 21:21:58
[969] S.Ákos2008-01-03 21:21:58

Így hirtelen nem látom, hogy párhuzamost hogy lehetne csak vonalzóval szerkeszteni. Felvilágosítanál?

Bubóka: Az 5-szög szerkesztése meg abból következik, hogy az egységnyi sugarú körbe írt 10szög oldala \frac{\sqrt5-1}2. Ez pithagorasz-tétel segítségével meg könnyen szerkeszthető.

Előzmény: [968] jonas, 2008-01-03 19:31:17
[968] jonas2008-01-03 19:31:17

"Hogy kell pontból egyenesre merőlegest bocsátani CSAK vonalzóval?"

Nem párhuzamosra gondolsz véletlenül? Ha nem, akkor nincs valami más is adva? Mert így lehetetlen.

Előzmény: [967] Bubóka, 2008-01-03 18:22:34
[967] Bubóka2008-01-03 18:22:34

Üdv Mindenkinek! Segítségeteket szeretném kérni. Hogy kell pontból egyenesre merőlegest bocsátani CSAK vonalzóval? HA a menetét valaki leírná, nagyon megköszönném. Ja! És szabályos ötszöget szerkeszteni az aranymetszéssel...?

[966] BohnerGéza2008-01-02 22:51:56

129. feladat: Az ABCD négyszög nem trapéz. AB és CD az E-ben metszik egymást. Az ADE és BCE körülírt köre E-n kívül F-ben találkoznak. Bizonyítandó, hogy ABF és CDF hasonlóak!

[965] S.Ákos2007-12-31 15:13:16

Akkor az elemi megoldás (mik jutnak az ember eszébe hajnali fél három táján): Legyen BD felezőponja E. ekkor DEC\angle=2\alpha, mivel a E a DCB háromszögben a körülírható kör kp-a. De így CDE\angle=CAD\angle=2\alpha, így DCA egyenlőszárú, így \frac{AC}{DB}=\frac12 Legalábbis sztem ez bizonyos esetekben igaz. Ha DCA háromszögben az említett szögek külső szögek, akkor is igaz, hogy DCA egyenlőszárú.

Előzmény: [964] BohnerGéza, 2007-12-31 14:05:01
[964] BohnerGéza2007-12-31 14:05:01

A megkötés valóban nem kell, a kitűzők talán a 9-eseknek szóló feladatot "nehezítették", lehessen általánosítani. A korosztálytól nem feltétlenül trigonometriát használó megoldást vártak. Az elemi tetszett nekem jobban.

Előzmény: [963] SmallPotato, 2007-12-30 19:30:47
[963] SmallPotato2007-12-30 19:30:47

A megoldás szerintem is helyes. (Pontosabban: nekem is ez jött ki. :-) )

Két hozzáfűznivalóm lenne azért:

A feladat kifejezetten hegyesszögű háromszöget ír; Te nem ilyet rajzoltál, bár elsőre nekem sem tűnik lényeginek a megkötés. (Majd lehet, hogy engem is helyreigazítanak. :-D)

A másik: a jövőre nézve szerencsésebb lenne (mivel megszokott), ha a háromszög csúcsait az óramutató járásával ellentétes sorrendben betűznéd, és a szögeket ugyanezen sorrendben osztanád ki (az A csúcsban \alpha, a B csúcsban \beta stb.)

Azért merem ezt kérni, mert emlékszem első táblai geometria-szereplésemre a gimiből: nem szokványosan betűztem a háromszöget, és a padsorokból tömény húúúúúú jött ... :-)))

Előzmény: [962] S.Ákos, 2007-12-30 12:06:40
[962] S.Ákos2007-12-30 12:06:40

Legyen az egyszerűség kedvéért \overline{BC}=1 és 2CBA\angle=CAB\angle=2\alpha; valamint x:=\overline{AC} y:=\overline{BD}

A szinusztétel értelmében

\frac{2\cos\alpha\sin\alpha}1=\frac{\sin\alpha}{x}

Innét x=\frac 1{2\cos\alpha}. Mivel 3\alpha<180o, ezért BDC derékszögű hsz mindig létezik, így felírható: y=\frac{\overline{BC}}{\cos\alpha}=\frac{1}{\cos\alpha} így a keresett \frac xy arány \frac xy=\frac{\frac 1{2\cos\alpha}}{\frac{1}{\cos\alpha}}=\frac12 (Remélem nem néztem el semmit)

Előzmény: [961] BohnerGéza, 2007-12-30 01:01:09
[961] BohnerGéza2007-12-30 01:01:09

A komáromi Selye János Magyar Tannyelvű Gimnázium Cornides István Emlékversenyének ( 2007.12.07 ) egy szép feladatát ajánlom:

128. feladat: Az ABC hegyesszögű háromszögben az A-nál lévő szög a B-nél lévő kétszerese. A C-ben a BC-re állított merőleges AB-t D-ben metszi. Mennyi az AC / BD arány?

[960] BohnerGéza2007-12-15 14:51:59
Előzmény: [959] Cogito, 2007-12-14 17:02:50
[959] Cogito2007-12-14 17:02:50

Kedves HoA!

A feladatot pár napja én is megoldottam, csak az idő hiányzott, hogy letisztázva közölhető állapotba hozzam. Egyetértek azzal, hogy ez a kör a keresett mértani hely abban az esetben, ha a feladatot az ABC síkra szűkítjük. A részleteket most mellőzve nekem az jött ki, hogy a mértani helynek eleget tévő P pontokra teljesül, hogy

\vec{PC} \cdot \vec{PD}=0 (1)

, ahol a C pontnak O-ra való középpontos tükörképe D. Mint látható, itt (egyrészt) azon pontok halmazáról van szó, melyekből a CD szakasz derékszög alatt látszik. Ez pedig az a C és D pontok nélküli gömbfelület, amely az Általad kapott kör CD körüli megforgatásával áll elő. Itt is igaz (másrészt) hogy a C és D pont is a mértani helyhez tartozik, hiszen a P\equivC, vagy P\equivD esetben egy-egy nullvektor miatt teljesül (1). A levezetés itt is megfordítható, tehát a teljes gömbfelület a keresett mértani hely.

Ez az általános megoldás, hiszen a feladat szövege megengedi, hogy P-t térbeli pontnak tekintsük, a levezetés(ek) pedig ennek az értelmezésnek is eleget tesznek.

Előzmény: [958] HoA, 2007-12-14 08:26:03
[958] HoA2007-12-14 08:26:03

Hát ha senki... Legyen az AB szakasz felezőpontja O, \vec{OA} ={\bf t} , \vec{OC} = {\bf c} . Ekkor \vec{OB} ={\bf -t} , \vec{CA} = \vec{OA} - \vec{OC} = {\bf t-c} , \vec{CB} = \vec{OB} - \vec{OC} = {\bf -t-c} , \vec{CA} \cdot \vec{CB} = ( {\bf t-c} ) \cdot ( {\bf -t-c} ) = ({\bf c-t})\cdot ( {\bf c+t} ) = {\bf c^2 - t^2 } . Legyen \vec{OP} ={\bf p}. Ekkor az előzőhöz hasonlóan \vec{PA} \cdot \vec{PB} = {\bf p^2 - t^2 } A feltételi egyenlet szerint p2=c2, a keresett P pontok tehát az O körüli |c| sugarú körön helyezkednek el, és mivel a műveletek megfordíthatók, a kör minden pontja megfelel.

Előzmény: [957] BohnerGéza, 2007-12-09 23:40:09

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]