Fórum: Csak logika

Itt le van írva a feladat és egy megoldás is.

http://en.wikipedia.org/wiki/Three_Prisoners_problem

RE: Tehát a megmondás sorrendje változtatja a valószínűséget ebben az esetben. Erre már kétszer is tettem utalást feltételes módban, de erre ez ideig egyikőtök sem reagált. Okát nem tudom.

466 mintájára egy egyszerű példa arra, hogy a sorend nem mindegy. Legyen 3 otthoni és 3 munkahelyi fiók. Az A) esetben kinyitok egy M fiókot, üresnek találom. Ezután a kolléga is mutat egy üreset. Mennyi a valószínűség, hogy a harmadikban van a kulcs? A B) esetben a kolléga mutat egy üres fiókot, majd én nyitok ki egyet és üresnek találom. A kérdés ugyanaz.

A) esetben a kezdeti 1/6 valószínűségekből indulva a nyitásom után az [ otthon van / munkahelyen van ] valószínűségek aránya 3/2 -re változik, a valószínűségek tehát 3/5 és 2/5. Ha a kolléga mutat egy üres fiókot, a 2/5 valószínűség átszáll a maradékra, a válasz 2/5.

B) esetben a kezdeti 1/6 valószínűségekből indulva a kolléga mutatása után a benti 3/6 = 1/2 átszáll a maradék két fiókra, ezek tehát egyenként 1/4 valószínűséggel tartalmazzák a kulcsot. Ha az egyiket kinyitom és üres, az [ otthon van / munkahelyen van ] valószínűségek aránya 2/1, a válasz 1/3.

A sorrend azért nem mindegy, mert a kétféle információ ( véletlen nyitás kimenete / biztos eredményt adó nyitás ) nem egyformán alakítják a valószínűségeket és így a kérdések nem ugyanarra az eseménysorozatra vonatkoznak.

Tárgyi témával kapcsolatosan felmerült bennem pár kérdés. Van-e és milyen különbség a között, hogy a fióknyitogatásoknál

A) a kollégám már az elején az összes fiókot megnézte és ismerte az összes fiók tartalmi állapotát;

B) a kollégám már előtte más okból megnézett pár (a feladat szerint 3) fiókot, de nem az összeset és csak a keresés alatt nyilatkozott róla épp az adott példa sorrendjében;

C) a kolléga az én keresésem alatt nézte meg, de nem én, hanem ő döntötte el, hogy melyik fiókba nézzen bele?

Nyilvánvalóan az A) eset az eredeti MH féle esete.

Közben egy kicsit utánanézegettem a MH problémának, s két érdekes dologra leltem. Egyik a Bayes-tétel, melyet én nem matematikus képzettségű nem ismertem. Sok a szakirodalma, így e mentén lehet tanulmányozni a dolgot.

A másik Martin Gardner és az ő 1959-es feladata. Idézet a Wikiből:

---Az ezzel majdnem pontosan egyező, „három börtönlakó” problémát már 1959-ben publikálta Martin Gardner. Gardner leírása pontosabb, mert ezzel a változattal ellentétben nála nincsenek ki nem mondott feltételezések.---

De ennél lényegesen többet erről a változatról nem találtam, mindig csak utalnak rá. Legalábbis amit nekem a Google felhoz.

Ismeri valaki az eredeti problémát?

Erre a kérdésre már nincs "csak logika" típusú megoldás a tarsolyomban. A kulcsot persze itt is az adja, amit már korábban írtál - a valószínűség átcsoportosul a többi fiókra a bentiek közül (valószínűség arányosan), mikor a kolléga közöl, és az összes többire (valószínűség arányosan), mikor én nézek. Ennek tudatában végigszámolok itt neked egy egyszerűbb esetet: Kinyitok 3-at a kolléga közöl 3-at, majd megint kinyitok 2-t, és nem találom. Ekkor a keresett valószínűség: Eredetileg minden benti fiókban 1/18 eséllyel van. A három kinyitás után minden fiókban 1/15 az esély, az otthon esélye 9/15. Most a kolléga 3-ról közli, hogy nincs benne, ezek esélye a másik három bentire száll: bentiek esélye 2/15, otthon esélye 9/15. Most kinyitom a két bentit, így 2/11 marad a benti fiókra, és 9/11 otthonra. Még hosszabb ilyen számolással a te példád is megoldható.

Nekem már nagyon régen volt tananyag a kombinatorika és nem is sokszor alkalmaztam, ezért nincs benne rutinom. A képletes megoldással nem mindig látom át azonnal a feladatot. De más úton rájöttem, hogy valóban 4/13.

A 18 fióknézegetés előtt rendre 1/18; 1/17; ... a valószínűsége az éppen általam választott fiókban a kulcs ottlétének. A kollégám a 1/13 valószínűségi szintnél kezdte el mondani, hogy ebben a 3-ban nincs. Azaz a munkahelyen még meg nem nézett 4 fiókból 3-ról. Ezért az ezen fiókokra jutó valószínűség a 4. fiókra 'csoportosul át'. Azért csak erre, mert a kollégám az otthoni virtuális fiókokat nem választhatta.

Ugyanígy, ezen logikával is kijön a másik eset, mikor a kollégám az elején mondja meg a 3 üres fiókot. 9/(9-3)*1/18=1/12 a 4. fiók esetén a valószínűség. S mivel a fiókok valószínűségének egyformának kellene lennie, ezért az otthoni fiókoknál is nőnie kellene. Ez csak úgy lehetséges, ha a virtuális fiókok száma csökken addig, hogy az otthoni fiókokban is 1/12 legyen a valószínűség. (Számomra ezért lesz otthon is 6 virtuális fiók és nem azért, mint ahogy Micimackó mondta, hogy ráér akkor bevezetni. Ezen a dolgok felett nagyvonalúnak tűnő átsiklás más, nehezebb feladat esetén akár tévútra is vezethet észrevétlenül.)

Tehát a megmondás sorrendje változtatja a valószínűséget ebben az esetben. Erre már kétszer is tettem utalást feltételes módban, de erre ez ideig egyikőtök sem reagált. Okát nem tudom.

Így 3.-szor is kérdezem, hogy hogyan változik a következő próbálkozásom valószínűsége, akkor, ha kevert a próbálkozásom ill. a kollégám megmutatásának sorrendje.

A fenti felvázolt logikával elvileg ez is megoldható, habár babrás lesz. De kíváncsi vagyok a ti megoldásotokra is.

Mielőtt belemennénk abba, hogy itt "jövőbeli valószínűséget befolyásol-e egy megtörtént esemény sorrendje" , verjük le a cölöpöket: Egytértesz a feladat két változatának megoldásával ( 1/7 illetve 4/13 ) ?

Írod: --- Egyetértek Micimackóval:"Az hogy a kolléga a végén közli 3 fiókról, hogy üres, az irreleváns mert ezt mindig meg tudja tenni." Az utolsó állítás tehát el is hagyható. ---

De hát épp ebben az esetben hasonlít ez a példa a leginkább a MH esetre.

Ha sorrend miatt változik a valószínűség, akkor meg kellene ezt mutatni az összes lehetséges sorrend esetén is. Pl. 2-t megnézek, utána a kollégám 2-ről nyilatkozik, majd én megnézek 1-t, utána a kollégám nyilatkozik a 3.-ról és én újabb kettőben nem találom. Ekkor mennyi a valószínűsége?

(A kollégám hamarabb bement és az ő általa említett fiókokat már más miatt megnézte és nem lelte benne a kulcsot, de csak a példabeli sorrendben nyilatkozott erről. Nem én mondtam neki, hogy azt nézd meg és nem a megtekintés után válaszolta.)

Egy jövőbeli valószínűséget hogy befolyásolhat egy megtörtént esemény sorrendje? Ilyen alapon elvileg a lottónál is függne az eddigi húzások sorrendjétől a következő számhúzás esélye.

Azt hiszem itt nincs vita. Az eredeti kitűzésre mindenki,aki még bent maradt, egyetért az 1/7 -del. A feladat módosítása az , amit Micimackó [456] -ban felvet: "nem lényegtelen a sorrend (ha a kolléga nyilatkozik először 1/7 jön ki, míg ha a próbálkozás van először akkor 4/13)" .

Tehát az új feladat: "Keresem a kulcsom. Fele-fele valószínűséggel a munkahelyemen vagy otthon lehetséges. A munkahelyemen 9 fiók van, melyekben lehetséges. Én 5-t megnéztem és nem volt ott. A maradék 4-ből 3-ról a kollégám kijelentette, hogy ott nincs.Milyen valószínűséggel van a 9. fiókban a kulcs?"

Egyetértek Micimackóval:"Az hogy a kolléga a végén közli 3 fiókról, hogy üres, az irreleváns mert ezt mindig meg tudja tenni." Az utolsó állítás tehát el is hagyható.

Az eredeti feladatra leírtakat a szokásos valószínűségszámítási feladatok terminológiájával átfogalmazva: Az 5 üres fiók kihúzásának valószínűsége 100 % ha otthon van a kulcs [ 1/2 * 1 ] és 1/6 ha az irodában van a kulcs ( éppen azt a fiókot nem húzom ki, amelyikben van ) [ 1/2 * 1/6 = 1/12 ] , összesen 1/2 * 7/6 . Ebből az "irodában van a kulcs ha 5 üres fiókot húztam ki" valószínűsége (1/2 * 1/6) / (1/2 * 7/6) = 1/7.

Mindezt csak azért írtam le, mert ezzel a gondolatmenettel az új feladatra is igaz, hogy ha otthon van a kulcs, akkor 100%, hogy a munkahelyen kihúzott 5 fiókban nincs. Ha a munkahelyen van, akkor az "Én 5-t megnéztem és nem volt ott" valószínűsége = [ kulcsot nem tartalmazó 5 fiók lehetséges kiválasztásainak száma / 5 fiók lehetséges kiválasztásainak száma ] = / = / . Így a keresett feltételes valószínűség ( a munkahelyen van a kulcs, ha az 5 kihúzott fiókban nem volt ) =

HoA-nak volt korábban egy ilyen nyilatkozata is:

A kolléga információja : "mondok 3 fiókot, ami üres" , nem egyenértékű azzal, hogy "véletlenszerűen kihúztam 3 fiókot és egyikben sem volt"

De ezzel a fiókok nem tűnnek el, csak a rájuk eső valószínűségek 'átcsoportosulnak' a valószínűségi mező maradék elemeire. Jelen esetben a fennmaradó fiókra. S ez a lényeg. Ez a MH probléma kulcsa.

Na és mi a valószínűsége akkor, ha én megnézek 2-t, aztán 2-ről a kollégám nyilatkozik, majd én megnézek még 1-t, aztán a kollégám megint 1-t és én utána 2-t? Elvileg ennek megint eltérőnek kellene lennie a te logikád alapján.

Egyébként felhívom a figyelmedet arra, hogy HoA is 1/7-t ír.

:o)

A kulcs mondat Hoa következő hozzászólásában van: "Nem változik annak a valószínűsége, hogy otthon hagytam a kulcsot, hiszen a kolléga mindig tud mutatni 3 üres fiókot, akár otthon van a kulcs akár nem." Ezt észben tartva: a) (előbb a kolléga mond, aztán nyitok) A kolléga nyilatkozata után 1/2 az esélye hogy bent van és 6 fiókban lehet. Most képzelek el otthon 6 fiókot és megy az eddigi megoldás -> 1/7 b) (előbb nyitok, aztán nyilatkozik a kolléga) Az hogy a kolléga a végén közli 3 fiókról, hogy üres, az irreleváns mert ezt mindig meg tudja tenni. Tehát volt 9 fiók otthon és 9 fiók bent. Bent 5 fiókot kipróbáltam és nem volt benne. Maradt 4 fiók bent és 9 fiók otthon. A bent lét esélye így 4/13 Ha valami még mindig nem világos, írj bátran hogy melyik rész nem az :)

Még egy tipp - mert az előzmények után megoldást már nem merek mondani.

Remélem elfogadjátok [444]-es modellemet az otthoni 9 fiókos komóddal. Kezdetben mind a 18 fiókban 1/18 valószínűséggel van a kulcs - összhangban azzal, hogy otthon az otthoni fiókok valószínűségének összegével, 9/18 = 1/2 valószínűséggel van .

A három "megmondott" irodai fiók kiesése után szerintem sem változik annak a valószínűsége, hogy otthon hagytam a kulcsot, hiszen a kolléga mindig tud mutatni 3 üres fiókot, akár otthon van a kulcs akár nem. Változik viszont az egyes munkahelyi fiókokban a kulcs valószínűsége 1/18-ról 1/12-re.

Hogy ne kelljen törtekkel vesződni, mondjuk azt, hogy 36 egyforma valószínűségű esetből 2-2 -ben az otthoni O₁,O₂,...,O₉ fiókok valamelyikében ( 18 eset ) , 3-3 -ban a munkahelyi M₁,M₂,...,M₆ fiókok egyikében van a kulcs ( szintén 18 eset )

Mind a 36 fenti helyzethez tekintsük azt a 6 esetet, ahányféleképpen a 6 munkahelyi fiókból ötöt ki lehet választani ( = ahányféleképpen ki lehet választani azt az egyet, amelyiket NEM húzom ki ) . Így képezhetjük a [ kulcs helye ; ki nem húzott M fiók ] párokat. Ez 6 * 36 = 216 darab, egyforma valószínűségű páros. Ezek közül annál az 108 párosnál, ahol az első tag O fiók, mindig 5 üres munkahelyi fiókot találunk. Abból a 108 párosból, ahol mindkét tag M fiók, csak 18 esetben kapunk 5 üres fiókot : mind a 6 fiókra az a 3 pár jó, ahol a pár két tagja megegyezik, vagyis éppen azt a fiókot nem húzzuk ki, amelyikban a kulcs van. Tehát ha 5 üres fiókot húzunk ki, akkor a 108 + 18 = 126 egyforma valószínű eset egyike következett be. Ezek közül 18 esetben van az irodában a kulcs, a keresett valószínűség tehát 18/126 = 1/7.

Kérlek részletesen vezesd le és győzzél meg az igazadról!

Szerintem egy kicsit feleslegesen elbonyolítod ezzel. A virtuális fiókokat csak azután vezetjük be, miután a kizárt fiókokat töröltük. Az utolsó állításod meg egyszerűen hamis, nem lényegtelen a sorrend (ha a kolléga nyilatkozik először 1/7 jön ki, míg ha a próbálkozás van először akkor 4/13)

Nem teljesen így van. Mert ha azokat eleve kizárjuk, ha azt mondjuk róla, hogy nem is volt, amiről a kolléga nyilatkozott, akkor ezzel elvileg az otthoni 'virtuális' fiókjaink számának is csökkennie kellene. De azok nem csökkenhetnek azzal, hogy a munkahelyen a kolléga nyilatkozott pár a kulcsot nem tartalmazó fiókról. S az ügy szempontjából lényegtelen a vizsgálódás előtti fióknyitogatásom és kollégám megmondásának sorrendje.

Elég észrevenni, hogy mivel a kolléga megmondja, hogy úgysincs bennük, ezért olyan mintha nem is léteztek volna. Tehát ha alapból 1000000 fiók van, de abból 999994 alapból ki van zárva (mindent tudó kolléga elárulta), akkor ez olyan mintha csak 6 fiók lenne.

A Monty Hall wiki-oldalon idézett vos Savant-féle módosítással itt is segíteni lehet az intuíciónkat, ha az arányokat eltorzítjuk: legyen a munkahelyi fiókok száma kezdetben 1000000, és tegyük fel, hogy a kolléga 999994-ről nyilatkozott.

OK, a megoldás, mint Erdőst engem is egy szimuláció győzött meg. 10⁵ kisérletből 58518 olyan eset volt, amikor nem találtam meg 5 húzás után a kulcsot, és ezek közül 8442 estben az utolsó fiókban volt a kulcs. (Tapasztalati) valószínűség itt: .

"Fele-fele valószínűséggel a munkahelyemen vagy otthon lehetséges" Ez hol derül ki a módszeredből? A módosított feladatra, akkor a tippem, Monty-t követve marad valószínűség, hogy az egyik fiókban van, de mivel 6 fiók marad a kolléga kijelentése után, ezért lesz a valószínűsége, hogy az utolsóban van.

Igen. Akkor lesz olyan mintha azok a fiókok nem is lettek volna, és így jön ki az 1/7.

Szerintem ha "az MH probléma rejtezik benne", akkor arról van szó, hogy a kolléga mondott 3 fiókot, ahol BIZTOSAN nincs a kulcs. Lehet, hogy egy másikban megtalálta. Az állítás csak arról szól, hogy ebben a háromban nincs.

Tehát akkor úgy kell érteni, hogy az a 3 fiók, mintha nem is lett volna. És akkor marad az eddigi okoskodás 6 fiókkal, így 1/7 a megoldás. Bár szerintem ez elég matematikus megoldás, az 1/10 természetesebb (ha a kollégám azt mondja, hogy abban a háromban nincs, akkor inkább arra gondolok, hogy megnézte azt a hármat és nem találtam, mint arra hogy mindent megnézett és csak ennyit árul el nekem).

Tetszik. És akkor ez - legalábbis számomra - egy új megközelítés az MH probléma megoldásának magyarázatára. A kolléga információja : "mondok 3 fiókot, ami üres" , nem egyenértékű azzal, hogy "véletlenszerűen kihúztam 3 fiókot és egyikben sem volt" .

Akkor talán úgy kellene átfogalmazni, hogy a két legközelebbiből az egyiket. S talán azt is ki kellene kötni, hogy legalább 4 bolygó létezik.