Fórum: Csak logika

,,Erdős Pál, a XX. század egyik legkiemelkedőbb matematikusa sohasem fogadta el a magyarázatokat, sőt szabályosan dührohamot kapott ha emlegették az indokolatlan 1/3 kezdeti esélyt.'' Ez nem igaz. Járj utána egy kicsit!

Olvasd el ezt! Erdős elsőre tényleg nem hitte el, de a szimuláció meggyőzte, és utána egy magyarázatot is megértett. Idézek a cikkből: ,,I ran the program (...) 100000 times (...) Erdős objected that he still did not understand the reason why, but was reluctantly convinced that I was right. A few days after he left, he telephoned to say that Ron Graham of AT&T explained to him the reasoning behind the answer and that now he understood.''

És mi a helyes megoldás szerinted :)

Péter matematikus?

És nem tudja levezetéssel igazolni az első választás 1/3 valószínűségét? Na most megdöbbentettél!

Eddig senki sem tudta levezetni azt az alapfelvetést, hogy 1/3 a kezdeti választási esély.

Erdős Pál, a XX. század egyik legkiemelkedőbb matematikusa sohasem fogadta el a magyarázatokat, sőt szabályosan dührohamot kapott ha emlegették az indokolatlan 1/3 kezdeti esélyt. "Egyébként az adott játékban ez elég is volna, ha meg tudnád érteni, mi itt az (összes) lehetséges eset. Erre az eddigiek alapján nem látok reményt."

Nos, a matematikusok szerint a Monty Hall-paradoxon nem is paradoxon. Nincs igazolva az alapfelvetése. Újságírói fogás abban a színben feltüntetni mintha Monty Hall híres nagy matematikus paradoxona lenne, pedig csak egy műsorvezető volt.

Nem hiszem, hogy mérvadó lenne az, hogy én elhiszek vagy nem hiszek el valamit.

Nagyon érdekes beszélgetés. Péter és Csimby nagyon kevés valszámot csinálhat, hiszen Gézoo az alapfogalmakkal sincsen tisztában. Így jobb híján maradnak a szemléltető példák.

"Neked is csak azt javasolhatom, hogy olvasd el: hu.wikipedia.org valószínűségszámítás szócikkét"

Itt azért majdnem leestem a székről, Péter okleveles matematikus.

,,(...) ha egyszer a valószínűségről beszélgetünk, akkor a valószínűségszámítás szabályait kötelezően be kell tartani.'' Ebben egyetértünk. Persze ahhoz ezeket nem ártana ismerni.

,,A klasszikus valószínűségszámítás részen megtalálod ezt a függvényt: P(A)=k/n (k – kedvező esetek száma , n – lehetséges (összes) eset száma)'' Ez csak egyenletes eloszlás esetén igaz. Egyébként az adott játékban ez elég is volna, ha meg tudnád érteni, mi itt az (összes) lehetséges eset. Erre az eddigiek alapján nem látok reményt.

De úgy látom, ha már ajánlgatod, a wikiben megbízol. Akkor nézd meg ennek a problémának a wikipedia-s tárgyalását! Emlékeztetőül: ez az eredeti (nem Superman) változatról szól, amiről te azt mondtad, hogy 1/2 az esélyünk. Rajtad kívül itt mindenki más azt mondta, hogy ha váltunk, akkor 2/3 az esélyünk. Mi a megoldás a wikin?

Kedves Róbert Gida, kiváncsi lennék a véleményedre a (Maga Péter, Csimby, Hajba Károly) vs. Gézoo vitában.

Neked is csak azt javasolhatom, hogy olvasd el:

hu.wikipedia.org valószínűségszámítás szócikkét.

A klasszikus valószínűségszámítás részen megtalálod ezt a függvényt: P(A)=k/n (k – kedvező esetek száma , n – lehetséges (összes) eset száma)

"Melyiket van értelme nyerési esélynek nevezni?"

Mint írtam, megértelek, de ha egyszer a valószínűségről beszélgetünk, akkor a valószínűségszámítás szabályait kötelezően be kell tartani.

Az pedig a kedvező választások számának és az összes lehető számának a hányadosaként értelmezhető, azaz nem hagyható ki a "nem nyerők" azon része ami nem tetszik valakinek.

,,Vagy esetleg 10 próbálkozással 10 százalékos esélyekkel?'' A konkrét esetben ez is igaz.

Értendő a kezdeti valószínűségekkel. A sorban megjelenő feltételekkel persze ez változik. Még mielőtt valaki ezen akadna fenn:)...

Ez a példa annyira tetszik, hogy konkrét (és nagyon bárgyú) játékot is írok hozzá.

Szóval most 10 függöny, az egyik mögött autó, a többi mögött semmi, és a játékos (ezúttal nem kell Superman, bárki megteszi), választ egyet, azt megmutatják neki, majd ennek tartalmát megkapja, és választania kell még egyet, azt is megnézi, megkapja, és így tovább, amíg el nem fogy.

,,Akkor ezek szerint 100 százalékos valószínűséggel sikerült nyerned?'' Igen. Mindenképpen hazaviszem az autót.

,,Vagy esetleg 10 próbálkozással 10 százalékos esélyekkel? A konkrét esetben ez is igaz.

Melyiket van értelme nyerési esélynek nevezni? Melyik az, amelyik egyszerre a) rövidebb, b) a kimenetelről mindent elmond?

,,100 -ból százszor megnyersz valamit.'' Értem.

,,De ehhez, mind a száz alkalommal kell 10-10 választást elvégezned. Azaz összesen 1000 választásból 100-szor nyersz.'' Értem.

,,Szerinted mekkora az esélye a választásaidnak?'' Nem érdekel.

,,Akkor ezek szerint 100 százalékos valószínűséggel sikerült nyerned?'' Igen. 100-ból 100-szor nyertem. Az 100 százalék.

,,Mindig megnyeri.''

Rendkívüli. Van egy játék. Van Supermannek egy módszere, amivel mindig meg tudja nyerni (mindenféle véletlen alakulásától függetlenül). És szerinted a nyerési esélye 2/3, mert a formuládból 2/3 következik. Tudod, ez az a pont, amikor a formulád, meg az általad nyerési esélynek nevezett valami fabatkát sem ér. Merthogy semmit nem jelent a valóságra vonatkoztatva.

Írod a Mi a matematika? topik [37]-esében, hogy ,,Szóval szerintem, a matematika kell, jó és hasznos, de messze sem olyan elégséges minőségű segédtudomány, mint amit elvárhatnánk tőle, illetve a magas szinten művelőitől.'' Hát, ezek után ne csodálkozz! Számodra azért nem elégséges minőségű, mert azt hiszed, hogy a valósághoz (Superman mindig nyer) egy ostoba interpretáció tartozik (Superman nyerési esélye 2/3). Elmesélem, rosszul hiszed. A valósághoz egy teljesen adekvát interpretáció tartozik (Superman nyerési esélye 1).

,,Az esély és a nyeremény két dolog. Nem összekeverendő.'' Persze hogy nem keverendők össze. De egy értelmes modellben van valami közük egymáshoz. Ha te a 2/3-os nyerési esélyedet elmondod egy bukmékernek, akkor ő ebből hogyan fogja kitalálni, hogy Superman minden játékot megnyer? Áruld már el, kérlek! És nem mondhatod el a bukmékernek a játék szabályait, mert arra nincs ideje, ő ezer lóverseny meg focimeccs fogadásait jegyzi, őt csak egy szám érdekli, amiből ki tudja találni, hogy Superman jó sok játékból kb. hányszor fog nyerni. Ez alapján fogad az emberekkel. Hogy következtessen a te információdból (2/3) arra, hogy Superman mindig nyer (ha nem arra következtet, minden pénzét elveszíti)?

Na egy példa a valószínűség és a 100 százalékos sikerre.

100 -ból százszor megnyersz valamit. De ehhez, mind a száz alkalommal kell 10-10 választást elvégezned. Azaz összesen 1000 választásból 100-szor nyersz.

Szerinted mekkora az esélye a választásaidnak?

Korábban azt írtad, hogy csak a játékok száma és a nyeremények száma érdekel.

Akkor ezek szerint 100 százalékos valószínűséggel sikerült nyerned? Vagy esetleg 10 próbálkozással 10 százalékos esélyekkel?

Oké, még mielőtt továbblépünk, kérlek indokold, a kezdeti felvetést.

Mármint azt, hogy valóban 1/3 <--> 2/3 a választási esély és nem 1/2 <--> 1/2.

Mert ez az alapja a felvetésednek. Indoklás nélkül pedig nem lehet semmire sem alapozni.

Mindig megnyeri. Az esély és a nyeremény két dolog. Nem összekeverendő.

Hogy jobban megérthesd, vegyük azt a példádat amelyben az első körben nem látja az autót.

Választ, majd a műsorvezető új szabály szerint az egyik függönyt kiveszi a játékból, a nem kiválasztottak közül, függetlenül a mögötte lévőtől.

Mekkora eséllyel veheti ki az autót vagy a kecskét?

A műsorvezető két függöny közül választ. Azaz 2/3 eséllyel vannak ott a kecskék, és 1/3 eséllyel az autó.

Ezt felezi, a kettőből egyet kivesz.

1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 esik erre a függönyre autóból és kecskéből összesen.

Azaz 1/2 arányban olyan függöny marad meg amely mögött vagy kecske 2/6 azaz 1/3 eséllyel vagy autó 1/6 eséllyel van.

Nyilván ezzel a kiválasztott függöny mögött ugyanilyen arányok lettek a kivonással, mert két oldalnak együtt 1-et kell adnia.

Mennyit változott a csere feltétele? Cserélnél?

Teljesen igazad volt abban, hogy nem kell hogy győzködjelek! És nem is foglak tovább. Az alábbi kísérlet csak egy jótanács:

Vegyél 6 db gyufás dobozt, számozd meg őket. Kérj meg valakit a környezetedben, hogy dobjon egy dobókockával és amennyit dobott, abba a sorszámú dobozba tegyen egy 10 ft-ost. Te válassz egy gyufásdobozt. Majd akit megkértél, mutasson neked 4 üres dobozt (egyik se legyen az amit te választottál). Én azt állítom hogy ha elég sokszor elvégzitek ezt a kísérletet és te sosem cseréled ki azt a dobozt, amit először választottál, arra, ami bent maradt. Akkor az esetek 5/6-ában nem találod meg a pénzt. A te elméleted szerint az esetek 1/2-ében nem találod meg.

De mindig megnyeri, ugye? Ugye abban megegyezünk, hogy ha Superman bemegy játszani, akkor mindig autóval jön ki?

Természetesen, mint ahogy már kétszer írtam:Igen!

Megismétlem az [543]-ban feltett kérdést, kérlek, arra válaszolj!

Tehát te azt állítod ([542]-ben) , hogy ha Superman bemegy ezt az újabb ([541]-ben leírt) játékot játszani, akkor 2/3 eséllyel nyeri meg az autót? Igen vagy nem?

A választásainak a számát és a nyeremények számát tekintve ezt látjuk. Az első körben azzal rontottad az 1/1 valószínűséget, hogy rákényszerítetted a vakon választásra. Ezzel a választások számát 1/3-al megnövelted.

Gyanús-e? Nézzük meg a kérdést a "ti" oldalatokról.

Röviden az az alapfelvetésetek, hogy kezdetben 1/3 eséllyel kiválasztott autó és 2/3 eséllyel kiválasztott kecske esetén, a cserével a kecskéről az autóra cserélitek az esélyt.

Oké, vizsgáljuk meg ezt a felvetést, valóban helyes-e?

Kezdetben van három függöny, 1/3-ad eséllyel autó, 2/3 eséllyel kecske. Ez igaz.

De szintén kezdetben a szabály is érvényes azzal, hogy mindenképpen egy kecske és egy autó marad.

Vagyis már kezdetben az a feltétel él, hogy egy autó és egy kecske.

Így a két kecske helyett a kezdeti szabály, egy kecske.

Tehát nem 1/3 a kecske aránya hanem 1/2, így az autó aránya sem 1/3, hanem szintén 1/2.

Így nem érvényes az a felvetés, hogy a kecskék 2/3 arányát a cserével autóra cserélhetjük, mert kezdetben sem választhattuk ki mindkét kecskét. Ezzel csak egy kecske választása lehetséges. Valamint az egy autó választása a másik lehetőség.

A "gyanús-e?" kérdésre az a helyes válasz, hogy gyanús. De ettől még a valószínűségi függvényt azért nevezzük valószínűséginek, mert nem egyenlőséget hanem csak valószínűsítést jelent. Az sem túl valószínű, hogy az utcára kilépve krokodillal vagy oroszlánnal találkozunk olyan helyen ami távol van a krokodilok és az oroszlánok élőhelyétől, mint itt nálunk. Ennek ellenére az idén kétszer találkoztam krokodillal és négy alkalommal oroszlánnal, szintén négy alkalommal elefánttal, és a kíséretükben integető bohócokkal. (Jöttek a vándorcirkuszok és pont akkor amikor én is úton voltam.)

Mit mond erről a valószínűség? Ha a cirkuszban dolgoznék, akkor valószínűleg naponta találkoznék ezekkel.

Amikor Pistikéjék a valószínűségről tanultak a tanárnéni kérte, hogy mondjanak egy olyan mondatot, amelyben a valószínűség benne van. Pistike mondata: "- A szomszéd dédi újsággal kezében megy hátrafelé az udvaron."

- Na de Pistike! - szólt a tanárnéni - Ebben nincs benne a "valószínű".

- Dehogy nincs, tanárnéni kérem! Valószínűleg az árnyékszékre megy, mert olvasni nem tud!

Meg vannak adva a játékszabályok és a te logikád szerint, amikor még 3 függöny van, akkor bármelyiket is választod, a játék végére 1/2 valószínűséggel a tied lesz az autó. Tehát pl. ha mindig az 1. függönyt választod és sosem cserélsz, akkor 100 játékból kb 50-szer tied lesz az autó. De tegyük fel hogy veled egy időben egy másik stúdióban én is ugyanezt a játékot játszom és nekem is mindig ugyanott van az autó mint neked csak én mindig a 2. függönyt választom és kitartok mellette. Ezek szerint én is 100 játékból kb 50-szer az autóval mehetek haza. És egy 3. stúdióban Pistike is ezt játsza csak ő mindig a 3. függönyt választja, ő is 100 ból kb 50-szer hazaviszi az autót. Ismétlem az autó mindhárom stúdióban mindig ugyanott van, csak mindhárman mindig mást választunk. De ugyanazzal a stratégiával játszunk, kitartunk a választásunk mellett. Ez azt jelenti hogy a te logikád szerint a 100 játék alatt kb 50-szer volt az 1. függöny mögött az autó, kb 50-szer a 2. mögött és kb 50-szer a 3. mögött. Nem gyanús? :)

Tehát te azt állítod, hogy ha Superman bemegy ezt az újabb játékot játszani, akkor 2/3 eséllyel nyeri meg az autót?

Ez nagyon jó gondolat! Superman csak a második azaz az 1/2 esetben választhat vagy marad az első választásánál.

Választ első menetben 1/2 valószínűséggel, mert ő kiszámolja, hogy két függöny és egy autó közül választ, bármelyiket választja. Ugyanis erre az arányra állítja be a műsorvezető a választása alapján az esélyét.

De a második választás idején már látja, hogy jól választott-e vagy nem. Ha megmarad az egy válasznál 1500/3000=1/2 marad a nyerési aránya. Ha a röntgenszeme alapján korrigál, akkor ugyan mind a 3000 játékban nyer, de ehhez a nyeréshez a lehetőségek felében másodszorra is választania kell.

Azaz ez esetben 1500-al növeli a választásainak a számát. Így az esélye P= 3000/4500 = 2/3 -ra módosul.

,,Viszont az esélyek nem a kedvünk, hanem a számok szerint alakulnak.'' Hát nem is. De nekem egy játékban a nyerési esély az, hogy végigjátszva milyen eséllyel tudok nyerni. Ha van egy eljárás, ami 3000 játékból nekem 2000-szer elhozza az autót, az 2/3-os nyerési esély nálam. Hogy a közbülső választásom hányszor volt jó, hidegen hagy.

Superman újra, de most bonyolódik. Az első körben nem használhatja a röntgenlátását. Mondjuk van egy ólomfüggöny is minden textil mögött (Superman az ólmon nem lát át), és az első választása után az ólomfüggönyöket mindet felhúzzák. És az egyik textilt is a szokásos szabályok szerint (nem lehet mögötte autó, nem lehet az, amelyiket Superman választotta). Így a második választásnál Superman már használja a röntgenlátását.

Ebben a játékban szerinted mekkora Superman nyerési esélye? Szerintem 1. Szerinted mennyi?