[1766] Sirpi | 2007-01-17 07:56:06 |
Ha jól értem, mivel kötött a menetrend, ezért tesszük fel, hogy az [a,b] intervallum fix. Viszont akkor az egyszerűség kedvéért legyen [a,b]=[0,1], a két város távolsága s, a vonat maximális gyorsulása pedig L (tehát [0,1]-en |f'(x)|L).
Nézzük meg, hogy maximálisan mekkora utat tud a vonat megtenni az adott idő alatt. Nyilvánvalóan az a legjobb stratégia, ha azonnal maximális gyorsításra kapcsol félútig, majd onnan maximális lassulásba kezd az út végéig. Az ehhez tartozó sebességgrafikon egy olyan egyenlő szárú háromszög két szára lesz, aminek a magassága L/2. És azért nyilvánvaló, hogy az ehhez tartozó út a maximális, mert az alatta lévő terület adja meg a megtett utat, és az összes többi stratégia grafikonja bele kell, hogy essen ebbe az egyenlő szárú háromszögbe.
A háromszög területe L/4, így rögtön adódik feltételként, hogy L4s kell ahhoz, hogy a feladat megoldható legyen.
* * *
Most toljunk a háromszög felső csúcsától kezdve lefelé egy vízszintes egyenest. Ez elmetszi a két szárat, és a felső kis háromszöget figyelmen kívül hagyva egy egyenlő szárú trapézt kapunk a víszintes egyenes minden helyzete esetén. Állítsuk be úgy a felső egyenest, hogy a trapéz területe éppen s legyen. Megintcsak könnyen látható, hogy ez az optimális stratégia ahhoz, hogy a vonat maximális sebessége minimális legyen. Ugyanis tegyük fel, hogy van egy ennél is jobb. Ekkor ennek grafikonja végig a konstruált trapéz alatt kell, hogy haladjon - egyenlőség persze megengedett (a szárak fölé nem tud menni, mert akkor L-nél jobban gyorsulna, a felső vízszintes szakasz fölé megintcsak, mert akkor a maximális sebessége lenne nagyobb, mint a konstruált esetben). Viszont ekkor a görbe alatti terület kisebb kell legyen, mint a trapézé, vagyis a vonat nem éri el a célállomást, ami ellentmondás.
A max. sebesség minimuma könnyen ki is számolható: tegyük fel, hogy a vonat x idő után kezd állandó sebességgel haladni (és ekkor nyilván 1-x-nél kezd lassítani). A megtett út ilyenkor: L/4-(1-2x)2.L/4=s, vagyis 4x-4x2=4s/L, tehát x2-x+s/L=0. Innen
Ebből a kisebbre van szükségünk, a nagyobbik pont azt adja meg, hogy mikor kell lassítanunk.
* * *
A másik eset az, amikor a maximális sebesség maximalizálására törekszünk. Ekkor vegyük azt a stratégiát, amikor ideig maximálisan gyorsítunk, majd ugyanennyi idő alatt megállunk. a feltételek szerint, tehát ez egy megvalósítható stratégia. Ilyenkor a megtett út . Minden más stratégia viszont, aminél a maximális sebesség nagyobb, mint jelen esetben, szükségképpen több utat jelent, hiszen ha a(z egyik) maximális sebességű pontból L és -L meredekségű félegyeneseket húzunk lefelé, akkor az teljes egészében az eredeti út görbéje alatt kell hogy elhelyezkedjen a maximális gyorsulás miatt, és a félegyenesek által kifeszített háromszög is nagyobb területű lesz, mint s (a háromszög nagyobb magassága miatt), ami ellentmondás. Vagyis megkaptuk a maximális sebesség maximumát is.
Ha gond lenne az, hogy a vonat előbb ér az állomásra, mint kellene neki, akkor megtehetjük, hogy a konstruált háromszög területét nagyon picit csökkentjük, és a lassítási ág legvégén nagyon lassan gurulva tesszük meg az út utolsó 1 cm-ét (de ez már csak finomkodás).
* * *
Végeredmény:
|
Előzmény: [1764] Lóczi Lajos, 2007-01-17 01:52:30 |
|
[1765] Lóczi Lajos | 2007-01-17 02:34:28 |
Kicsit pontosabban megfogalmazva, a kérdést úgy akarom feltenni tehát, hogy mi lehet a maximális sebesség minimuma, illetve maximuma a megengedett sebességfüggvények halmazán. Tehát ez egy feltételes minimax és "maximax" feladat.
|
Előzmény: [1764] Lóczi Lajos, 2007-01-17 01:52:30 |
|
[1764] Lóczi Lajos | 2007-01-17 01:52:30 |
Egy utazásom alkalmával jutott eszembe ez a teljesen gyakorlati kérdés -- számomra nagyon nehéznek tűnik, leginkább variációszámítás-ízű. Ezért nyugodtan tegyünk mindenféle egyszerűsítő feltevéseket, hogy bármiféle eredményt kapjunk. Tehát:
Adott két város, köztük egyenes vonalú pályán egy vonat fut. A két végállomáson a vonat sebessége persze nulla, menet közben a gyorsulás és lassulás természetesen korlátozott. A két város távolsága adott, a távolság megtételéhez szükséges idő szintúgy. A kérdés az, hogy mi lehet a vonat maximális sebessége, illetve ennek alsó/felső becslése.
Vegyünk fel adatokat tetszés szerint, hogy érdekes feladatokat kapjunk, mindenféle részeredményre kíváncsi vagyok.
Egy lehetséges modell a következő: adott egy f:[a,b]R nemnegatív függvény, ami folytonosan deriválható. (Itt f-re úgy gondolok, mint a sebességre az idő függvényében, persze nem biztos, hogy ez a legcélszerűbb szereposztás.) f(a)=f(b)=0, mert az állomásokon áll a vonat. Menet közben is megállhat persze. f deriváltja korlátos, mert a vonat nem gyorsulhat akármennyivel. f integrálja a-tól b-ig (= a megtett út) adott. Kérdés, mennyi lehet f maximuma [a,b]-n.
|
|
[1763] rizsesz | 2007-01-16 23:03:25 |
Szóval nekem az lenne a kérdésem Roberto, hogy ezek a feladatok mihez segítenek hozzá, mármint ha megoldod őket, és beadod? Ismered azt, akinek odaadod?
|
|
[1762] rizsesz | 2007-01-16 22:59:41 |
Azért ha az egyenlet-rendezés nem megy, az azért elég aggasztó, nem? Mármint így mi értelme van a feladatok megoldását megadni?(moderáljatok engem!).
|
|
[1761] Lacczyka | 2007-01-16 22:08:03 |
Szerintem olvasd át S. Ákos [1737]-ben leírt megoldását. Ebben a végén kijönnek az oldalak, és ebből már nem gond sem a felszín, sem a térfogat kiszámítása. A másik megoldás (az csak a felszínre volt) a Te szempontodból nem lényeges. Viszont ha valamit nem értessz ebből a megoldásból [1737], akkor kérdezz rá konkrétan, sorra pontosan.
Lacczyka
|
Előzmény: [1760] Roberto85, 2007-01-16 19:27:31 |
|
|
[1759] Roberto85 | 2007-01-16 17:17:48 |
még lenne egy kérdés, h amikor ki kell vonni az a2+b2+ab=84et, máskor meg hozzáadni, na ez miért kell?
|
|
[1758] Csimby | 2007-01-16 16:59:09 |
Nézheted fentről le is, no: c(a2-c2)=b(a2-b2) - ezt akarjuk bizonyítani. Most a2 - helyére beírjuk b2+bc+c2-t mindkét oldalon, (koszinusz tételből tudjuk hogy ezt megtehetjük) így ezt kapjuk: c(b2+bc+c2-c2)=b(b2+bc+c2-b2) Itt most egyszerűsítesz a zárójeleken belül, marad: c(b2+bc)=b(bc+c2) Kiemelsz baloldalból b-t, jobb oldalból c-t és ami marad: bc(b+c)=bc(b+c) Ami pedig nyilván igaz, így a bizonyítandó állítás is igaz volt, hiszen végig ekvivalens átalakításokat végeztünk.
|
Előzmény: [1738] S.Ákos, 2007-01-13 19:23:33 |
|
[1757] Roberto85 | 2007-01-16 16:44:24 |
hát nézem visszafele, dehát nemértem ezt azért tényleg jó lenne ha elmagyaráznátok mindent lépésről lépésre...
|
|
|
[1755] Csimby | 2007-01-16 16:25:42 |
[1738]-nél alulról indulj ki és úgy következnek egymás utána a lépések felfelé, míg végül megkapjuk a bizonyítandó állítást. Utolsó lépésben felhasználjuk a2=b2+bc+c2-et is.
|
Előzmény: [1753] Roberto85, 2007-01-16 15:55:26 |
|
|
[1753] Roberto85 | 2007-01-16 15:55:26 |
Felírva a koszinusz-tételt az a oldalra kapjuk, hogy
a2=b2+bc+c2 és ezutánni részt nem értem h jön ide, hogy c(a2-c2)=b(a2-b2) meg hogy ezután még ebből hogy lesz c(b2+bc+c2-c2)=b(b2+bc+c2-b2) azet a két lépést mondjátok el, azután nem zaklatlak benneteket :)
|
|
|
[1751] Roberto85 | 2007-01-16 14:09:14 |
amúgy vannak még feladataim :) 1. Egy gömb felületén véletlenszerűen választunk 3 pontot, mennyi a valószínűsége, h a választott pontok egy félgömbön lesznek?
2. Létezhet e olyan test, melynek oldalnézete négyzet, elölnézete háromszög, felülnézete kör :)
3. Körülbelül hány tonna követ használtak fel a Kheposz piramis építői (a mészkő sűrűsége 2,7 tonna köbméterenként) Kheposz fáraó 23 évig uralkodott. Hány köbméter követ kellett megmozgatniuk naponta, ha feltételezzük h 23évig épült? csak ennyi van megadva :S
|
|
|
|
[1748] Roberto85 | 2007-01-16 12:26:35 |
de pl a cosinus és sinusos fealdatnál amikor 4 az alapja. na szval annak a végén a megoldásnak van bent valami k betű az ott mi lenne? mert nekem a kerület ugrik be így elsőre...
|
|
[1747] Roberto85 | 2007-01-15 19:29:07 |
tenném én fel, de hát nem látom gybe a feladatokat...
|
|
[1746] Sirpi | 2007-01-15 18:41:15 |
Na, végre egy konkrét kérdés :-)
A koszinusz-tétel szerint minden háromszögben a2=b2+c2-2bccos . És mivel cos 120o=-1/2, ezért jelen esetben a2=b2+c2+bc. Várjuk a további konkrét kérdéseket :-)
|
Előzmény: [1745] Roberto85, 2007-01-15 17:25:22 |
|
[1745] Roberto85 | 2007-01-15 17:25:22 |
meg hát főleg az lenne a kérdés h amikor bizsonyítani kell a 3szögesnél hova lett a 120fok?
|
|
|
|
[1742] Roberto85 | 2007-01-14 19:41:10 |
Látom én h szépen kiszámoltátok őket, nagyon köszönöm is... csak hát kicsit kuszán vannak a feladatok...
de pl ezt a szinuszosat meg a 3szögeset fullra nem értem... szval én már a kezdésnél csak lesek, azt se tudom h melyik feladat hol kezdődik :( pedig nem vagyok segg hülye matekból csak hát nekem ezek már nehéz feladatok amúgy tényleg nagyon köszi
|
|