[1248] Lóczi Lajos | 2006-04-24 02:40:11 |
231. feladat.
Határértékben milyen alakúak az egymás alá írt binomiális együtthatók 10-es számrendszerben?
Pontosabban fogalmazva: valamely n pozitív egész esetén írjuk egymás alá az (a+b)n kifejtésekor kapott együtthatókat, pl. n=16 esetén
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1
(Készítsük ezt el nagyobb és nagyobb n-ekre is.) Ha most fejünket 90 fokkal jobbra döntjük és hunyorítunk, egy lapos oszlopsor rajzolódik ki az ábrán. Adjuk meg ennek a pontos alakját, ha n tart a végtelenbe.
A konkrétság kedvéért még pontosabban fogalmazva ("normálva"): tegyük át az ábrát a szokásos koordinátarendszerbe, úgy, hogy a [0,1] szakaszt n egyenlő részre felosztjuk, majd a k-adik (k=0,1,2,...,n) osztópontnál felmérjük azt a törtet, melynek nevezője éppen n, számlálója pedig 10-es számrendszerbeli jegyeinek száma. Így egy véges ponthalmazt nyerünk [0,1] felett minden egyes n esetén. Kérdés tehát, hogy e ponthalmaznak mi lesz a határértéke. Válaszként egy [0,1]R valós függvényt várok.
|
|
[1247] Csimby | 2006-04-22 00:07:26 |
230. feladat Bizonyítsuk be, hogy:
a.) ha 2p előáll legfeljebb 4 db. négyzetszám összegeként, akkor p is.
b.) ha 3p előáll legfeljebb 4 db. négyzetszám összegeként, akkor p is.
(p prím)
|
|
[1246] Lóczi Lajos | 2006-04-08 23:05:50 |
229. feladat.
a.) Adjunk példát olyan f(x,y) kétváltozós valós függvényre, hogy valamely a,b,c,d véges határok mellett nem létezik az kettős Riemann-integrál a téglalapon, de létezik az iterált kétszeres integrál.
b.) Adjunk példát olyan f(x,y) kétváltozós valós függvényre, hogy valamely a,b,c,d véges határok mellett létezik az kettős Riemann-integrál a téglalapon, de nem létezik az iterált kétszeres integrál.
c.) Adjunk példát olyan f(x,y) kétváltozós valós függvényre, hogy valamely a,b,c,d véges határok mellett léteznek ugyan az és iterált kétszeres integrálok, de nem egyenlőek.
|
|
[1245] Lóczi Lajos | 2006-04-08 22:04:46 |
Sajnos nem világos még mindig. Veszem az f(x)=1, g(x)=x.arctg(cos x) párt. Felírom: . Itt a jobboldali integrál 0 lesz az azonosság miatt.
Hogyan marad tehát bent a jobb oldalon a bal oldali integrál, honnan jön a többi tag és a 2-es szorzók?
|
Előzmény: [1244] hobbymatekos, 2006-04-08 18:11:15 |
|
|
[1243] Lóczi Lajos | 2006-04-08 15:04:38 |
Nem egészen értem, hogyan jöttek ki ezek a formuláid. Gondolom, a parciális integrálás képletét használod benne:
Hogyan lesz ebből az, amit írtál?
Amúgy ezzel a gondolatmenettel a Riemann-Stieltjes integrál teljesen kiküszöbölhető, a közönséges Riemann-integrál parciális integrálási képletét alkalmazzuk az f(x)=x és g(x)=arctg(cos x) párra, és használjuk fel, hogy a tükörszimmetria miatt .
|
Előzmény: [1242] hobbymatekos, 2006-04-08 10:13:01 |
|
|
|
[1240] Lóczi Lajos | 2006-04-07 17:52:00 |
Egy válasz: mivel nincs megmondva, mi a másik g függvény, ami generálja a Riemann-Stieltjes integrált, ezért vehetjük azt, hogy g(x)=x. Ekkor az Riemann-Stieltjes integrál a közönséges Riemann-integrál lesz, és az [1205]-ben leírt megoldásom megoldja a 228-as feladatot.
|
Előzmény: [1233] hobbymatekos, 2006-04-06 22:25:57 |
|
[1239] Lóczi Lajos | 2006-04-07 11:33:09 |
Kíváncsi vagyok erre. (Mit választasz a másik g függvénynek, ami a mértéket generálja -ben? És vajon milyen formula az, ami ki tudná hozni az eredményt... Sem a helyettesítéses integrálás, sem a parciális integrálás képletét Riemann-Stiletjes integrálokra nem látom, hogy miért segítene itt.)
|
Előzmény: [1238] hobbymatekos, 2006-04-07 09:38:41 |
|
|
[1237] Lóczi Lajos | 2006-04-07 05:16:17 |
"Valahogy úgy érzem, a határozott integrálok nem igazán érdekesek, mint számértékek" -- ennek az érzésnek ellentmond például a valószínűségszámításbeli bolyongás különböző dimenziókban. Pólya óta tudjuk, hogy 1 és 2 dimenzióban 1 valószínűséggel visszatér a bolyongó részecske a kiindulási pontba. 3 dimenzióban viszont pozitív valószínűséggel nem tér vissza a részecske a kiiindulási pontba. Ezek a tények pedig bizonyos (többszörös) határozott integrálok értékén múlnak.
Eléggé meglepő, hogy míg
illetve
addig
és emiatt viselkedik másképp a részecske 1 és 2 dimenzióban. Itt nem utolsó szempont kifejezni tudni a harmadik integrál pontos értékét "elemibb" kifejezések segítségével.
|
Előzmény: [1233] hobbymatekos, 2006-04-06 22:25:57 |
|
|
|
|
[1233] hobbymatekos | 2006-04-06 22:25:57 |
Sziasztok Valahogy úgy érzem, a határozott integrálok nem igazán érdekesek, mint számértékek. Hiszen azt manapság könnyedén numerikus módszerekkel a szükséges pontosságig meg tudjuk határozni. Tanulságosabb az integrál létezése bizonyitása és a primitiv fv. meghatározása (hacsak zárt alakban megadható.) 222.feladat nagyon "szép".
228. feladat: a 222. feladat Riemann-Stieltjes integrálként
|
|
|
|
[1230] Lóczi Lajos | 2006-04-06 12:39:21 |
A megoldás (ha létezik, a konvergenciát nem ellenőriztem) csak lehet.
(Utólag a Gyemidovics-példatárban megkeresve ez a 3792-es feladat, és ő Frullani-formulának hívja az általánosítást.)
|
Előzmény: [1229] nadorp, 2006-04-06 11:33:45 |
|
[1229] nadorp | 2006-04-06 11:33:45 |
Erről jutott eszembe a következő.
227.feladat. Adott pozitív , esetén határozzuk meg az
integrál értékét. ( A példa még tovább ragozható, az arc tg függvény helyett bizonyos differenciálható f függvényeket véve. A 225. feladat is visszavezethető ilyen típusú integrálra )
|
Előzmény: [1228] Lóczi Lajos, 2006-04-05 21:12:15 |
|
[1228] Lóczi Lajos | 2006-04-05 21:12:15 |
226. feladat. Adott nemnegatív esetén határozzuk meg az
integrál értékét.
|
|
|
|
|
[1224] hobbymatekos | 2006-04-02 16:56:40 |
Sziasztok
röviden 1203, 1210, 1213,1214 re:
Azt kell belátni,
|
|