Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Csak logika

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[500] Gézoo2013-01-10 12:47:24

Persze az sem teljesen világos, hogy a boríték tartalma

hogyan hat a valószínűségre, ha egyszer az egyik az "belül" a másik "kívül" van?

Mert ugye ha a boríték vastagságát megváltoztatná a tartalma, akkor érthető lenne.

Vagy ha véges pénzből "osztozna" a két boríték, akkor az egyikben lévő összeg hiányával lenne kevesebb az összesnél a másik boríték tartalma.

De úgy, hogy ezek független változók, jó lenne ha kapnék magyarázatot erre a kérdésre.

Előzmény: [498] Fálesz Mihály, 2013-01-10 11:20:21
[499] Gézoo2013-01-10 12:26:17

Ez dicséretesen személetes!

Már csak az a kérdésem, hogy a "másik" és az "egyik" boríték azonosítása hogyan történik?

Mert ugye mindkét boríték szempontjából ő maga az egyik és a másik a másik.

Előzmény: [498] Fálesz Mihály, 2013-01-10 11:20:21
[498] Fálesz Mihály2013-01-10 11:20:21

A történet korábban kezdődik. Aki a borítékokat előkészíti, választ valahogy a lehetséges (x,2x) párok közül. Az egyszerűség kedvéért legyen csak megszámlálható sok lehetséges x, és jeljöljük P(x)-szel az (x,2x) pár valószínűségét.

Az eloszlást nem ismerjük. (NB, a P(x) értékek között mindenképpen vannak különbözők: van végtelen sok nemnegatív számunk, amiknek az összege 1.)

Ha az egyik boritékban x pénz van, akkor \frac{P(x)}{P(x)+P(x/2)} feltételes valószínűséggel 2x, és \frac{P(x/2)}{P(x)+P(x/2)} feltételes valószínűséggel x/2 van a másik borítékban.

Ha a másik borítékot választjuk, akkor a várható nyereményünk \frac{P(x)}{P(x)+P(x/2)}\cdot 2x+\frac{P(x/2)}{P(x)+P(x/2)}\cdot x/2. Ezt az értéket kell összehasonlítanuk a biztos x-szel, mégpedig P(x/2) és P(x) ismerete nélkül:


\frac{P(x)}{P(x)+P(x/2)}\cdot 2x+\frac{P(x/2)}{P(x)+P(x/2)}\cdot x/2 > x 
~<==>~ 2P(x)>P(x/2).

[497] Maga Péter2013-01-10 11:04:51

,,És a magyarázat szerint nagyobb volt az esély a változtatással.'' És tényleg!

Előzmény: [496] Gézoo, 2013-01-10 10:29:37
[496] Gézoo2013-01-10 10:29:37

Ez a borítékos példa a klasszikus három színpados TV show tovább csökkentett változata.

Ott az volt az "alapelv", hogy az első választással 1/3 esély volt a győzelemre, de ezek után a műsorvezető kinyitotta az egyik vesztes függönyt, ezzel a választott színpad esélyei megváltoztak. És a magyarázat szerint nagyobb volt az esély a változtatással.

Ami persze hamis felvetés, mert újra kezdés és nem folytatás .. vagyis továbbra is 50-50

Pont úgy mint a lottóban. Hiába jelölünk ki egy számot és gondoljuk, hogy a maradék számok esélyei növekednek, mert kevesebb számból kevesebb variáció lehetséges. Az esélyek minden húzásnál újra "generálódnak".

Előzmény: [494] Gézoo, 2013-01-09 18:32:42
[495] HoA2013-01-10 10:15:11

Továbbra is állítom: Ott a hiba, hogy "csak elképzeled 'x' van benne. A másikban 2x, vagy x/2 van".

Valójában: Csak elképzeled, hogy az egyikben x, a másikban 2x van. Ha elsőre az x-et tartalmazót választottad, akkor a másikban 2x van és fordítva.

Előzmény: [490] Bátki Zsolt, 2013-01-09 17:18:49
[494] Gézoo2013-01-09 18:32:42

Pontosabban nem így additívek. Az első választás 0,5 értékkel, a második pedig 0,25 értékkel számolandó.

0,5*0,5 + 0,25*2 = 0,25+0,5=0,75 azaz nem érdemes kicserélni.

Előzmény: [493] Gézoo, 2013-01-09 18:29:11
[493] Gézoo2013-01-09 18:29:11

Csak ott a hiba, hogy a valószínűségek nem additívek.

Előzmény: [492] Erben Péter, 2013-01-09 18:15:02
[492] Erben Péter2013-01-09 18:15:02

Az alábbi linken letölthető prezentáció elég alaposan körbejárja a "Két boríték paradoxont": https://docs.google.com/open?id=0B-8rMt8CMlqfaVljYUdCQnRTWnM

(Letölteni érdemes, hogy az animációk is menjenek.)

Némi információ a Wikipédia magyar nyelvű oldalán is fellelhető, "Kétborítékos paradoxon" címmel.

Előzmény: [490] Bátki Zsolt, 2013-01-09 17:18:49
[490] Bátki Zsolt2013-01-09 17:18:49

Pontosítva még egyszer: Van 2 boríték. Egyikben kétszer annyi pénz van, mint a másikban. Amelyiket választod az a Tiéd. Az egyiket választod. Ki se nyitod, csak elképzeled 'x' van benne. A másikban 2x, vagy x/2 van. Érdemes-e a másikat választani ? Ugyanis abban a várható érték: (2x+x/2)/2=1.25x van.

[491] Bátki Zsolt2013-01-09 17:18:49

Pontosítva még egyszer: Van 2 boríték. Egyikben kétszer annyi pénz van, mint a másikban. Amelyiket választod az a Tiéd. Az egyiket választod. Ki se nyitod, csak elképzeled 'x' van benne. A másikban 2x, vagy x/2 van. Érdemes-e a másikat választani ? Ugyanis abban a várható érték: (2x+x/2)/2=1.25x van.

[489] HoA2013-01-07 09:56:26

Még mindíg nem teljes a szöveg, de azt hiszem értjük, mire gondolsz: Ha B-ben van a kétszeres pénz , akkor a cserével nyerek 100 forintot. Ha A-ban van a kétszeres pénz, akkor a cserével vesztek 50 forintot. A kapott pénz várható értéke a cserénél 0.5 x 200 + 0.5 x 50 = 125 Ft az A-ban lévő 100 forinttal szemben.

A hiba ott van, hogy "Választod pl. 'A'-t (q=100 Ft van benne)" . Ugyanis ha számpéldát veszünk, akkor vagy 100 és 50 forint van a borítékokban, vagy 200 és 100, stb. Bármelyik példát véve - én most a másodikat veszem - ha A-ban 100 forint van, a cserével nyerek 100 forintot, ha A-ban 200 forint van, a cserével vesztek 100 forintot.

Előzmény: [488] Bátki Zsolt, 2013-01-05 00:24:11
[488] Bátki Zsolt2013-01-05 00:24:11

Úgy nézem lemaradt a lényeg.

Tehát az egyik választása után a másik 1.25-ször jobb.

Mi itt a logikai bukfenc.

[487] Bátki Zsolt2013-01-05 00:15:34

Új vagyok. Nem tudom volt-e ez?

Van két boríték. Egyikben kétszer annyi pénz van, mint a másikban. Melyiket választod ? Nyilván vagy 'A'-t, vagy 'B'-t.

Választod pl. 'A'-t (q=100 Ft van benne). Azt mondom meggondolhatod magad, választhatod a 'B'-t. A gondolatmenet: a 'B'-ben 50-50

Tehát bármit választasz, érdemesebb e másikat !?

[486] Hajba Károly2012-12-28 17:14:08

Ha jól tudom, akkor egy olyan profi show-műsorban, mint az amerikai MH show, egy csinos segéd rosszkori visongása akár az állásába is kerülhet. Így ő biztosan nem visong. Sőt az élő műsor előtt többször el is lett próbálva minden jelenet, nem csak ez. Bármi történik is, nem éri váratlanul.

Így nem marad más hátra, mint a MH hatás.

---

A hátralévő pár napot mindenki használja ki pihenésre, melózni és görcsölni ráérünk majd jövőre. Lesz belőle bőven, unni is fogjuk.

Addig is mindenkinek minden jót!

Előzmény: [485] Micimackó, 2012-12-27 21:43:40
[485] Micimackó2012-12-27 21:43:40

Igen, ebben az esetben érvényesülni fog az MH hatás. Minden azon múlik mit csináljon a csinos segéd, ha megtalálja a kulcsot: - Ha lehet hogy megtalálta, de olyankor kinyitott egy másikat, akkor MH hatás - Ha tudjuk, hogy nem találta meg (mert mondjuk hangosan visít, ha megtalálja és nem hallottunk hangos visítást), akkor nincs MH hatás, eredeti eset.

Előzmény: [484] Hajba Károly, 2012-12-26 23:37:07
[484] Hajba Károly2012-12-26 23:37:07

De ezek a kollégám nyitási esélyei és nem az én esélyeim, miután ő megmondta, hogy melyekben nincs. Én az alábbiak szerint képzelem el:

---

Képzeljük el a MH show-t. 9 ajtó egy falban egymás után sorakozva, a fal mögött 9 fülke, melybe egyenként nyílnak az ajtók és a fülke másik oldalán is ajtó a színfalak mögé nyílóan.

A műsor előtt MH egy közjegyző jelenlétében feldob egy érmét. Fej esetén zsebre vágja a slusszkulcsot, írás esetén beteszi az egyik fülkébe. Ezután megkéri a csinos és hölgynemű segédjét, aki nem tud a kulcs helyéről, hogy a műsor folyamán egy jel elhangzása után a másik oldalról véletlenszerűen nyisson be egy fülkébe és ha üres, nincs ott a slusszkulcs, akkor nyissa ki a színpad felé eső ajtót is, amit már lát MH is és a játékos is, s ezt tegye meg 3 fülkével összesen. Ha épp a kulcsos fülkébe nyitna be, akkor zárja vissza és nyisson egy másik ajtót.

A jel elhangzása után a műsor oldaláról kinyílik 3 ajtó, ami mögött biztosan nincs kulcs, s ezt tudja MH is. A színfalak közül a segéd csak 3 ajtóval próbálkozik (mivel nem nyitott rá a kulcsosra, de lehet, hogy a kulcs épp MH zsebében van), s ő nem ismeri a kulcs helyét.

Ez egy eseménysor, nem lehet a játékos szempontjából kétféle valószínűséggel a kulcs ugyanazon a helyen. A színpad felől kinyílik 3 ajtó úgy, hogy aki tudja hol a kulcs, az biztosan tudja, hogy 3 üres ajtó fog kinyílni. Így ez ebben az esetben a MH eset.

De a segéd jelen esetben a kolléga szerepét játszotta el. Ez csak úgy lehetséges, ha az eredeti feladatban is a MH eset szerint lesznek a valószínűségek, mikor a kollégám a korábban már megnézett fiókok (nemleges) tartalmáról nyilatkozik a fiók általam történő kinyitási kísérlet előtt.

S a MH esetben csak az a lényeg, hogy biztosan üres ajtók nyíljanak és az nem lényeges, hogy a nyitója tudja a kulcs helyét.

Előzmény: [483] Micimackó, 2012-12-26 00:08:28
[483] Micimackó2012-12-26 00:08:28

Még korábban elhangzott egy jó ötlet, ami segítheti az intuíciót: képzeld el az egészet ezer fiókkal, úgy hogy a kolléga 999-ről nyilatkozik. A kollégám ekkor átnézett 999 fiókot valami más okból és közben nem találkozott a kulccsal. Ha azt nem is mondja az intuíció (feltétlen), hogy ekkor 1/1001 az esélye, hogy az egyetlen benti fiókban van, de szerintem érezhetően alacsony az esély (az MH esetben 1/2 lenne). Egy másik meggondolási lehetőség a kísérletezés (fontos hogy a kolléga nyitása is része egy kísérletnek, és amikor a kolléga megtalálja a kulcsot véletlen, az nem figyelembe veendő eset, mert tudjuk hogy ez nem történt meg).

Előzmény: [482] Hajba Károly, 2012-12-22 17:23:05
[482] Hajba Károly2012-12-22 17:23:05

Én meg azt gyanítom, hogy az A és C esetben működik, de majd megcáfoltok.

Az MF esetben úgy nyitja ki a biztosan üres fiókot/ajtót, hogy tudja hol a kulcs/autó, míg a másik esetben úgy mutatja a biztos üreset, hogy nem tudja. Mindkét esetben a mutató kettébontja a valószínűségi tartományát egy olyan részre, ahol biztos nincs és egy olyan részre ahol van vagy lehetségesen van. Ezen utóbbi tartományban lehetséges, nincs kizárva, hogy vannak még üres helyek. De a lényeg az, hogy a megmutatott tartomány biztosan üres állapotú és erről ad infót, s ő adja, nem én kérdem.

Előzmény: [481] Micimackó, 2012-12-22 14:16:18
[481] Micimackó2012-12-22 14:16:18

A két alapesetet tehát kitárgyaltuk (1/7 és 4/13). A tovább 4 esetre az a véleményem, hogy nem érvényesül az MH hatás, az eredmény minden esetben 1/10 (minden esetben elképzelhetjük a 9 otthoni fiókot, és nincs semmi ami módosítaná azt, hogy minden fiókban egyenlő eséllyel van).

Előzmény: [479] Hajba Károly, 2012-12-21 00:18:59
[480] Hajba Károly2012-12-21 00:26:06

"Ugyanarról beszélünk, de nem feltétlenül ugyanarra gondolunk"-témához kapcsolódik a Matematika és Nyelvészet rovatbeli felhívásom. Ha kedvet kaptok rá, szívesen fogadom a beküldéseteket.

Előre is köszönöm.

Előzmény: [479] Hajba Károly, 2012-12-21 00:18:59
[479] Hajba Károly2012-12-21 00:18:59

Na ez annak a tipikus esete, mikor azt gondoljuk, hogy ugyanarról beszélünk, közben mindenki másra gondol. A gondolatait az előző életének eddigi tapasztalatai befolyásolják, így mindenki egy kicsit másra gondol, ha nem elég alapos a megfogalmazás.

Én mindvégig az eredeti példámra gondoltam és ott a kollégám 3 fióknyitásra. A félreérthető fogalmazásért mindenkitől elnézést kérek.

---

Így most tételesen leírom az eseteket:

Alapeset, amit átbeszéltünk: Keresem a kulcsom. Fele-fele valószínűséggel a munkahelyemen vagy otthon lehetséges. A munkahelyemen 9 fiók van, melyekben lehetséges. Ebből a keresés elején 3-ról a kollégám kijelentette, hogy ott nincs. (Ő korábban az összeset megnézte, esetleg ismeri is a kulcs helyét, ha az a munkahelyen van, de most csak erről a háromról nyilatkozott. Hagyta, hogy én is érvényesülhessek.) Én 5-t megnéztem és nem volt ott. Milyen valószínűséggel van a 9. fiókban a kulcs?

A változat: Keresem a kulcsom. Fele-fele valószínűséggel a munkahelyemen vagy otthon lehetséges. A munkahelyemen 9 fiók van, melyekben lehetséges. Ebből a keresés elején 3-ról a kollégám kijelentette, hogy ott nincs. (Ő korábban már ezt a hármat, de csak ezt a hármat megnézte, amiről nyilatkozott. Valami mást keresett és látta, hogy nincs ott a kulcs.) Én 5-t megnéztem és nem volt ott. Milyen valószínűséggel van a 9. fiókban a kulcs?

B változat: Keresem a kulcsom. Fele-fele valószínűséggel a munkahelyemen vagy otthon lehetséges. A munkahelyemen 9 fiók van, melyekben lehetséges. A keresés elején a kollégám besegít és kiválaszt 3 fiókot, s ezekben nincs. (Korábban még nem látta a fiókokat.) Én ezután 5-t megnéztem és nem volt ott. Milyen valószínűséggel van a 9. fiókban a kulcs? [Ez gondolom olyan, mintha én néztem volna meg.]

Második alapeset: Keresem a kulcsom. Fele-fele valószínűséggel a munkahelyemen vagy otthon lehetséges. A munkahelyemen 9 fiók van, melyekben lehetséges. Én 5-t megnéztem és nem volt ott. Ezután 3-ról a kollégám kijelentette, hogy ott nincs. (Ő korábban az összeset megnézte, esetleg ismeri is a kulcs helyét, ha az a munkahelyen van, de most csak erről a háromról nyilatkozott. Hagyta, hogy én is érvényesülhessek.) Milyen valószínűséggel van a 9. fiókban a kulcs? [Ezt is kitárgyaltuk]

C változat: Keresem a kulcsom. Fele-fele valószínűséggel a munkahelyemen vagy otthon lehetséges. A munkahelyemen 9 fiók van, melyekben lehetséges. Én 5-t megnéztem és nem volt ott. Ezután 3-ról a kollégám kijelentette, hogy ott nincs. (Ő korábban már ezt a hármat, de csak ezt a hármat megnézte, amiről nyilatkozott. Valami mást keresett és látta, hogy nincs ott a kulcs.) Milyen valószínűséggel van a 9. fiókban a kulcs?

A D változat hasonló, mint a B, ezért nem részletezem. Érdekes az A és C eset.

[478] HoA2012-12-19 14:40:00

Igazad van, én [472] A) és B) esete közti eltérés hatását akrtam bemutatni, nem volt szerencsés az általatok másra alkalmazott "tudatosan" és "véletlenszerűen" szavak használata. Vastagbetűs szövegrészleteim tehát helyesen:

"akár én, akár a játékvezető találomra kinyitja a másik kettő egyikét" , illetve "Ha a játékvezető tudva az autó helyét megmutat..."

Előzmény: [476] Micimackó, 2012-12-19 13:13:52
[477] Micimackó2012-12-19 13:16:36

"A kollégám tudásának mikéntje az A és B esetben kellően meg lett határozva" - Továbbra sem értek egyet azzal, hogy ez a B esetben így lenne. Pontosan meg lett határozva mit tud, de az nem hogy honnan tudja. És mint korábban láttuk, ez közel sem mindegy (lásd pl Hoa legutóbbi példáját)

Előzmény: [474] Hajba Károly, 2012-12-19 09:59:06
[476] Micimackó2012-12-19 13:13:52

Ez persze mind igaz amit írsz, csak mi másra használtuk a "tudatosan" és "véletlenszerűen" szavakat. Mindkettő az általad írt első esetbe esett, ezért is jutottunk arra, hogy nincs köztük különbség :)

Előzmény: [475] HoA, 2012-12-19 11:18:06

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]