Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1392] Lóczi Lajos2006-10-03 22:36:06

Itt a hivatkozásokat is érdemes megnézni

Ez is érdekes, amikor g=exp

Előzmény: [1391] Lóczi Lajos, 2006-10-03 22:22:25
[1391] Lóczi Lajos2006-10-03 22:22:25

A témával minimum fél évszázada foglalkoznak, javaslom a következő keresőszavakat: "fractional iteration" és "iterative roots", lesz vagy 2000 találat.

Előzmény: [1390] Cckek, 2006-10-03 21:52:22
[1390] Cckek2006-10-03 21:52:22

Sajnos a könyv számomra nem hiszem, hogy hozzáférhető, én Erdély-i vagyok és itt-a netten kivül-elég nehéz szakirodalomhoz hozzájutni

Előzmény: [1389] jonas, 2006-10-03 21:44:21
[1389] jonas2006-10-03 21:44:21

Nos, ezt a függvényes kérdést a Knuth 2. kötet tárgyalja a hatványsoroknál. Nem tudom a részleteket fejből, úgyhogy vedd ki valahonnan a könyvet, ha érdekel.

Előzmény: [1388] Cckek, 2006-10-03 21:28:00
[1388] Cckek2006-10-03 21:28:00

Ugyanaz a kérdésem, csak most függvényekre. Az-az milyen feltételeket kell teljesítsen egy g függvény, hogy létezzen egy f függvény, úgy hogy fof=g

Előzmény: [1386] Lóczi Lajos, 2006-09-28 19:11:31
[1387] Cckek2006-09-28 19:27:32

Köszi, bár ez egy kicsit lesulytott, hogy mennyire le van tárgyalva a dolog, és én napokig kinlódtam az n=2 esettel is. Mégegyszer köszi.

Előzmény: [1386] Lóczi Lajos, 2006-09-28 19:11:31
[1386] Lóczi Lajos2006-09-28 19:11:31

Ilyen klasszikus témával már sokan foglalkoztak, pl. itt, itt vagy itt.

A Google is segít.

Előzmény: [1385] Cckek, 2006-09-28 18:47:44
[1385] Cckek2006-09-28 18:47:44

Nos, a következő probléma érdekel: milyen feltételeknek kell eleget tegyen egy n-edrendű, valós elemű négyzetes A mátrix, hogy létezzen olyan X mátrix melynek a négyzete A. n=2 esetben letárgyaltam,és elég érdekes feltételeket kaptam. Érdekel, hogy foglalkozott-e már valaki ezzzel a témával, és mikor számítható ki egy mátrix n-edik 'gyöke'? Köszi

[1384] epsilon2006-09-24 22:28:24

Az [1369] és az utánna leírtakra visszatérve, érdekes, hogy a következő "esztétikus" dupla egyenlőtlenség "gyengébb" az összes felsoroltnál (kivéve a Wallisnál leírtat), és ez sem bizonyítható indukcióval, csak elemi "trükkel":

[1383] Lóczi Lajos2006-09-24 21:49:55

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma/29/

Néhány egyenlőtlenség az illető függvényről.

Előzmény: [1382] Lóczi Lajos, 2006-09-24 21:37:48
[1382] Lóczi Lajos2006-09-24 21:37:48

Természetesen minden állítás analogonja igaz a gamma-függvényre is.

Előzmény: [1381] Cckek, 2006-09-24 21:30:49
[1381] Cckek2006-09-24 21:30:49

A kérdés az, hogy vajon csak természetes számokra igaz? Ugyanis

(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^n \cdot n!},

tehát írható, hogy:

\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\frac{(2n)!}{4^n\cdot n!^2}

Euler gamma függvényét használva feltehetjük a következő kérdést:

\frac{\Gamma(2x+1)}{4^x \cdot [\Gamma(x+1)]^2}\le \frac{1}{\sqrt{3x}}, { \forall x\ge 1??}

Előzmény: [1379] Lóczi Lajos, 2006-09-24 20:49:27
[1380] Cckek2006-09-24 20:49:51

Bocs. Az előzmény [1369] Lóczi Lajos

Előzmény: [1378] Cckek, 2006-09-24 20:39:23
[1379] Lóczi Lajos2006-09-24 20:49:27

Direkt bizonyítást nem tudok rá, csak a vázolt gondolatmenetet.

Előzmény: [1377] ágica, 2006-09-24 20:35:34
[1378] Cckek2006-09-24 20:39:23

Mindenesetre a példát érdemes volt kitűzni. Ilyen rövid idő alatt ennyi információ... Igy szép a forum. Itt van egy másik:

Számitsuk ki:

\sum_{1 \le i \le n} \frac{1}{i}+\sum_{1 \le i<j \le n} \frac{1}{i \cdot j}+\sum_{1 \le i<j<k \le n}\frac{1}{i \cdot j \cdot k}+\cdots+\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot3 \cdots n}

Előzmény: [1367] rizsesz, 2006-09-12 19:24:27
[1377] ágica2006-09-24 20:35:34

Én meg vagy ötször átszámoltam, mert nem akartam elhinni hogy tényleg nem jön ki :)) Egyébként milyen más módszerrel lehetne az egyenlőtlenséget belátni?

Előzmény: [1376] Lóczi Lajos, 2006-09-24 20:21:21
[1376] Lóczi Lajos2006-09-24 20:21:21

Igen, pont ez a tanulság. A gyengébb nem jön ki indukcióval, az erősebb igen. Ha tehát az indukcióban az "öröklődési tulajdonság" igazolása nem jár sikerrel, az még nem jelenti azt, hogy az eredeti állítás nem igaz.

Előzmény: [1375] ágica, 2006-09-24 20:19:16
[1375] ágica2006-09-24 20:19:16

Hát bevallom, azt is próbáltam indukcióval, csak épp nem jártam sikerrel, úgyhogy hamar fel is adtam :)

Előzmény: [1372] Lóczi Lajos, 2006-09-24 20:05:36
[1374] epsilon2006-09-24 20:08:39

Elnézést, a limesznél nem x hanem n tart a végtelenhez!

[1373] epsilon2006-09-24 20:06:13

Elnézést, hogy képben szúrom be, de csak a Math Typpel szoktam dolgozni!

[1372] Lóczi Lajos2006-09-24 20:05:36

Rendben, de [1369]-et épp azért pont úgy tűztem ki, hogy direkt azt próbálja az ember indukcióval megcsinálni :) Számomra tanulságos volt, amikor találkoztam ezzel a példával.

Előzmény: [1371] ágica, 2006-09-24 19:31:04
[1371] ágica2006-09-24 19:31:04

Ez például teljes indukcióval könnyen igazolható: n=1-re, 2-re az állítás igaz. Tegyük fel, hogy valamilyen n-re is teljesül, és vizsgáljuk n+1-re a bal oldalt:

\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\le\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}

az indukciós feltevés miatt. Innen már elég belátni, hogy

\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\le\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}

ez pedig teljesül, mivel átszorzás, négyzetre emelés és rendezés után azt kapjuk, hogy 19n\le20n.

(És ebből persze következik, hogy [1369] is igaz.)

Előzmény: [1369] Cckek, 2006-09-24 16:07:08
[1370] Lóczi Lajos2006-09-24 18:26:12

Sőt, melyik az a legnagyobb a>0 szám, hogy egy alkalmas N indexszel minden n>N esetén


\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}<\frac{1}{\sqrt{a n}}?

Előzmény: [1369] Cckek, 2006-09-24 16:07:08
[1369] Cckek2006-09-24 16:07:08

Mitöbb minden pozitiv egészre fennáll:

\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\le \frac{1}{\sqrt{3n+1}}

Bocs hogy közbeszóltam.

Előzmény: [1368] Lóczi Lajos, 2006-09-24 10:49:54
[1368] Lóczi Lajos2006-09-24 10:49:54

Igazoljuk, hogy tetszőleges pozitív egész n esetén fennáll, hogy


\frac{1\cdot 3\cdot 5 \cdot 7\cdot ...\cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6 \cdot 8\cdot ...\cdot (2n)}<\frac{1}{\sqrt{3n}}.

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]