Fórum: Csak logika

Kedves Solaris!

Látom átjöttél ide is utánam, oké. Legyen, válaszolok.

Messze sem olyan bonyolult a választás mint a táblázatodból látszana.

A játékos három közül, egyforma eséllyel választhat,

vagy csak az egy ajtó mögött lévőt,

vagy a másik két ajtó mögött lévőt együtt kéri.

Tehát a választás az ajtók 1/3-át vagy a 2/3-át kéri. A többi csak show elem.

Kedves Alma!

Nem tevődik át semmi és sehová. A "lecsupaszított" játék arról szól, hogy az ajtók 1/3-át vagy cserével 2/3-át kéri-e a játékos.

Nyilván két ajtó kétszeres eséllyel rejti az autót mint egy ajtó. Ilyen értelemben mondható, hogy nagyobb az esély, pontosabban kétszer akkora az esély az autóra ha az egy ajtó helyett a kettőt választja.

A többi csak szemfényvesztő show elem.

És bár igaz, értelmezhető Károly magyarázata is az elmondottaknak megfelelően is, de ismerjük el Péter leírásában jelent meg először ilyen egyszerűen és világosan.

Kedves Gézoo,

Valóban elkerülte a figyelmemet, hogy végül elfogadtad Péter érvelését. Ebben igazad van.

Kedves Gézoo!

Ezt írod:

"(Nyilván a kettő nagyobb esélyt ad, mint az egy ilyen értelemben nem kihagyható a valószínűség.)"

Csak emlékeztetlek rá, hogy kedvenc fórumodban kijelentetted, hogy "A 2 csak relatív nagyobb az 1-nél." és ezt körömszakadtáig védted. Egy kicsit következetlen vagy, nemde?

Kedves Gézoo! Bizony kaptál szép, értelmes, érthető válaszokat és nem csak itt, hanem a Szkeptikus Fórumon is az Érdekes fizikai jelenségek topikban.

Igazán érdemes és nagyyon tanulságos elolvasni mindenkinek a három napos vitát a Monty - Hall paradoxonról. Az igazi probléma ott van, hogy két fórumon folytatott három napos neked szóló magyarázatok után sem érted a problémát. Tanulmányozd ezt a táblázatot:

Lényegében Hajba Károly is ezt írta le az 503-as hozzászólásban, csak akkor még nem fogadtad el:

"Azzal, hogy a játékos választott egy függönyt, azzal a valószínűségi teret két részre osztotta. Az egyik, a választott függöny, 1/3 eséllyel tartalmazza a nyereményt, míg a másik 2 függöny 2/3-addal. No ha ebből kiderül arról, amelyik nem rejti a nyereményt, hogy ott nincs, akkor az a 2/3 teljes egészében a fennmaradó még ismeretlen tartalmú függönyre tevődik át. Nem válthat valószínűségi térrészt. S 3 esetből kétszer valóban ott a nyeremény, míg egyszer a játékos által választott függöny mögött. "

Kedves Mihály!

Az én olvasatomban pedig arról szól a Péter megoldása, hogy hogyan lehet egyszerre két ajtót választani a háromból úgy, hogy ez ne tűnjön fel senkinek.

Viszont amint látom, számodra még mindig nem ez a magyarázat értelme. Vagy mégis, csak nem jól olvastam az írásodat?

Mert ugye ha úgy tennéd fel a kérdést, hogy választhatok, hogy egy vagy egyszerre két ajtó mögötti nyeremény lehet az enyém, akkor nyilván senki sem vitatná a két ajtó választásának helyességét.

Még ha magát a valószínűséget nem is keverjük bele a kérdésbe. (Nyilván a kettő nagyobb esélyt ad, mint az egy ilyen értelemben nem kihagyható a valószínűség.)

Kedves Gézoo,

Nem a vakság a lényeg, hanem az elhatározás. Az, hogy hajlandó vagy-e figyelmesen elolvasni a többiek által leírtakat, és komolyan elgondolkodni rajta, vagy pedig nem. (Az igazi történetben Nelson átlátta, hogy az adott szituációban a visszavonulás a biztos pusztulást jelenti, ezért döntött a csata folytatása mellett.)

* * *

A legrövidebb, teljesen egyértelmű bizonyítás ez:

Ha a függönyök között azonos valószínűségel választasz, vagy ha a műsorvezető 1/3-1/3 eséllyel helyezi az autót valamelyik függöny mögé, akkor elsőre 1/3 esélyed van az autó megtalálására, és ezt nem változtatja meg az, hogy ezek után hogyan kavar a játékvezető. Tehát 1/3 és 2/3.

De ezt már nyilván több fórumon olvastad.

Kedves Mihály! Na azért a szép és egyértelmű nem ugyanaz mint a jó, de vitatható. És ez nem félig és nem is a teljes vakság kérdése.

Az elmúlt napokban sok fórumon nagyon sokan hozzászóltak a kecske kérdéshez. Nagyon sok téves vagy téves elemeket is tartalmazó válasz született. És igen, voltak a tiedéhez hasonló jó, de feltételezéseket is megengedő válaszok is. Egyébként a "tegyük fel" kezdetű magyarázatok vagy a "mi a paradoxon" magyarázatok egyike sem felel meg matematika elveinek. A "nézzük meg, milyen lehetséges összes eset lehetséges", válaszok mindegyike sem feltétlenül meggyőző.

Arról már nem is szólva, hogy a wikipédián és több magyarázó oldalon sincs egyértelmű magyarázat.

Péter levezetése egyben arra is rámutatott, hogy szó sincs paradoxonról. Egyszerűen az első választás akár elhagyható, miután minden csere a "másik kettő" ajtó választásáról szól. Elsőre is kijelölhető lenne két választott ajtó és ekkor nincs semmiféle ellentmondás a feltételek és az eredmény között.

Minderre tekintettel nagyon szépen kérlek ne vedd bántónak, hogy örömmel fogadtam Péter megoldását!

"Igazából, a sok különféle magyarázatból azt láthattam, hogy senki sem tud szép, világos, egyértelmű választ adni."

Nelson admirális egyik kedvenc időtöltését űzi: a forgalommal szemben hajózik. A hídon mellette álló Foley kapitány folyamatosan pánikol.

-- Uram, nem látja, hányan jönnek szembe? Egy bizonyítás feltételes valószínűségekkel, meg egy bizonyítás feltételes valószínűségek nélkül, meg egy másik bizonyítás feltételes valószínűségek nélkül, meg egy, a játék állapotainak gyakoriságát ábrázoló fa, meg az állapotok gyakoriságait összesítő táblázat, meg a korábbi játékok statisztikái, meg az összes véletlenszám-generátor, meg egy dobókockával végzett kísérlet, meg egy....

Nelson erre odafordul Foleyhoz:

-- Szakítsam félbe az akciót? Hát, átkozott legyek, ha megteszem. Tudja Foley, csak egy szemem van, megvan hát a jogom rá, hogy időnként vak legyek.

Azzal vak szeméhez emeli a távcsövet, és felkiált:

-- Tényleg nem látok semmilyen értelmes magyarázatot!

Igazából, a sok különféle magyarázatból azt láthattam, hogy senki sem tud szép, világos, egyértelmű választ adni.

Még eleinte Péter sem ilyen válaszokat adott. Nem mondom, hogy ő már ne tudta volna elsőre jól.

Csak számomra olyan volt a magyarázat, mint anno Veszprémben az Ági néni a törpékkel és a virágokkal.

Szegény két órán át egyre elkeseredettebben magyarázta a kék törpéket és a piros virágokat, de csak bámultunk rá meredten.

Aztán szünetben valaki megjegyezte, hogy lehet az is, hogy a halmazokról beszélt? Szegény Ági néni majdnem beesett a katedra mögé ahogy ezt a felvetést meghallotta.

Kiderült, hogy azt hitte, hogy nem ismerjük a halmazokat. És csak azt látta, hogy egyre jobban mindenki lemerevedik, de senki sem érti mit akar mondani nekünk. A végén már tisztára pánikba esett és ő maga is észrevette, hogy össze-vissza keveri a mondanivalóját.

Viszont most szerencsére teljesen más volt a folytatás.

Péter egy szemléletes, egyszerű és egyértelmű megoldással átvágta a gordiuszi csomót.

Az az érzésem, hogy ha ezt sokan olvassák majd, akkor senki sem fog hibás felbontású táblákkal, egymás valószínűségeinek "átszállásával" vagy éppen a programok szimulálta eredményekkel operálni. Vagy a "Hidd el így van!"; "Lásd be, sokan elismerik!" Szövegekkel.

Mint írtam, nekem nem a "matekos megoldás" volt a célom, tisztában vagyok vele, hogy egy szimuláció nem bizonyítás. Több oldalon keresztül próbálkoztak ezzel a többiek, véleményem szerint teljesen világos és egyszerű magyarázatok is születtek, mégsem győztek meg téged. Ezért gondoltam, hogy ha látod, hogy "elég sok" élőben lejátszott játék után (csak hogy az rnd függvényeket is kiküszöböljük...) mi a helyzet, akkor azzal legalább annyit elérek, hogy átgondold, talán mégsem jó a te megoldásod.

De ha végre sikerült Péter legutóbbi magyarázatából megértened, akkor annak örülök.

És természetesen Nagyon Szépen Köszönöm a munkádat!

Kedves Kontrakció!

Javaslom nézd meg Péter legutóbbi magyarázatát! Érdemes!

A szimulációk Péter megoldásának közelébe sem mehetnek. (RND és más problémáik következtében.)

Azt hiszem kár is több szót vesztegetnünk arra ami ennyire egyszerű és világos magyarázattal egyértelmű.

De ettől függetlenül, köszönöm a közreműködésedet!

Bocs, a végén rosszul fogalmaztam.. De remélem így is értetted.

Ez a megoldásod egy igazi matematikus megoldása! Nagyon tatszik!

Nagyon fogós!

Első ránézésre kapásból elfogadom. (Gondolom más is.)

Második ránézésre, érvényes rá a párosok 1/3-1/3-1/3 esélye.

Harmadik ránézésre, érvényes rá s sorosan 2/3 esélyek sorozata. (Mert közben van 1/3 esély is.)

Negyedik ránézésre, érvényes rá a kk, ak, ka párok egyikéből a kecske megmutatása.

Ötödikre csak egy kérdésem maradt:

Miért nem az áll a wikipédiában? (Na és a többi magyarázó oldalon? )

Bár igaz, ez se nem a te se nem a Péter "bűne". Viszont sürgősen le kellene cserélni azt a sok maszlagot erre a magyarázatra!

Matekos megoldással már többen próbálkoztak, egyiket sem fogadtad el. A számítógépes szimulációt sem fogadod el. Ezért gondoltam, hogy akkor egy "valódi" szimuláció talán meggyőz, de ha nem, hát nem.

De már abban sem vagyok biztos, hogy akkor számodra mit jelent az, hogy 1/2 valószínűséggel nyerünk a cserével, és 1/2 valószínűséggel vesztünk (mert ugye te ezt állítod). Szóval, neked ez mit jelent pontosan? Nem azt, hogy ha "elég sok" játékot lejátszunk és mindig cserélünk, akkor kb. a felében fogjuk megnyerni az autót?

Hogyne 10e22 az elég nagy szám ahhoz, hogy a véletlenekből valószínűséget csináljon.

Bár már pár száz ezres tesztnél is eléggé jó szórásokat kapunk.

Ne érezd magad csalódottnak! Ügyes vagy! Csak mint írtam, én matekos megoldást szeretnék látni.

Nem egészen. Számoljuk végig!

Kétféle stratégiát hasonlítunk össze. A) Amikor azt kérjük, amit választottunk:

B) Amikor a másik kettőt kérjük, nem azt, amit választottunk:

A) stratégia: az összes eset 9, a kedvező eset 3, a nyerési esély 1/3. B) stratégia: az összes eset 9, a kedvező eset 6, a nyerési esély 2/3.

Tehát ha az egész A) táblázatot elfelejtjük, és szimplán a B) szerint játszunk (persze nem tudjuk, hol az autó), akkor 2/3 eséllyel nyerünk.

Egyetértünk-e ebben?

Jó, akkor tisztázzunk valamit. Szerinted ha a helyes arány itt a 2/3-1/3, akkor 9 játék után pontosan 6-szor kellene nyernünk a cserével, és 3-szor veszítenünk?

(Azt aztán már végképp nem tudom, miért kellene "kilences ciklusokat" néznünk. De úgy látom, ezt már lentebb próbálták neked magyarázni.)

Még egy kérdés: a nagy számok törvénye mond neked valamit?

Kedves Kontrakció! Nagyon szépen köszönöm a fáradozásodat! Bizonyára így van 60 dobás alatt. Sőt még akár 1000 dobás alatt is lehet ilyen az eredmény.

DE azt is megnézted, hogy 9 dobásnál mi volt a helyzet?

Aztán a második, és a harmadik, és az összes kilences ciklusban?

Mindenütt azonosan 1/3-2/3 volt a nyeremény? És a fél ciklusok között is? Kétlem.

Na most őszintén! Hanyadik dobás után lett nagyobb először, a cserélős módszer eredménye a nem cserélősénél?

Kedves Gézoo,

Csak a te kedvedért megpróbáltam "élőben" szimulálni a dolgot (végigkövettem a vitát az elejétől kezdve, úgyhogy sok reményt nem látok rá, hogy ez meggyőzzön, ha eddig semmi nem győzött meg, de hátha).

Egy dobókocka segítségével döntöttem el, melyik helyen legyen az autó (1,4->1. helyen, 2,5->2. helyen, 3,6->3. helyen). Ezután ugyanezzel a módszerrel választottam egy "ajtót" a három közül. Ha kecskés ajtót választottam, akkor ugye a másik kecskés ajtó kerül megmutatásra, és a cserével nyerek. Ha az autós ajtót választottam, akkor feldobtam egy érmét, fej esetén a baloldali kecske került megmutatásra, írás esetén a jobboldali - bár ez egyébként mindegy is, hiszen ilyenkor a cserével mindenképp vesztek.

60 játékot játszottam le, többre nem volt energiám. 44-szer nyertem a cserével, 16-szor vesztettem. Nyilván 60 játék még nem olyan sok, de talán elhiszed, hogy ha többet játszottam volna le, akkor még közelebb lettünk volna a 2/3-1/3 arányhoz. (Akár ki is próbálhatod.)

Nyilván egyetlen esetet megnézve nem esélyről, hanem véletlenről beszélhetünk. Ilyen véletlen eredménye akármi is lehet.

Látszatra a két függönnyel kétszer akkora az esély, de ilyen nincs.

Sok-sok próbánál már beszélhetünk esélyekről, és a statisztikával ellenőrizhetjük is a jelzett esély helyességét.

Ha nagyon sokszor választunk egy függönyt és nem cserélünk, akkor éppen annyiszor nyerhetünk, mint ha nagyon sokszor nem cserélünk.

Ugyanis a kétfüggönyös változatok száma éppen annyi mint az egyfüggönyösöké.

Na akkor [613] még egyszerűbben.

1. A játékos választ egy függönyt. ( Fel is írhatja egy papírra, de nem szól semmit )

2. Mondjuk az 1-et választotta. Ekkor azt mondhatja: - a) kérem ami az 1-es föggöny mögött van. - b) kérem ami a 2-es és 3-as függöny mögött van.

Mekkora eséllyel nyeri meg az autót az a) és a b) esetben?

Nos, a soros események is kielégítik a statisztikát.

Ha folyamatosan mindig megmarad az első választásánál, akkor végesen sok választást lejátszva éppen 1/3-1/3-1/3 eséllyel választhat ajtót,

éppen úgy mint amikor a cseréket ismételgeti ugyanennyiszer, ez esetben is 1/3-1/3-1/3 a párokra jutó valószínűség.

Ennek valószínűleg az az oka, hogy az 1/3 - a negatív szimmetria párja a 2/3-nak.