Fórum: Csak logika

Persze a teljes játékot is lejátszhatjuk:

****************

akk eset

akn

1 ncs 1 cs 0

2 ncs 0 cs 1

ank

1 ncs 1 cs 0

3 ncs 0 cs 1

*****************

kak eset

kan

1 ncs 0 cs 1

2 ncs 1 cs 0

nak

2 ncs 1 cs 0

3 ncs 0 cs 1

*****************

kka eset

kna

1 ncs 0 cs 1

3 ncs 1 cs 0

nka

2 ncs 0 cs 1

3 ncs 1 cs 0

Nekem úgy tűnik egyforma a cserél és a nem cserél esetben a nyeremények száma.

Péter, minden tiszteletem a levezetésedért, de szeretném belátni azt is, hogy helyesen feltételeztél. Nem a vita kedvéért, hanem a megértés kedvéért.

Van egy jobb ötletem, ne is válaszolj az előző két kérdésemre. Helyettük inkább segíts ebben az esetben:

Tehát van a=autó, k=bent maradó kecske, n=kivett kecske

ezeknek a variációi:

123 függöny mögött rendre: akn ank kan kna nak nka összes eloszlás lehetséges.

Nekem úgy tűnik, hogy az 'n' esetek nem választhatók. Vagyis a valósan választható lehetőségek száma így:

123 függöny

akn esetben választható 1,2 függöny választható, ez nem három hanem 2 lehetőség

ank esetben választható 1,3 függöny választható, ez nem három hanem 2 lehetőség

kan esetben választható 1,2 függöny választható, ez nem három hanem 2 lehetőség

kna esetben választható 1,3 függöny választható, ez nem három hanem 2 lehetőség

nak esetben választható 2,3 függöny választható, ez nem három hanem 2 lehetőség

nka esetben választható 2,3 függöny választható, ez nem három hanem 2 lehetőség

Vagyis minden eloszlásnál és minden választásnál nem három, hanem 2-2 választható lehetőség van, összesen 12 valósan kiválasztható és 6 nem kiválasztható lehetőség van.

Még mindig úgy gondolod, hogy 1/3 eséllyel választhatunk autót?

Az a gyanúm, hogy a bennmaradó és a kiveendő kecskét két külön értékként külön valószínűséggel kezeled. Ezért feltételezel egyformán mindkettőnek 1/3-1/3 esélyt.

Pedig a szabály egyértelmű, csak egy maradhat. Bármelyiket veszik ki, a másik marad. Bármelyik vesz részt az autó vagy kecske választásban a másik a kivétellel csak egy kecske a kiválasztható.

Miután 1 kecskét még akkor is kivesznek, ha az autót és akkor is ha kecskét választottunk. Tehát a választásunktól függetlenül 1 kecskét mindenképpen kivesznek.

Tehát a leendő első választásunk majdani eredményétől függetlenül csak egy kecske és egy autó között választhatunk.

Látványosabb legyen, számozzuk be a kecskéket, legyen 1-es és 2-es. Mekkora az esélye annak, hogy az 1-es kecskét választhatjuk? 1/3 ? Mekkora az esélye annak, hogy a 2-es kecskét választhatjuk? 1/3 ? Mekkora az esélye annak, hogy az autót (viccesen a 3-as kecskét) választhatjuk? 1/3 ?

Mekkora az esélye annak, hogy a nem kiválasztott kecske bennmarad? 0

Mekkora az esélye annak, hogy 1 kecske és 1 autó marad bent a választásunktól függetlenül?

Így mekkora az esélyünk az 1 kecske és az 1 autótól eltérő választásra? 0

Mint nem matematikus, én azt mondanám, hogy a valószínűségi teret a műsorvezető beavatkozása előre megváltoztatja és ezt nem hagyhatjuk figyelmen kívül.

Szóval nagyon kíváncsi vagyok annak a bizonyítására és nem feltételezésére, hogy a leendő első választás eredményétől függetlenül, valóban 1/3 eséllyel választjuk az autót.

Péter, ez eléggé tetszetős.

Most bontsuk elemeire. Kezdetben vegyük ki az autót - csak a példa kedvéért.- Mekkora az eshetősége annak, hogy nem kecske marad a nem kiválasztott függöny mögött? P=0 Lehetséges olyan választás amelyikben ne kecskét válasszunk? Gondolom, hogy nem, mert P=1 Ez az alaphelyzet, akkor is ha bármelyik függönyt választjuk. Mert a műsorvezető kiveszi az egyik kecskét, arra a kecskére nézve P=1 valószínűséggel. Ezért már az első választás előtt nem két kecske, hanem csak egy kecske választható. Ehhez kapunk olyan függönyt ahol szintén P=1 valószínűséggel autó van. Kiválaszthatunk olyan helyzetet ahol nem 1 autó +1 kecske van?

Ezt a szabályt induláskor ismerve, nem két kecske és egy autó, hanem egy kecske és egy autó között választunk.

Arra kértelek, hogy a feltevést, hogy a kezdeti feltétel valóban 1/3 és nem 1/2 igazold levezetéssel.

Mint olvasom hamarosan gratulálhatunk neked PhD-hez, így valószínűsítem nem jelent gondot annak az igazolása, hogy a kezdeti feltevés helyett levezetéssel kapjuk meg az 1/3 arányt.

Félek, hogy ezt a sok ákom-bákomot, amit itt összehordtál, nem fogja érteni.

:o)

"Neked is csak azt javasolhatom, hogy olvasd el: hu.wikipedia.org valószínűségszámítás szócikkét"

Itt azért majdnem leestem a székről, ...

---

Nekem csak a szemhéjam nyílott meg egy pillanatra.

.

... Péter okleveles matematikus.

---

S tegyük hozzá: lassan PhD is.

,,1 db autó + 2db kecske - 1 db kecske alaphelyzetről'' Azt értsd már meg, hogy nem ez az alaphelyzet! Az alaphelyzet az, hogy '1 db autó, ami bárhol lehet + 2 db kecske, amik bárhol lehetnek - 1 db kecske, ami nem lehet bárhol (mert ez a -1 kecske nem lehet az elsőre választott függöny mögött!!)'. És ez '1 db autó, ami bárhol (fennmaradó helyen) lehet + 1 db kecske, ami bárhol (fennmaradó helyen) lehet'.

Noha '2 kecske - 1 kecske = 1 kecske', de a '2 akárhol rejtőző kecske - 1 nem akárhol rejtőző kecske' kivonásban nincsenek összevonható tagok. Ha te mégis összevonod 1 kecskének, akkor azzal kidobsz információt. Utána persze csak 1/2 az esély. De azért annak, aki inkább meghagyja a kényelmetlen alakban a plusz információ megtartásáért, engedd már meg, hogy jobb esélyei legyenek! Főleg ha a ,,levezetés'' is ezt mutatja.

Legyenek A,B,C rendre azok az események, hogy az autó az 1-es, 2-es, 3-as függöny mögött van. Tegyük fel, hogy az 1-es függönyt választjuk, és legyen D az az esemény, hogy a műsorvezető ezután a 2-es függönyt mutatja nekünk, ami mögött kecske van.

Egyenletes eloszlást (mi mást) feltételezve P(A)=P(B)=P(C)=1/3. A feltételes valószínűségekre az egyszerűség kedvéért a természetes P(D|A)=1/2, azaz P(AD)=1/6 feltételezéssel élünk (általánosabban írhatunk P(D|A)=x-et is valamilyen 0x1-gyel, ez a konkrét P(A|D)-t megváltoztatja, de abba nem szól bele, hogy megváltoztatni a kezdeti tippet éppen olyan jó, ez egy icipicit hosszabb számolás). Értelemszerűen P(D|B)=0 és P(D|C)=1. Nyilván ekkor

P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)=1/6+0+1/3=1/2.

Ekkor

Vagyis azután, hogy az 1-es függönyre adtuk le az első tippünket, a műsorvezető pedig megmutatta nekünk, hogy a 2-es függöny mögött nincs autó, annak valószínűsége, hogy az 1-es függöny mögött van az autó, 1/3.

Péter, hagy tisztelhesselek mint matematikust!

Bizonyítsd be, az

1 db autó + 2db kecske - 1 db kecske alaphelyzetről, hogy

az első választásnál nem 1/2 az autó esélye hanem csak 1/3.

Személyeskedni, vaktában sértegetni ráérsz, majd utána is.

,,(...) Gézoo az alapfogalmakkal sincsen tisztában.'' És a tetejébe semmi önkritikája nincs. Elolvasta a wikis szócikket a valószínűségszámításról, és jön a kedvezőesetperösszeseset formulával, ami neki 2/3 valószínűséget ad egy biztos eseményre. Ha én egy képlettel olyan eredményt kapok, ami ordítóan nem felel meg a valóságnak, akkor az első gondolatom az, hogy a képletet rosszul használom (na jó, a második; az első az, hogy számolási hibát vétettem). Gézoo-ban fel sem merül, hogy esetleg ő számolta meg a kedvező és/vagy összes esetet rosszul, vagy hogy nem azok az esetek, amiket ő eseteknek gondol.

,,Erdős Pál, a XX. század egyik legkiemelkedőbb matematikusa sohasem fogadta el a magyarázatokat, sőt szabályosan dührohamot kapott ha emlegették az indokolatlan 1/3 kezdeti esélyt.'' Ez nem igaz. Járj utána egy kicsit!

Olvasd el ezt! Erdős elsőre tényleg nem hitte el, de a szimuláció meggyőzte, és utána egy magyarázatot is megértett. Idézek a cikkből: ,,I ran the program (...) 100000 times (...) Erdős objected that he still did not understand the reason why, but was reluctantly convinced that I was right. A few days after he left, he telephoned to say that Ron Graham of AT&T explained to him the reasoning behind the answer and that now he understood.''

És mi a helyes megoldás szerinted :)

Péter matematikus?

És nem tudja levezetéssel igazolni az első választás 1/3 valószínűségét? Na most megdöbbentettél!

Eddig senki sem tudta levezetni azt az alapfelvetést, hogy 1/3 a kezdeti választási esély.

Erdős Pál, a XX. század egyik legkiemelkedőbb matematikusa sohasem fogadta el a magyarázatokat, sőt szabályosan dührohamot kapott ha emlegették az indokolatlan 1/3 kezdeti esélyt. "Egyébként az adott játékban ez elég is volna, ha meg tudnád érteni, mi itt az (összes) lehetséges eset. Erre az eddigiek alapján nem látok reményt."

Nos, a matematikusok szerint a Monty Hall-paradoxon nem is paradoxon. Nincs igazolva az alapfelvetése. Újságírói fogás abban a színben feltüntetni mintha Monty Hall híres nagy matematikus paradoxona lenne, pedig csak egy műsorvezető volt.

Nem hiszem, hogy mérvadó lenne az, hogy én elhiszek vagy nem hiszek el valamit.

Nagyon érdekes beszélgetés. Péter és Csimby nagyon kevés valszámot csinálhat, hiszen Gézoo az alapfogalmakkal sincsen tisztában. Így jobb híján maradnak a szemléltető példák.

"Neked is csak azt javasolhatom, hogy olvasd el: hu.wikipedia.org valószínűségszámítás szócikkét"

Itt azért majdnem leestem a székről, Péter okleveles matematikus.

,,(...) ha egyszer a valószínűségről beszélgetünk, akkor a valószínűségszámítás szabályait kötelezően be kell tartani.'' Ebben egyetértünk. Persze ahhoz ezeket nem ártana ismerni.

,,A klasszikus valószínűségszámítás részen megtalálod ezt a függvényt: P(A)=k/n (k – kedvező esetek száma , n – lehetséges (összes) eset száma)'' Ez csak egyenletes eloszlás esetén igaz. Egyébként az adott játékban ez elég is volna, ha meg tudnád érteni, mi itt az (összes) lehetséges eset. Erre az eddigiek alapján nem látok reményt.

De úgy látom, ha már ajánlgatod, a wikiben megbízol. Akkor nézd meg ennek a problémának a wikipedia-s tárgyalását! Emlékeztetőül: ez az eredeti (nem Superman) változatról szól, amiről te azt mondtad, hogy 1/2 az esélyünk. Rajtad kívül itt mindenki más azt mondta, hogy ha váltunk, akkor 2/3 az esélyünk. Mi a megoldás a wikin?

Kedves Róbert Gida, kiváncsi lennék a véleményedre a (Maga Péter, Csimby, Hajba Károly) vs. Gézoo vitában.

Neked is csak azt javasolhatom, hogy olvasd el:

hu.wikipedia.org valószínűségszámítás szócikkét.

A klasszikus valószínűségszámítás részen megtalálod ezt a függvényt: P(A)=k/n (k – kedvező esetek száma , n – lehetséges (összes) eset száma)

"Melyiket van értelme nyerési esélynek nevezni?"

Mint írtam, megértelek, de ha egyszer a valószínűségről beszélgetünk, akkor a valószínűségszámítás szabályait kötelezően be kell tartani.

Az pedig a kedvező választások számának és az összes lehető számának a hányadosaként értelmezhető, azaz nem hagyható ki a "nem nyerők" azon része ami nem tetszik valakinek.

,,Vagy esetleg 10 próbálkozással 10 százalékos esélyekkel?'' A konkrét esetben ez is igaz.

Értendő a kezdeti valószínűségekkel. A sorban megjelenő feltételekkel persze ez változik. Még mielőtt valaki ezen akadna fenn:)...

Ez a példa annyira tetszik, hogy konkrét (és nagyon bárgyú) játékot is írok hozzá.

Szóval most 10 függöny, az egyik mögött autó, a többi mögött semmi, és a játékos (ezúttal nem kell Superman, bárki megteszi), választ egyet, azt megmutatják neki, majd ennek tartalmát megkapja, és választania kell még egyet, azt is megnézi, megkapja, és így tovább, amíg el nem fogy.

,,Akkor ezek szerint 100 százalékos valószínűséggel sikerült nyerned?'' Igen. Mindenképpen hazaviszem az autót.

,,Vagy esetleg 10 próbálkozással 10 százalékos esélyekkel? A konkrét esetben ez is igaz.

Melyiket van értelme nyerési esélynek nevezni? Melyik az, amelyik egyszerre a) rövidebb, b) a kimenetelről mindent elmond?

,,100 -ból százszor megnyersz valamit.'' Értem.

,,De ehhez, mind a száz alkalommal kell 10-10 választást elvégezned. Azaz összesen 1000 választásból 100-szor nyersz.'' Értem.

,,Szerinted mekkora az esélye a választásaidnak?'' Nem érdekel.

,,Akkor ezek szerint 100 százalékos valószínűséggel sikerült nyerned?'' Igen. 100-ból 100-szor nyertem. Az 100 százalék.

,,Mindig megnyeri.''

Rendkívüli. Van egy játék. Van Supermannek egy módszere, amivel mindig meg tudja nyerni (mindenféle véletlen alakulásától függetlenül). És szerinted a nyerési esélye 2/3, mert a formuládból 2/3 következik. Tudod, ez az a pont, amikor a formulád, meg az általad nyerési esélynek nevezett valami fabatkát sem ér. Merthogy semmit nem jelent a valóságra vonatkoztatva.

Írod a Mi a matematika? topik [37]-esében, hogy ,,Szóval szerintem, a matematika kell, jó és hasznos, de messze sem olyan elégséges minőségű segédtudomány, mint amit elvárhatnánk tőle, illetve a magas szinten művelőitől.'' Hát, ezek után ne csodálkozz! Számodra azért nem elégséges minőségű, mert azt hiszed, hogy a valósághoz (Superman mindig nyer) egy ostoba interpretáció tartozik (Superman nyerési esélye 2/3). Elmesélem, rosszul hiszed. A valósághoz egy teljesen adekvát interpretáció tartozik (Superman nyerési esélye 1).

,,Az esély és a nyeremény két dolog. Nem összekeverendő.'' Persze hogy nem keverendők össze. De egy értelmes modellben van valami közük egymáshoz. Ha te a 2/3-os nyerési esélyedet elmondod egy bukmékernek, akkor ő ebből hogyan fogja kitalálni, hogy Superman minden játékot megnyer? Áruld már el, kérlek! És nem mondhatod el a bukmékernek a játék szabályait, mert arra nincs ideje, ő ezer lóverseny meg focimeccs fogadásait jegyzi, őt csak egy szám érdekli, amiből ki tudja találni, hogy Superman jó sok játékból kb. hányszor fog nyerni. Ez alapján fogad az emberekkel. Hogy következtessen a te információdból (2/3) arra, hogy Superman mindig nyer (ha nem arra következtet, minden pénzét elveszíti)?

Na egy példa a valószínűség és a 100 százalékos sikerre.

100 -ból százszor megnyersz valamit. De ehhez, mind a száz alkalommal kell 10-10 választást elvégezned. Azaz összesen 1000 választásból 100-szor nyersz.

Szerinted mekkora az esélye a választásaidnak?

Korábban azt írtad, hogy csak a játékok száma és a nyeremények száma érdekel.

Akkor ezek szerint 100 százalékos valószínűséggel sikerült nyerned? Vagy esetleg 10 próbálkozással 10 százalékos esélyekkel?

Oké, még mielőtt továbblépünk, kérlek indokold, a kezdeti felvetést.

Mármint azt, hogy valóban 1/3 <--> 2/3 a választási esély és nem 1/2 <--> 1/2.

Mert ez az alapja a felvetésednek. Indoklás nélkül pedig nem lehet semmire sem alapozni.

Mindig megnyeri. Az esély és a nyeremény két dolog. Nem összekeverendő.

Hogy jobban megérthesd, vegyük azt a példádat amelyben az első körben nem látja az autót.

Választ, majd a műsorvezető új szabály szerint az egyik függönyt kiveszi a játékból, a nem kiválasztottak közül, függetlenül a mögötte lévőtől.

Mekkora eséllyel veheti ki az autót vagy a kecskét?

A műsorvezető két függöny közül választ. Azaz 2/3 eséllyel vannak ott a kecskék, és 1/3 eséllyel az autó.

Ezt felezi, a kettőből egyet kivesz.

1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 esik erre a függönyre autóból és kecskéből összesen.

Azaz 1/2 arányban olyan függöny marad meg amely mögött vagy kecske 2/6 azaz 1/3 eséllyel vagy autó 1/6 eséllyel van.

Nyilván ezzel a kiválasztott függöny mögött ugyanilyen arányok lettek a kivonással, mert két oldalnak együtt 1-et kell adnia.

Mennyit változott a csere feltétele? Cserélnél?