[109] Hajba Károly | 2003-11-28 13:14:36 |
Kedves László!
A 24/a feladattal foglalkoztam egy kicsit, s mivel találtam rá példát, így a válasz: lehetséges (pl.: 168 - 861). Ha ragaszkodunk a háromjegyű számhoz, akkor |A-C|=7, tehát a számokpárok 1 és 8-cal ill. 2 és 9-cel kezdődhetnek.
(1) ABC -> 100*A+10*B+C=7*N
(2) CBA -> 100*C+10*B-C=7*M
(2)-(1) 99*(A-C)=7*(M-N)
Mivel 99 nem osztható 7-tel, továbbá M-N oszthatósága jelen esetben közömbös, így A-C mindenképpen osztható 7-tel. Ebből az is következik, hogy M-N osztható 99-cel.
Más a helyzet a 24/b feladattal. Ha a fenti levezetést minden n-re elvégezzük, találunk 7-tel osztható első számot pl.: 9009. Ekkor egyéb vizsgálatok is szükségesek, de most nincs időm rá.
HK
Ui.: A CBA egyes kis- és középboltok egyfajta országos tömörülése, felénk is van(/volt?).
|
Előzmény: [107] lorantfy, 2003-11-28 00:45:42 |
|
[108] nadorp | 2003-11-28 12:24:24 |
Kedves László !
Gondolom, a 24.b feladatban a kérdést úgy értetted, hogy bármely n-re léteznek-e megfelelő A,B,C számjegyek. Én arra jutottam, hogy ha megengeded az A=0 vagy C=0 eseteket, akkor csak n=6k+4 esetén nincs megoldás, ha nem, akkor n=6k és n=6k+4 esetén nincsenek megfelelő számok. A megoldás leírásával még várnék. Viszont csatlakoznék egy hasonló feladattal:
24.c feladat: Keressünk olyan A pozitív egész számot, melyre igaz, hogy önmaga után leírva még egyszer (pld A=12264 esetén 1226412264) a kapott szám négyzetszám.
|
Előzmény: [107] lorantfy, 2003-11-28 00:45:42 |
|
[107] lorantfy | 2003-11-28 00:45:42 |
24.a feladat: Legyenek ABC és CBA tizes számrendszerbeli számok, ahol A,B,C különböző számjegyeket jelölnek. Lehetséges-e, hogy mindkét szám osztható 7-tel?
24.b feladat: Legyenek ABB...BBC és CBB...BBA tizes számrendszerbeli számok, ahol "A" és "C" számjegyek között n darab "B" számjegy áll és A,B,C különböző számjegyeket jelölnek. Lehetséges-e, hogy bármely n-re mindkét szám osztható 7-tel?
Megjegyzés1: Sajnos felülvonást nem tudok húzni, ha valaki tud, kérem írja be a TeX témába!
Megjegyzés2: Mifelénk az ABC áruházakból CBA-k lesznek. Erről jutott eszembe ez a feladat.:-)
|
|
|
[105] oroszgy | 2003-11-25 15:09:39 |
Kedves Jenei Attila!
gyök2(TeX még folyamatban...) hosszúságú szakaszt lehet kapni ha egy 1 egység oldalú négyzetnek behúzzuk az átlóját.
|
|
[104] lorantfy | 2003-11-24 12:00:57 |
Kedves Károly!
Köszönet a kimerítő megoldásért! Szépen rámutattál miért nem lehet 45 fokkal forgatni - minthogy a sarkokban csak páros számok állhatnak. (Én a tükrözésről megfeledkeztem.)
|
Előzmény: [103] Hajba Károly, 2003-11-24 10:08:25 |
|
[103] Hajba Károly | 2003-11-24 10:08:25 |
Megoldás a 23. feladatra:
Legyen (S) a négyzetbe írandó számok összege és (K) az egy sor-oszlop-átló összege. Végezzük el a következő műveletet:
A két átló kétszereséhez adjuk hozzá a középső oszlop és sort és vonjuk ki belőle a szélső oszlopokat és sorokat. Így egyrészről a középső elem 6-szorosát, mésrészről 2*K-t kaptunk. Tehát a középső elem ill. -cel egyenlő.
A mi esetünkben a középső szám 5 és K=15. Mivel mindkét szám páratlan, így az egy sor-oszlop-átlóba írandó másik két szám vagy mindkettő páros vagy mindkettő páratlan. Továbbá az oszlopok és sorok szélső elemeinek összege páratlan, ez vagy 3 páratlan, vagy 2 páros és 1 páratlan szám összege. Ebből következik, hogy a 4 páros szám csak a sarkokba kerülhet.
A bűvös négyzetnél a nem egy sor-oszlop-átlóba írt 3 szám, mely egyéb keretfeltételeknek is megfelel, egyértelműen meghatározza a többi számot. Így a négy sarokszámot kétféle irányultsággal tudom beírni, hogy ne lehessen egymásba forgatni. Ha a tükrözéssel kialakult állapotot is azonosnak tekintjük, csak egy megoldás létezik. Tehát a megoldás az alábbi és a tükörképe:
Hajba Károly
|
Előzmény: [102] lorantfy, 2003-11-23 09:15:26 |
|
[102] lorantfy | 2003-11-23 09:15:26 |
23.a) feladat Írd be az 1,2,3,4,5,6,7,8,9 számokat egy 3x3 bűvös négyzetbe!
(Úgy, hogy a sorok, oszlopok és átlók összege is azonos legyen.)
.... |
. |
. |
. |
.... |
. |
. |
. |
.... |
|
23.b) feladat Hányféle beírás lehetséges, ha az egymásba forgathatókat nem tekintjük különbözőnek?
(Elemi forgatás (45 fok): amikor a főátló (....) oszlopba, a másik sorba megy át.)
|
|
[101] Hajba Károly | 2003-11-21 13:46:46 |
Kedves Lajos!
A pozitív egész számok tartományában értelmeztem és a 2. sor első számának 1-gyel kell kezdődnie és legalább 2 jegyű. Továbbá mind a 8 összeg egyenlő.
László pontosítása után természetesen csak egy létezik. A középső száma: 107, összege: 321
Hajba Károly
|
Előzmény: [99] Lóczi Lajos, 2003-11-21 11:06:19 |
|
[100] lorantfy | 2003-11-21 11:28:15 |
Kedves Lajos és Károly!
Elnézést, de elfelejtettem írni a BŰVÖS NÉGYZET-hez, hogy a pontok csak helykitöltő szerepet játszanak, különben összeesik a TeX tábla. Szóval gondom volt az üres rekeszekkel és így tudtam gyorsan megoldani. A beírt számok: 1, 19, 98. (Az 1 számjegy mellett szintén csak "helynövelő" a pont.)
|
Előzmény: [99] Lóczi Lajos, 2003-11-21 11:06:19 |
|
[99] Lóczi Lajos | 2003-11-21 11:06:19 |
Kedves Onogur!
Attól függ, hogyan értjük a kérdést.
Pontosan milyen feltételekkel kaptál kilenc megoldást? Gondolom, a négyzet sor- és oszlopösszegei ugyanaz a szám, de a fő- és mellékátlók összege is ez? A pontok egy számjegyet jelölnek? Negatív értékek megengedettek?
|
Előzmény: [98] Hajba Károly, 2003-11-21 10:21:01 |
|
|
[97] SchZol | 2003-11-20 16:23:38 |
Kedves Suhanc!
Igen a nehezítésben meghagytam a feltételt, és van rá megoldásom! Egyébként, ha benézel a Biliárdgolyók és más méricskélős feladatok című téma alá, ott megtalálod Lorantfy megoldását.
Üdv, Zoli
|
Előzmény: [96] Suhanc, 2003-11-20 14:54:09 |
|
[96] Suhanc | 2003-11-20 14:54:09 |
Üdvözlet! Ha jól láttam, a 15. feladatra még senki nem írt megoldást. Van egy ötletem, de az megszegi azt a kikötést,ami még az 5. feladatban szerepelt, névszerint: minden ládában 1000 pénzérme van. Sch Zolitól kérdezném: a nehezítésben meghagytad ezt a feltételt? Ha igen, van megoldásod rá?
|
|
[95] lorantfy | 2003-11-19 22:39:21 |
Egy könnyed kis feladat. A 7. osztályos fiamnak volt valamelyik versenyen.
Töltsétek ki a bűvös négyzetet!
|
|
|
[93] jenei.attila | 2003-11-19 13:00:17 |
Úgy gondolom, ez a feladat nem különbözik a négyzet szerkesztésétől, ugyanis mindkét esetben adott egység mellett a négyzetgyök(2) hosszúságú szakaszt kell megszerkeszteni csak körző segítségével. Bármelyik feladat megoldása megoldja a másikat is.
|
Előzmény: [92] Hajba Károly, 2003-11-19 00:54:04 |
|
|
[91] Kós Géza | 2003-11-18 22:50:54 |
A 18-szöges megoldást is nézzük meg, szerintem nagyon tanulságos.
A szabályos 18-szögnek két nagy előnye van. Az egyik, hogy az átlók és oldalak közötti szögek mindig a 10o többszörösei, ezért esélyünk van megtalálni a feladat ábráját az átlók között. A másik, hogy sok olyan pont van a belsejében, ahol nagyon sok átló megy át. Az ábrán az E egy ilyen pont.
Legyen E először csak az AM átmérő és DJ metszéspontja. A DJ tükörképe az AM egyenesre KG, tehát KG is átmegy E-n. A KG egy nagyon speciális átló, a hozzá tartozó középponti szög éppen 120o. Ebből következik, hogy az O és F pontok egymás tükörképei a KG átlóra. Az OM egyenes tükörképe a KG átlóra éppen FB, mert O tükörképe F, és az irányok is stimmelnek. Tehát FB is átmegy E-n. Végül HL az FB tükörképe az AM átmérőre, tehát ez is átmegy E-n.
|
|
Előzmény: [63] Kós Géza, 2003-11-13 14:25:51 |
|
[90] lorantfy | 2003-11-18 20:45:43 |
Kedves Péter Pál!
Gratulálok! Jó a megoldás. Annyi vari lehet, hogy az első menetben egy kannibál és egy fehérember megy át és a fehérember hozza vissza a csónakot. Én már előre megcsináltam táblázatban, hogy gyakoroljam a TeX táblát:
3K |
3F |
|
|
|
2K |
2F |
F,K > |
|
|
2K |
2F |
< F |
K |
|
|
3F |
K,K > |
K |
|
|
3F |
< K |
2K |
|
K |
F |
F,F > |
2K |
|
K |
F |
< K,F |
K |
F |
2K |
|
F,F> |
K |
F |
2K |
|
< K |
|
3F |
K |
|
K,K > |
|
3F |
K |
|
< K |
K |
3F |
|
|
K,K > |
K |
3F |
|
|
|
3K |
3F |
|
|
Előzmény: [89] Pach Péter Pál, 2003-11-17 21:37:15 |
|
[89] Pach Péter Pál | 2003-11-17 21:37:15 |
Megoldást írok a 18. feladatra:
1. lépés: Átmegy két kannibál, egyikük a túlparton marad, másikuk visszahozza a csónakot.
2. lépés: Ugyanez még egyszer.
3. lépés: Átmegy két fehérember, egyikük ott marad, másikuk viszont egy kannibál társaságában visszatér.
4. lépés: Átkel a még hátralévő két fehérember, a túlparti kannibál visszaviszi a csónakot.
5-6. lépés: Most már csak az van hátra, hogy a kannibálok is átkeljenek. Először átkelnek ketten, majd egyikük visszmegy a harmadikért.
Könnyen végiggondolhatjuk, hogy a kannibálok az átkelés során sosem kerültek többségbe. Ez azt jelenti, hogy mindannyiukat sikerült – épségben – átjuttatnunk a túlpartra.
|
Előzmény: [79] lorantfy, 2003-11-16 17:50:10 |
|
[88] Pach Péter Pál | 2003-11-17 21:34:00 |
Trükkös a megoldásod, BrickTop. Egyébként nem szükséges, hogy a két ponton átmenő egyenes is adott legyen. Leírok egy megoldást, ami csak a két pont (és természetesen a körző megfelelő használatának) ismeretét feltételezi
A 20. feladat II. megoldása következik: Könnyen bizonyítható, hogy körző segítségével (vonalzó nélkül) tudunk invertálni egy pontot egy olyan körre, aminek a középpontját is ismerjük. (Ezt először külső pontra érdemes belátni.) Aki nem ismeri, gondolkozzon el rajta.
A két pont, amihez négyzetet akarunk rajzolni, legyen A és B!(A keresett négyzet ABCD.) AB-hez háromszögrácsot rajzolva megkapjuk A tükörképét B-re: E-t. Most E-t invertáljuk az A középpontú, AB sugarú körre, a képe az AB szakasz felezőpontja, O lesz. Az O középpontú, sugarú kör legyen k. C-t megkaphatjuk a B középpontú, AB sugarú kör, és a B-ben AB egyenesére állított merőleges egyenes (egyik) metszéspontjként. Ha ezt a két alakzatot invertáljuk k-ra, akkor az egyenesből is kör lesz, és így már meg tudjuk szerkeszteni metszéspontjukat. A körünk képe az AE’ átmérőjű kör, ahol E’ az E pont képe, ugyanis O illeszkedik AE-re. (Ezt a kört meg tudjuk rajzolni, hiszen felezőpontját megszerkeszthetjük ugyanúgy, ahogy AB felezőpontját megszerkesztettük. Az egyenesünk képe a BO átmérőjű kör.
A két kapott kör metszéspontjai közül az egyik C’, vagyis C képe. Ha C’-t invertáljuk k-ra, akkor megkapjuk a keresett C pontot. Természetesen D ugyanígy kapható meg.
A 20. feladat speciális esete a Mohr-Mascheroni-tételnek, ami a következő állítást bizonyítja: „Minden körzővel és vonalzóval elvégezhető szerkesztés elvégezhető csak körző segítségével is.” Erről, és még számos híres matematikai problémáról olvashatunk Heinrich Dörrie: A diadalmas matematika c. könyvében. (Szóval ez most egyben könyvajánlás is!) A könyvet egyébként az egyik matektanárunk, Hraskó András ajánlotta.
|
|
Előzmény: [87] BrickTop, 2003-11-17 20:48:41 |
|
[87] BrickTop | 2003-11-17 20:48:41 |
20. feladat, megoldás: Adott A és B pont.
1) A-ból és B-ből körívezünk AB-vel --> C metszéspont.
2) A-ból és C-ből körívezünk AB-vel --> D metszéspont.
3) A-ból és D-ből körívezünk AB-vel --> E metszéspont.
4) E-ből körívezünk BD-vel --> F metszéspont az AB szakaszon.
5) B-ből körívezünk BE-vel, D-ből körívezünk FB-vel --> G a két körív metszéspontja (a két körív valójában érinti egymást).
6) F-ből körívezünk EG-vel --> a keletkezett körív és a B középpontú, AB sugarú körív (ld. 1)) metszéspontja a négyzet harmadik pontja, H.
7) H-ből körívezünk AB-vel :) --> a keletkezett körív és az A középpontú, AB sugarú körív (ld. 1)) metszéspontja a négyzet negyedik pontja.
Kicsit több, mint egy éve jöttem rá erre a megoldásra. Most megprobáltam szerkesztéssel ellenőrizni, nem nagyon jött ki, de biztos azért, mert bénán szerkesztek. Elméletileg szerintem jó. Bizonyítást nem írtam, mert ha megvan az ábra, már nagyon egyszerű belátni, hogy a négyzet pontjait kapjuk. Ábrát nem készítettem, mert lusta voltam (órákig tartana egy ilyen ábrát megcsinálni az én programarzenálommal), és mert az ábra lelövi a poént. Így aki meg akarja oldani a feladatot, egyszerűen nem olvassa el a szerkesztés menetét.
Remélem nem néztem el semmit és nem vesztegettem el negyed órát egy hibás szerkesztés leírásával :)
|
Előzmény: [86] SchZol, 2003-11-17 20:07:20 |
|
|
[85] BrickTop | 2003-11-17 18:32:42 |
A 20. feladatban a 2 pont nincs véletlenül összekötve? Mert nekem van megoldásom, de csak ha egy szakasz van megadva (tehát 2 pont ami össze van kötve).
|
Előzmény: [84] SchZol, 2003-11-17 17:14:16 |
|