Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Csak logika

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[478] HoA2012-12-19 14:40:00

Igazad van, én [472] A) és B) esete közti eltérés hatását akrtam bemutatni, nem volt szerencsés az általatok másra alkalmazott "tudatosan" és "véletlenszerűen" szavak használata. Vastagbetűs szövegrészleteim tehát helyesen:

"akár én, akár a játékvezető találomra kinyitja a másik kettő egyikét" , illetve "Ha a játékvezető tudva az autó helyét megmutat..."

Előzmény: [476] Micimackó, 2012-12-19 13:13:52
[477] Micimackó2012-12-19 13:16:36

"A kollégám tudásának mikéntje az A és B esetben kellően meg lett határozva" - Továbbra sem értek egyet azzal, hogy ez a B esetben így lenne. Pontosan meg lett határozva mit tud, de az nem hogy honnan tudja. És mint korábban láttuk, ez közel sem mindegy (lásd pl Hoa legutóbbi példáját)

Előzmény: [474] Hajba Károly, 2012-12-19 09:59:06
[476] Micimackó2012-12-19 13:13:52

Ez persze mind igaz amit írsz, csak mi másra használtuk a "tudatosan" és "véletlenszerűen" szavakat. Mindkettő az általad írt első esetbe esett, ezért is jutottunk arra, hogy nincs köztük különbség :)

Előzmény: [475] HoA, 2012-12-19 11:18:06
[475] HoA2012-12-19 11:18:06

RE: "A esetben tudja a kulcs helyét és ez nem a 3 fiók, míg a B esetben nem tudja, de ebből következik, hogy nem a 3 fiók egyike. Ez a különbség mi módon befolyásolja az én következő döntésem valószínűségét?"

Azt hiszem, az előzmények után a legkönnyebb a dolgot a HM problémabeli helyzettel magyarázni. Ha 3 ajtó ( A1,A2,A3 ) közül az egyik mögött van egy autó , én A1-re tippelek, majd akár én, akár a játékvezető véletlenszerűen kinyitja a másik kettő egyikét és azt üresnek találjuk, annak valószínűsége, hogy az autó A1 mögött van, 1/2 lesz. ( És persze a másik zárt ajtóé is 1/2 ). Ha a játékvezető tudatosan megmutat egy üres ajtót a másik kettő közül, annak valószínűsége, hogy az autó A1 mögött van, 1/3 lesz ( És persze a másik zárt ajtóé 2/3 ).

Magyarázat: mások a lehetséges kimenetek. Az első változatnál az egyforma valószínűségű esetek

Autó helye kinyitott ajtó kimenet
A1 A2 üres
A1 A3 üres
A2 A2 talált
A2 A3 üres
A3 A2 üres
A3 A3 talált

Vagyis ha a kinyitott ajtó üres ( 4 eset ) , akkor 50 - 50 % annak a valószínűsége ( 2 - 2 eset ) , hogy az autó A1 -ben illetve a másik zárt ajtó mögött van.

A második ( ez az igazi HM probléma ) változatnál tegyük fel, hogy a játékvezető az ajtónyitás előtt feldob egy érmét, és ha teheti, akkor fejnél A2 -t, írásnál A3 -t nyitja ki ( Mint tudjuk, nem mindig választhat ). Az egyforma valószínű esetek tehát:

Autó helye érme kinyitott ajtó
A1 fej A2
A1 írás A3
A2 fej A3
A2 írás A3
A3 fej A2
A3 írás A2

Vagyis az esetek 1/3-ában ( 2 eset ) az autó A1 mögött van, 2/3-ában ( 4 eset ) a másik zárt ajtó mögött.

Előzmény: [474] Hajba Károly, 2012-12-19 09:59:06
[474] Hajba Károly2012-12-19 09:59:06

Írod: "Tudatos próbálkozás alatt továbbra sem értem mit értesz (matematikai szempontból): ha van 9 teljesen egyforma fiókod, és ki kell egyet nyitnod, akkor azt szerintem nem tudod kétféle (lényegileg különböző) módon megtenni."

Én is így látom, de a te "random" megjelölésedre reagáltam így. Nem értettem vagy csak félre, hogy ezt miért emelted ki. De most már így tiszta. eddig is úgy gondoltam, hogy minden próbálkozás véletlenszerű.

A kollégám tudásának mikéntje az A és B esetben kellően meg lett határozva. Én arra lennék kíváncsi, hogy ezek mennyiben befolyásolják a következő döntésem találati valószínűségét? A kollégám tudásánál az a különbség, hogy A esetben tudja a kulcs helyét és ez nem a 3 fiók, míg a B esetben nem tudja, de ebből következik, hogy nem a 3 fiók egyike. Ez a különbség mi módon befolyásolja az én következő döntésem valószínűségét?

Előzmény: [473] Micimackó, 2012-12-18 22:58:34
[473] Micimackó2012-12-18 22:58:34

Az A) esetben lesz ilyen HM probléma szerű a helyzet, amiről egész eddig beszéltünk. A B) eset nincs elég pontosan definiálva. Minden azon múlik, hogy honnan tudja a kolléga (egész pontosan attól, hogy amikor az információt szerezte milyen lehetséges kimenetelek voltak (eddig két féle esetről beszéltünk: megtud 3 fiókot amiben nincs; három fiókról megtudja hogy benne van-e).

Tudatos próbálkozás alatt továbbra sem értem mit értesz (matematikai szempontból): ha van 9 teljesen egyforma fiókod, és ki kell egyet nyitnod, akkor azt szerintem nem tudod kétféle (lényegileg különböző) módon megtenni.

---

"Az fel sem merült, hogy egy már megnézett fiókról újra nyilatkozna is bárki." Sejtettem, hogy ez a helyzet, csak zárójelben megjegyeztem a biztonság kedvéért.

Előzmény: [472] Hajba Károly, 2012-12-18 20:34:39
[472] Hajba Károly2012-12-18 20:34:39

Mi a különbség az alábbi két eset között?

A) A kolléga ismeri a kulcs helyét, de csak 3 üresről nyilatkozik;

B) A kolléga csak 3 hely ürességét ismeri és erről nyilatkozik.

Illetve mi a különbség a véletlenszerű és tudatos próbálkozás között? Mindkettőt én teszem.

---

Az fel sem merült, hogy egy már megnézett fiókról újra nyilatkozna is bárki.

Előzmény: [471] Micimackó, 2012-12-18 16:34:43
[471] Micimackó2012-12-18 16:34:43

Egész eddig az A) esetről beszéltünk (ami az eredeti szövegezésben nem túl természetes nekem, de később tisztáztad hogy erre gondolsz). Az említett B) és C) eset természetesen ugyanaz, mintha te magad nyitnál ki akkor 3 random fiókot (illetve ha a B-nél esetleg olyanról nyilatkozik, amit te már megnéztél, akkor az különbség lehet, de egész más jellegűt)

Előzmény: [468] Hajba Károly, 2012-12-18 13:48:29
[470] HoA2012-12-18 16:19:44

Itt le van írva a feladat és egy megoldás is.

http://en.wikipedia.org/wiki/Three_Prisoners_problem

Előzmény: [467] Hajba Károly, 2012-12-18 13:36:44
[469] HoA2012-12-18 16:13:26

RE: Tehát a megmondás sorrendje változtatja a valószínűséget ebben az esetben. Erre már kétszer is tettem utalást feltételes módban, de erre ez ideig egyikőtök sem reagált. Okát nem tudom.

466 mintájára egy egyszerű példa arra, hogy a sorend nem mindegy. Legyen 3 otthoni és 3 munkahelyi fiók. Az A) esetben kinyitok egy M fiókot, üresnek találom. Ezután a kolléga is mutat egy üreset. Mennyi a valószínűség, hogy a harmadikban van a kulcs? A B) esetben a kolléga mutat egy üres fiókot, majd én nyitok ki egyet és üresnek találom. A kérdés ugyanaz.

A) esetben a kezdeti 1/6 valószínűségekből indulva a nyitásom után az [ otthon van / munkahelyen van ] valószínűségek aránya 3/2 -re változik, a valószínűségek tehát 3/5 és 2/5. Ha a kolléga mutat egy üres fiókot, a 2/5 valószínűség átszáll a maradékra, a válasz 2/5.

B) esetben a kezdeti 1/6 valószínűségekből indulva a kolléga mutatása után a benti 3/6 = 1/2 átszáll a maradék két fiókra, ezek tehát egyenként 1/4 valószínűséggel tartalmazzák a kulcsot. Ha az egyiket kinyitom és üres, az [ otthon van / munkahelyen van ] valószínűségek aránya 2/1, a válasz 1/3.

A sorrend azért nem mindegy, mert a kétféle információ ( véletlen nyitás kimenete / biztos eredményt adó nyitás ) nem egyformán alakítják a valószínűségeket és így a kérdések nem ugyanarra az eseménysorozatra vonatkoznak.

Előzmény: [465] Hajba Károly, 2012-12-18 08:54:10
[468] Hajba Károly2012-12-18 13:48:29

Tárgyi témával kapcsolatosan felmerült bennem pár kérdés. Van-e és milyen különbség a között, hogy a fióknyitogatásoknál

A) a kollégám már az elején az összes fiókot megnézte és ismerte az összes fiók tartalmi állapotát;

B) a kollégám már előtte más okból megnézett pár (a feladat szerint 3) fiókot, de nem az összeset és csak a keresés alatt nyilatkozott róla épp az adott példa sorrendjében;

C) a kolléga az én keresésem alatt nézte meg, de nem én, hanem ő döntötte el, hogy melyik fiókba nézzen bele?

Nyilvánvalóan az A) eset az eredeti MH féle esete.

[467] Hajba Károly2012-12-18 13:36:44

Közben egy kicsit utánanézegettem a MH problémának, s két érdekes dologra leltem. Egyik a Bayes-tétel, melyet én nem matematikus képzettségű nem ismertem. Sok a szakirodalma, így e mentén lehet tanulmányozni a dolgot.

A másik Martin Gardner és az ő 1959-es feladata. Idézet a Wikiből:

---Az ezzel majdnem pontosan egyező, „három börtönlakó” problémát már 1959-ben publikálta Martin Gardner. Gardner leírása pontosabb, mert ezzel a változattal ellentétben nála nincsenek ki nem mondott feltételezések.---

De ennél lényegesen többet erről a változatról nem találtam, mindig csak utalnak rá. Legalábbis amit nekem a Google felhoz.

Ismeri valaki az eredeti problémát?

[466] Micimackó2012-12-18 12:54:37

Erre a kérdésre már nincs "csak logika" típusú megoldás a tarsolyomban. A kulcsot persze itt is az adja, amit már korábban írtál - a valószínűség átcsoportosul a többi fiókra a bentiek közül (valószínűség arányosan), mikor a kolléga közöl, és az összes többire (valószínűség arányosan), mikor én nézek. Ennek tudatában végigszámolok itt neked egy egyszerűbb esetet: Kinyitok 3-at a kolléga közöl 3-at, majd megint kinyitok 2-t, és nem találom. Ekkor a keresett valószínűség: Eredetileg minden benti fiókban 1/18 eséllyel van. A három kinyitás után minden fiókban 1/15 az esély, az otthon esélye 9/15. Most a kolléga 3-ról közli, hogy nincs benne, ezek esélye a másik három bentire száll: bentiek esélye 2/15, otthon esélye 9/15. Most kinyitom a két bentit, így 2/11 marad a benti fiókra, és 9/11 otthonra. Még hosszabb ilyen számolással a te példád is megoldható.

Előzmény: [465] Hajba Károly, 2012-12-18 08:54:10
[465] Hajba Károly2012-12-18 08:54:10

Nekem már nagyon régen volt tananyag a kombinatorika és nem is sokszor alkalmaztam, ezért nincs benne rutinom. A képletes megoldással nem mindig látom át azonnal a feladatot. De más úton rájöttem, hogy valóban 4/13.

A 18 fióknézegetés előtt rendre 1/18; 1/17; ... a valószínűsége az éppen általam választott fiókban a kulcs ottlétének. A kollégám a 1/13 valószínűségi szintnél kezdte el mondani, hogy ebben a 3-ban nincs. Azaz a munkahelyen még meg nem nézett 4 fiókból 3-ról. Ezért az ezen fiókokra jutó valószínűség a 4. fiókra 'csoportosul át'. Azért csak erre, mert a kollégám az otthoni virtuális fiókokat nem választhatta.

Ugyanígy, ezen logikával is kijön a másik eset, mikor a kollégám az elején mondja meg a 3 üres fiókot. 9/(9-3)*1/18=1/12 a 4. fiók esetén a valószínűség. S mivel a fiókok valószínűségének egyformának kellene lennie, ezért az otthoni fiókoknál is nőnie kellene. Ez csak úgy lehetséges, ha a virtuális fiókok száma csökken addig, hogy az otthoni fiókokban is 1/12 legyen a valószínűség. (Számomra ezért lesz otthon is 6 virtuális fiók és nem azért, mint ahogy Micimackó mondta, hogy ráér akkor bevezetni. Ezen a dolgok felett nagyvonalúnak tűnő átsiklás más, nehezebb feladat esetén akár tévútra is vezethet észrevétlenül.)

Tehát a megmondás sorrendje változtatja a valószínűséget ebben az esetben. Erre már kétszer is tettem utalást feltételes módban, de erre ez ideig egyikőtök sem reagált. Okát nem tudom.

Így 3.-szor is kérdezem, hogy hogyan változik a következő próbálkozásom valószínűsége, akkor, ha kevert a próbálkozásom ill. a kollégám megmutatásának sorrendje.

A fenti felvázolt logikával elvileg ez is megoldható, habár babrás lesz. De kíváncsi vagyok a ti megoldásotokra is.

Előzmény: [464] HoA, 2012-12-17 10:10:58
[464] HoA2012-12-17 10:10:58

Mielőtt belemennénk abba, hogy itt "jövőbeli valószínűséget befolyásol-e egy megtörtént esemény sorrendje" , verjük le a cölöpöket: Egytértesz a feladat két változatának megoldásával ( 1/7 illetve 4/13 ) ?

Előzmény: [463] Hajba Károly, 2012-12-17 01:12:22
[463] Hajba Károly2012-12-17 01:12:22

Írod: --- Egyetértek Micimackóval:"Az hogy a kolléga a végén közli 3 fiókról, hogy üres, az irreleváns mert ezt mindig meg tudja tenni." Az utolsó állítás tehát el is hagyható. ---

De hát épp ebben az esetben hasonlít ez a példa a leginkább a MH esetre.

Ha sorrend miatt változik a valószínűség, akkor meg kellene ezt mutatni az összes lehetséges sorrend esetén is. Pl. 2-t megnézek, utána a kollégám 2-ről nyilatkozik, majd én megnézek 1-t, utána a kollégám nyilatkozik a 3.-ról és én újabb kettőben nem találom. Ekkor mennyi a valószínűsége?

(A kollégám hamarabb bement és az ő általa említett fiókokat már más miatt megnézte és nem lelte benne a kulcsot, de csak a példabeli sorrendben nyilatkozott erről. Nem én mondtam neki, hogy azt nézd meg és nem a megtekintés után válaszolta.)

Egy jövőbeli valószínűséget hogy befolyásolhat egy megtörtént esemény sorrendje? Ilyen alapon elvileg a lottónál is függne az eddigi húzások sorrendjétől a következő számhúzás esélye.

Előzmény: [462] HoA, 2012-12-16 19:43:46
[462] HoA2012-12-16 19:43:46

Azt hiszem itt nincs vita. Az eredeti kitűzésre mindenki,aki még bent maradt, egyetért az 1/7 -del. A feladat módosítása az , amit Micimackó [456] -ban felvet: "nem lényegtelen a sorrend (ha a kolléga nyilatkozik először 1/7 jön ki, míg ha a próbálkozás van először akkor 4/13)" .

Tehát az új feladat: "Keresem a kulcsom. Fele-fele valószínűséggel a munkahelyemen vagy otthon lehetséges. A munkahelyemen 9 fiók van, melyekben lehetséges. Én 5-t megnéztem és nem volt ott. A maradék 4-ből 3-ról a kollégám kijelentette, hogy ott nincs.Milyen valószínűséggel van a 9. fiókban a kulcs?"

Egyetértek Micimackóval:"Az hogy a kolléga a végén közli 3 fiókról, hogy üres, az irreleváns mert ezt mindig meg tudja tenni." Az utolsó állítás tehát el is hagyható.

Az eredeti feladatra leírtakat a szokásos valószínűségszámítási feladatok terminológiájával átfogalmazva: Az 5 üres fiók kihúzásának valószínűsége 100 % ha otthon van a kulcs [ 1/2 * 1 ] és 1/6 ha az irodában van a kulcs ( éppen azt a fiókot nem húzom ki, amelyikben van ) [ 1/2 * 1/6 = 1/12 ] , összesen 1/2 * 7/6 . Ebből az "irodában van a kulcs ha 5 üres fiókot húztam ki" valószínűsége (1/2 * 1/6) / (1/2 * 7/6) = 1/7.

Mindezt csak azért írtam le, mert ezzel a gondolatmenettel az új feladatra is igaz, hogy ha otthon van a kulcs, akkor 100%, hogy a munkahelyen kihúzott 5 fiókban nincs. Ha a munkahelyen van, akkor az "Én 5-t megnéztem és nem volt ott" valószínűsége = [ kulcsot nem tartalmazó 5 fiók lehetséges kiválasztásainak száma / 5 fiók lehetséges kiválasztásainak száma ] = \binom {8} {5} / \binom {9} {5} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot  5 \cdot 4 }{1 \cdot  2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} / \frac{ 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot  2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac 4 9 . Így a keresett feltételes valószínűség ( a munkahelyen van a kulcs, ha az 5 kihúzott fiókban nem volt ) = \frac {1/2 * 4/9}{1/2 * 1 + 1/2 * 4/9} = \frac 4 {13}

Előzmény: [460] Hajba Károly, 2012-12-16 17:35:04
[461] Hajba Károly2012-12-16 17:55:22

HoA-nak volt korábban egy ilyen nyilatkozata is:

A kolléga információja : "mondok 3 fiókot, ami üres" , nem egyenértékű azzal, hogy "véletlenszerűen kihúztam 3 fiókot és egyikben sem volt"

De ezzel a fiókok nem tűnnek el, csak a rájuk eső valószínűségek 'átcsoportosulnak' a valószínűségi mező maradék elemeire. Jelen esetben a fennmaradó fiókra. S ez a lényeg. Ez a MH probléma kulcsa.

Előzmény: [459] Micimackó, 2012-12-15 17:31:32
[460] Hajba Károly2012-12-16 17:35:04

Na és mi a valószínűsége akkor, ha én megnézek 2-t, aztán 2-ről a kollégám nyilatkozik, majd én megnézek még 1-t, aztán a kollégám megint 1-t és én utána 2-t? Elvileg ennek megint eltérőnek kellene lennie a te logikád alapján.

Egyébként felhívom a figyelmedet arra, hogy HoA is 1/7-t ír.

:o)

Előzmény: [459] Micimackó, 2012-12-15 17:31:32
[459] Micimackó2012-12-15 17:31:32

A kulcs mondat Hoa következő hozzászólásában van: "Nem változik annak a valószínűsége, hogy otthon hagytam a kulcsot, hiszen a kolléga mindig tud mutatni 3 üres fiókot, akár otthon van a kulcs akár nem." Ezt észben tartva: a) (előbb a kolléga mond, aztán nyitok) A kolléga nyilatkozata után 1/2 az esélye hogy bent van és 6 fiókban lehet. Most képzelek el otthon 6 fiókot és megy az eddigi megoldás -> 1/7 b) (előbb nyitok, aztán nyilatkozik a kolléga) Az hogy a kolléga a végén közli 3 fiókról, hogy üres, az irreleváns mert ezt mindig meg tudja tenni. Tehát volt 9 fiók otthon és 9 fiók bent. Bent 5 fiókot kipróbáltam és nem volt benne. Maradt 4 fiók bent és 9 fiók otthon. A bent lét esélye így 4/13 Ha valami még mindig nem világos, írj bátran hogy melyik rész nem az :)

Előzmény: [457] Hajba Károly, 2012-12-14 22:35:29
[458] HoA2012-12-14 22:59:57

Még egy tipp - mert az előzmények után megoldást már nem merek mondani.

Remélem elfogadjátok [444]-es modellemet az otthoni 9 fiókos komóddal. Kezdetben mind a 18 fiókban 1/18 valószínűséggel van a kulcs - összhangban azzal, hogy otthon az otthoni fiókok valószínűségének összegével, 9/18 = 1/2 valószínűséggel van .

A három "megmondott" irodai fiók kiesése után szerintem sem változik annak a valószínűsége, hogy otthon hagytam a kulcsot, hiszen a kolléga mindig tud mutatni 3 üres fiókot, akár otthon van a kulcs akár nem. Változik viszont az egyes munkahelyi fiókokban a kulcs valószínűsége 1/18-ról 1/12-re.

Hogy ne kelljen törtekkel vesződni, mondjuk azt, hogy 36 egyforma valószínűségű esetből 2-2 -ben az otthoni O1,O2,...,O9 fiókok valamelyikében ( 18 eset ) , 3-3 -ban a munkahelyi M1,M2,...,M6 fiókok egyikében van a kulcs ( szintén 18 eset )

Mind a 36 fenti helyzethez tekintsük azt a 6 esetet, ahányféleképpen a 6 munkahelyi fiókból ötöt ki lehet választani ( = ahányféleképpen ki lehet választani azt az egyet, amelyiket NEM húzom ki ) . Így képezhetjük a [ kulcs helye ; ki nem húzott M fiók ] párokat. Ez 6 * 36 = 216 darab, egyforma valószínűségű páros. Ezek közül annál az 108 párosnál, ahol az első tag O fiók, mindig 5 üres munkahelyi fiókot találunk. Abból a 108 párosból, ahol mindkét tag M fiók, csak 18 esetben kapunk 5 üres fiókot : mind a 6 fiókra az a 3 pár jó, ahol a pár két tagja megegyezik, vagyis éppen azt a fiókot nem húzzuk ki, amelyikban a kulcs van. Tehát ha 5 üres fiókot húzunk ki, akkor a 108 + 18 = 126 egyforma valószínű eset egyike következett be. Ezek közül 18 esetben van az irodában a kulcs, a keresett valószínűség tehát 18/126 = 1/7.

[457] Hajba Károly2012-12-14 22:35:29

Kérlek részletesen vezesd le és győzzél meg az igazadról!

Előzmény: [456] Micimackó, 2012-12-14 17:10:53
[456] Micimackó2012-12-14 17:10:53

Szerintem egy kicsit feleslegesen elbonyolítod ezzel. A virtuális fiókokat csak azután vezetjük be, miután a kizárt fiókokat töröltük. Az utolsó állításod meg egyszerűen hamis, nem lényegtelen a sorrend (ha a kolléga nyilatkozik először 1/7 jön ki, míg ha a próbálkozás van először akkor 4/13)

Előzmény: [455] Hajba Károly, 2012-12-10 18:52:16
[455] Hajba Károly2012-12-10 18:52:16

Nem teljesen így van. Mert ha azokat eleve kizárjuk, ha azt mondjuk róla, hogy nem is volt, amiről a kolléga nyilatkozott, akkor ezzel elvileg az otthoni 'virtuális' fiókjaink számának is csökkennie kellene. De azok nem csökkenhetnek azzal, hogy a munkahelyen a kolléga nyilatkozott pár a kulcsot nem tartalmazó fiókról. S az ügy szempontjából lényegtelen a vizsgálódás előtti fióknyitogatásom és kollégám megmondásának sorrendje.

Előzmény: [454] Micimackó, 2012-12-10 10:46:09
[454] Micimackó2012-12-10 10:46:09

Elég észrevenni, hogy mivel a kolléga megmondja, hogy úgysincs bennük, ezért olyan mintha nem is léteztek volna. Tehát ha alapból 1000000 fiók van, de abból 999994 alapból ki van zárva (mindent tudó kolléga elárulta), akkor ez olyan mintha csak 6 fiók lenne.

Előzmény: [453] Lóczi Lajos, 2012-12-10 09:06:19

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]