Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1597] Hajba Károly2006-12-08 20:20:03

Kedves HoA!

Nem is mondtam, hogy 'x' törzsszám, de mindenképpen rámutattál, nem voltam eléggé alapos. Köszi a kiegészítést.

Előzmény: [1596] HoA, 2006-12-08 18:33:19
[1596] HoA2006-12-08 18:33:19

Odáig igaz, hogy a nevező a számláló valamelyik részszorzata. Csak arra nem gondoltál, hogy x nem feltétlenül törzsszám - mint ahogy megoldásaidban sem az - legyen x = u * v, ezért a részszorzat olyan is lehet, hogy az 1*5*401 valamilyen s részszorzata u-val szorozva.

s*u=u*v-2005

 s = v - \frac{2005}{u}

v  = s + \frac{2005}{u}

Egészekről lévén szó u is az 1*5*401 valamilyen részszorzata . Végignézve a lehetőségeket, két esetben kapunk a már ismertektől kükönböző megoldást.

s=5;u=5;v=406;x=2030;y=401*406=162806

és

s=401;u=401;v=406;x=162806;y=2030

Tehát ( 2030 ; 162806) és ( 162806; 2030 ) is két "szimmetrikus" értékpár.

Előzmény: [1551] Hajba Károly, 2006-11-29 00:49:24
[1595] jenei.attila2006-12-05 13:13:37

Pl. "megindexeljük" az unió elemeit a [0,1]x[0,1]-beli valós számpárokkal. A pár első eleme jelenti, hogy melyik halmazból való a kiválasztott elem, a második, hogy azon belül melyik elemről van szó. A halmazok, illetve egy halmaz elemei nyilván indexelhetők [0,1]-beli valós számokkal. A [0,1]x[0,1]-beli valós számpárok halmaza pedig nyilván kontinuum számosságú, ez könnyen látható pl. a pár két számának tizedestört alakban felírt számjegyeinek összefésülésével.

Előzmény: [1594] Cckek, 2006-12-04 22:00:40
[1594] Cckek2006-12-04 22:00:40

Ok nagyon szép. Egy direkt bizonyitást a kardinális számokkal végezhető műveletek nélkül? Tehát nem használhatjuk fel hogy k szor alef nulla az szintán alef nulla stb...

Előzmény: [1593] Csimby, 2006-12-04 21:36:10
[1593] Csimby2006-12-04 21:36:10

Ennek c2 eleme van, hiszen c féle képpen választhatjuk meg hogy melyik halmazból veszünk elemet, és azon belül is még c elem közül választhatunk. És c2=(2A)2=22A=2A=c , ahol A jelöli alef 0-t, a természetes számok számosságát és c a kontinuum számosságot.

Előzmény: [1592] Cckek, 2006-12-04 20:56:58
[1592] Cckek2006-12-04 20:56:58

hogyan igazoljuk hogy kontinuum sok kontinuum számosságú halmaz egyesítése kontinuum számosságú?

[1590] Cckek2006-12-04 17:25:29

Esetleg vizsgálható a

x_{n+1}=ln(1+p\cdot x_n), x_1>-\frac{1}{p},p>0

sorozat is.

[1591] Cckek2006-12-04 17:06:11

Ez egy bifurkációs feladat a f(x,p)=x2+p függvényre, kitűnően le van tárgyalva itt:)

Előzmény: [1586] Lóczi Lajos, 2006-12-04 15:44:49
[1588] jenei.attila2006-12-04 15:59:46

Hát annyi mindenesetre kiderült, hogy ha p ebben az intarvallumban van, akkor a sorozat korlátos. Hogy mikor konvergens?...

Előzmény: [1586] Lóczi Lajos, 2006-12-04 15:44:49
[1587] Cckek2006-12-04 15:52:07

Így van. Ezt nem irtam már le mert már le volt tárgyalva az előzőkben:)

Előzmény: [1585] jenei.attila, 2006-12-04 15:44:34
[1586] Lóczi Lajos2006-12-04 15:44:49

Tényleg nagyon tömör :)

Akkor most már "csak" az a kérdés, hogy hogyan viselkedik a sorozat az eddig kimaradt p\in \left[-2,\frac{1}{4}\right] paraméterértékek esetén. Adjunk meg minél bővebb részhalmazokat a \left[-2,\frac{1}{4}\right] intervallumból, amely p számok mellett an (a 0-ból indítva) konvergens.

Előzmény: [1582] Cckek, 2006-12-04 15:17:55
[1585] jenei.attila2006-12-04 15:44:34

A monotonitás OK. De hogyan tovább? Szerintem még annyi kell, hogy ha lenne határértéke, akkor az csak

\frac{1+\sqrt{1-4p}}{2}

lehetne, aminél viszont minden tag (a 2.-tól kezdve) nagyobb.

Előzmény: [1582] Cckek, 2006-12-04 15:17:55
[1584] epsilon2006-12-04 15:36:55

Gratulálok Cchek, nagyon elegáns bizonyítás a monotonításra,...hmmm...ezek szerint a korláttal megint elnéztem valamit...:-(

[1583] epsilon2006-12-04 15:26:56

Nézzük csak a p<-2 esetet. Hátha megint nem írok el valamit! Szóval használom az előző g(x)=f(x)-x=x*x-x+p függvényt, és igazolom, hogy p<-2 mellett g(x)>0 így amennyiben a(1)<-2 márpedig ez igaz (mert p-vel egyenlő), úgy a sorozat megint monoton növekvő lesz. Az x*x-x+p=0 zérushelyei a következők: x(1)=(-1-sqrt(1-4p))/2 illetve x(1)=(-1+sqrt(1-4p))/2. Könnyen igazolható, hogy a p<-2 miatt x(1)<-2, ezért amikor a(1)=p<x(1)<-2 ekkor g(x)>0 (a trinom a gyökökön kivűl a főegyütthatók előjelével egyező előjelű), ami azt jelenti, hogy a a(n+1)=f(a(n))rekurzióval értelmezett sorozat monoton növekvő. Ha korlátos lenne, akkor konvergens is lenne, és a limesze éppen a=x(1)=(-1-sqrt(1-4p))/2 lenne, vagyis ez lenne a felső korlát. Közben most látom, hogy Cckek máris írt, de még nem mérlegeltem, ezt elengedem, aztán azt is mérlegelem.

[1582] Cckek2006-12-04 15:17:55

Ebben az esetben a_n>\frac{1+\sqrt{1-4p}}{2} tehát

a_{n+1}-a_n=(a_n-\frac{1+\sqrt{1-4p}}{2})(a_n-\frac{1-\sqrt{1-4p}}{2})>0 a sorozat nem korlátos.

Előzmény: [1581] Lóczi Lajos, 2006-12-04 14:01:58
[1581] Lóczi Lajos2006-12-04 14:01:58

Köszönöm a szép hozzászólásokat, igen, tehát tetszőleges p>1/4 esetén a szóban forgó an sorozat +\infty-be divergál.

Folytatás. Adjuk meg azokat a p<-2 értékeket, melyekre az illető sorozatunk korlátos.

[1580] epsilon2006-12-04 13:46:29

Végül is elgondolkozva, a leírtakból erre következtetek: ha p>1/4 akkor a sorozat monoton növekvő és korlátlan, az az divergens. Erre jutok akkor is, ha a(n+1)=f(a(n)) típusú rekurzióként kezelem, ahol f(x)=x*x+p és bevezetve g(x)=f(x)-x jelölést, g(x)=1/4*(2x-1)*(2x-1)+p-1/4>0 ami azt jelenti, hogy a fentiekben értelmezett sorozat monoton növekvő és korlátlan!

[1579] epsilon2006-12-04 13:24:56

Bocs, valóban elírtam :-( túl korán reggel volt, és éppen egy szünetben olvastam: a helyes egyenlet úgy ahogyan javítoták, így a limeszre térés után a=a×a+p ahonnann a beszámítható "a" amit írtam, valóban komplex szám (itt sem figyeltem a p>1/4-et (illetve pont fordítva láttam :-( de tudjuk azt, hogy a sorozat monoton növekvő, és ha felülről korlátos lenne, akkor a legjobb felső korlát, a supremum, éppen ez az a=lim a(n) kellene legyen, vagyis úgy tűnik (?), hogy a p>1/4 feltétellel ellentmondásba kerülünk (?) vagyis nem létezne p>1/4 amire korlátos lenne(?)

[1578] jenei.attila2006-12-04 12:53:18

Szerintem epsilon csak elírta a rekurziót, mert utána már jól használja. Helyesen: a1=p,an=an-12+p A Te egyenleted, viszont nem jó, mert nem az előző tag négyzetéhez adja az előző tagot, hanem az előző tag négyzetéhez mindig p-t. Így a levezetésed sem jó, csak az első két tagra.

Előzmény: [1577] Sirpi, 2006-12-04 12:36:29
[1577] Sirpi2006-12-04 12:36:29

Ebben a hozzászólásban én némi zavart látok, pl. nem tudom miért nem a p2+p=p egyenletet vizsgáljuk, aminek triviálisan csak a p=0 megoldása (mintha a p\top2+1 rekurzió is belekeveredett volna a dologba).

Viszont azt, hogy a sorozat sosem korlátos, a következőképp is belátható:

Legyen x=p-1/4>0, vagyis az első tag ennyivel van 1/4 felett. Ekkor a második tag eltérése 1/4-től:

p2+p-1/4=(x+1/4)2+(x+1/4)-1/4=x2+3/2.x+1/16>3/2.x

Vagyis a következő tag 1/4-től való eltérése legalább másfélszer akkora lesz, mint az elsőnek, így a sorozat minden p>1/4 esetén exponenciálisan nőni fog.

Előzmény: [1574] epsilon, 2006-12-04 07:17:56
[1576] jenei.attila2006-12-04 11:55:38

Lehet, hogy butaságot kérdezek, de epsilon levezetése szerint p>1/4 esetén a sorozat tényleg monoton növő, és ekkor ha van felső korlátja, akkor konvergens is. Ha pedig konvergens, akkor csak az lehetne a határértéke, amit epsilon megadott. Na de az nem valós, ebből szerintem az következik, hogy nincs határértéke, de akkor nem is korlátos. Mit szóltok hozzá?

Előzmény: [1573] Lóczi Lajos, 2006-12-03 20:49:25
[1575] nadorp2006-12-04 09:36:55

A \frac{1+\sqrt{1-4p}}2 kifejezés p>\frac14 esetén komplex szám, tehát nem lehet felső korlát.

Előzmény: [1574] epsilon, 2006-12-04 07:17:56
[1574] epsilon2006-12-04 07:17:56

Kedves Lajos! A sorozatot rekurzióval így írhatjuk: a(1)=p és a(n+1)= a(n)×a(n)+1. Mivel p>1/4 ezért a(n+1)>a(n)×a(n)+1/4>=a(n) teljes négyzettel látható. Tehát a sorozat monoton növekvő, így csak a felső korlátja érdekel. Tegyük fel, hogy van felső korlátja, megkeressük a legjobbat, a supremumot. Mivel a sorozat monoton növekvő és korlátos, ezért van limesze, legyen a=lim a(n). A rekurzióban a határértékre térve, megoldva a 2. fokú egyenletet, annak a pozitív gyöke felel meg, ez a=(1+sqrt(1-4p))/2 vagis éppen ez lesz a legjobb felső korlát (indukcióval igazolható, a rekurziót használva), és ez a felső korlát MINDEN p>1/4 esetén létezik! Remélem, ilyen hajnalban nem tévedtem! ;-) Üdv: epsilon

Előzmény: [1573] Lóczi Lajos, 2006-12-03 20:49:25
[1573] Lóczi Lajos2006-12-03 20:49:25

Adjuk meg azokat a p>\frac{1}{4} számokat, amelyek esetén a

p, p2+p, (p2+p)2+p, ((p2+p)2+p)2+p, (((p2+p)2+p)2+p)2+p, ...

sorozat korlátos.

[1572] Nick2006-12-02 13:04:55

Hát persze hogy az:) És persze gyorsan meg is található a neten, de sztem van annyira érdekes a megoldás, hogy egyedül jöjjünk rá. (nekem nem is ment addig, míg meg nem mondták, hogy a megoldást az életből lopták:))

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]