Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1766] Sirpi2007-01-17 07:56:06

Ha jól értem, mivel kötött a menetrend, ezért tesszük fel, hogy az [a,b] intervallum fix. Viszont akkor az egyszerűség kedvéért legyen [a,b]=[0,1], a két város távolsága s, a vonat maximális gyorsulása pedig L (tehát [0,1]-en |f'(x)|\leqL).

Nézzük meg, hogy maximálisan mekkora utat tud a vonat megtenni az adott idő alatt. Nyilvánvalóan az a legjobb stratégia, ha azonnal maximális gyorsításra kapcsol félútig, majd onnan maximális lassulásba kezd az út végéig. Az ehhez tartozó sebességgrafikon egy olyan egyenlő szárú háromszög két szára lesz, aminek a magassága L/2. És azért nyilvánvaló, hogy az ehhez tartozó út a maximális, mert az alatta lévő terület adja meg a megtett utat, és az összes többi stratégia grafikonja bele kell, hogy essen ebbe az egyenlő szárú háromszögbe.

A háromszög területe L/4, így rögtön adódik feltételként, hogy L\geq4s kell ahhoz, hogy a feladat megoldható legyen.

* * *

Most toljunk a háromszög felső csúcsától kezdve lefelé egy vízszintes egyenest. Ez elmetszi a két szárat, és a felső kis háromszöget figyelmen kívül hagyva egy egyenlő szárú trapézt kapunk a víszintes egyenes minden helyzete esetén. Állítsuk be úgy a felső egyenest, hogy a trapéz területe éppen s legyen. Megintcsak könnyen látható, hogy ez az optimális stratégia ahhoz, hogy a vonat maximális sebessége minimális legyen. Ugyanis tegyük fel, hogy van egy ennél is jobb. Ekkor ennek grafikonja végig a konstruált trapéz alatt kell, hogy haladjon - egyenlőség persze megengedett (a szárak fölé nem tud menni, mert akkor L-nél jobban gyorsulna, a felső vízszintes szakasz fölé megintcsak, mert akkor a maximális sebessége lenne nagyobb, mint a konstruált esetben). Viszont ekkor a görbe alatti terület kisebb kell legyen, mint a trapézé, vagyis a vonat nem éri el a célállomást, ami ellentmondás.

A max. sebesség minimuma könnyen ki is számolható: tegyük fel, hogy a vonat x idő után kezd állandó sebességgel haladni (és ekkor nyilván 1-x-nél kezd lassítani). A megtett út ilyenkor: L/4-(1-2x)2.L/4=s, vagyis 4x-4x2=4s/L, tehát x2-x+s/L=0. Innen

x_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{1-4s/L}}2

Ebből a kisebbre van szükségünk, a nagyobbik pont azt adja meg, hogy mikor kell lassítanunk.

* * *

A másik eset az, amikor a maximális sebesség maximalizálására törekszünk. Ekkor vegyük azt a stratégiát, amikor \sqrt{s/L} ideig maximálisan gyorsítunk, majd ugyanennyi idő alatt megállunk. \sqrt{s/L} \leq 1/2 a feltételek szerint, tehát ez egy megvalósítható stratégia. Ilyenkor a megtett út (2\sqrt{s/L})^2 \cdot L/4 = s. Minden más stratégia viszont, aminél a maximális sebesség nagyobb, mint jelen esetben, szükségképpen több utat jelent, hiszen ha a(z egyik) maximális sebességű pontból L és -L meredekségű félegyeneseket húzunk lefelé, akkor az teljes egészében az eredeti út görbéje alatt kell hogy elhelyezkedjen a maximális gyorsulás miatt, és a félegyenesek által kifeszített háromszög is nagyobb területű lesz, mint s (a háromszög nagyobb magassága miatt), ami ellentmondás. Vagyis megkaptuk a maximális sebesség maximumát is.

Ha gond lenne az, hogy a vonat előbb ér az állomásra, mint kellene neki, akkor megtehetjük, hogy a konstruált háromszög területét nagyon picit csökkentjük, és a lassítási ág legvégén nagyon lassan gurulva tesszük meg az út utolsó 1 cm-ét (de ez már csak finomkodás).

* * *

Végeredmény:

L\cdot\frac{1 - \sqrt{1-4s/L}}2 \leq v_{\max} \leq \sqrt{sL}

Előzmény: [1764] Lóczi Lajos, 2007-01-17 01:52:30
[1765] Lóczi Lajos2007-01-17 02:34:28

Kicsit pontosabban megfogalmazva, a kérdést úgy akarom feltenni tehát, hogy mi lehet a maximális sebesség minimuma, illetve maximuma a megengedett sebességfüggvények halmazán. Tehát ez egy feltételes minimax és "maximax" feladat.

Előzmény: [1764] Lóczi Lajos, 2007-01-17 01:52:30
[1764] Lóczi Lajos2007-01-17 01:52:30

Egy utazásom alkalmával jutott eszembe ez a teljesen gyakorlati kérdés -- számomra nagyon nehéznek tűnik, leginkább variációszámítás-ízű. Ezért nyugodtan tegyünk mindenféle egyszerűsítő feltevéseket, hogy bármiféle eredményt kapjunk. Tehát:

Adott két város, köztük egyenes vonalú pályán egy vonat fut. A két végállomáson a vonat sebessége persze nulla, menet közben a gyorsulás és lassulás természetesen korlátozott. A két város távolsága adott, a távolság megtételéhez szükséges idő szintúgy. A kérdés az, hogy mi lehet a vonat maximális sebessége, illetve ennek alsó/felső becslése.

Vegyünk fel adatokat tetszés szerint, hogy érdekes feladatokat kapjunk, mindenféle részeredményre kíváncsi vagyok.

Egy lehetséges modell a következő: adott egy f:[a,b]\toR nemnegatív függvény, ami folytonosan deriválható. (Itt f-re úgy gondolok, mint a sebességre az idő függvényében, persze nem biztos, hogy ez a legcélszerűbb szereposztás.) f(a)=f(b)=0, mert az állomásokon áll a vonat. Menet közben is megállhat persze. f deriváltja korlátos, mert a vonat nem gyorsulhat akármennyivel. f integrálja a-tól b-ig (= a megtett út) adott. Kérdés, mennyi lehet f maximuma [a,b]-n.

[1763] rizsesz2007-01-16 23:03:25

Szóval nekem az lenne a kérdésem Roberto, hogy ezek a feladatok mihez segítenek hozzá, mármint ha megoldod őket, és beadod? Ismered azt, akinek odaadod?

[1762] rizsesz2007-01-16 22:59:41

Azért ha az egyenlet-rendezés nem megy, az azért elég aggasztó, nem? Mármint így mi értelme van a feladatok megoldását megadni?(moderáljatok engem!).

[1761] Lacczyka2007-01-16 22:08:03

Szerintem olvasd át S. Ákos [1737]-ben leírt megoldását. Ebben a végén kijönnek az oldalak, és ebből már nem gond sem a felszín, sem a térfogat kiszámítása. A másik megoldás (az csak a felszínre volt) a Te szempontodból nem lényeges. Viszont ha valamit nem értessz ebből a megoldásból [1737], akkor kérdezz rá konkrétan, sorra pontosan.

Lacczyka

Előzmény: [1760] Roberto85, 2007-01-16 19:27:31
[1760] Roberto852007-01-16 19:27:31

valaki?

[1759] Roberto852007-01-16 17:17:48

még lenne egy kérdés, h amikor ki kell vonni az a2+b2+ab=84et, máskor meg hozzáadni, na ez miért kell?

[1758] Csimby2007-01-16 16:59:09

Nézheted fentről le is, no: c(a2-c2)=b(a2-b2) - ezt akarjuk bizonyítani. Most a2 - helyére beírjuk b2+bc+c2-t mindkét oldalon, (koszinusz tételből tudjuk hogy ezt megtehetjük) így ezt kapjuk: c(b2+bc+c2-c2)=b(b2+bc+c2-b2) Itt most egyszerűsítesz a zárójeleken belül, marad: c(b2+bc)=b(bc+c2) Kiemelsz baloldalból b-t, jobb oldalból c-t és ami marad: bc(b+c)=bc(b+c) Ami pedig nyilván igaz, így a bizonyítandó állítás is igaz volt, hiszen végig ekvivalens átalakításokat végeztünk.

Előzmény: [1738] S.Ákos, 2007-01-13 19:23:33
[1757] Roberto852007-01-16 16:44:24

hát nézem visszafele, dehát nemértem ezt azért tényleg jó lenne ha elmagyaráznátok mindent lépésről lépésre...

[1756] Roberto852007-01-16 16:35:39

aha szval ezt visszafele kell nézni? :D

Előzmény: [1755] Csimby, 2007-01-16 16:25:42
[1755] Csimby2007-01-16 16:25:42

[1738]-nél alulról indulj ki és úgy következnek egymás utána a lépések felfelé, míg végül megkapjuk a bizonyítandó állítást. Utolsó lépésben felhasználjuk a2=b2+bc+c2-et is.

Előzmény: [1753] Roberto85, 2007-01-16 15:55:26
[1754] Roberto852007-01-16 15:56:04

aha csak hát be is kell bizonyítni az a felül oldal és szembenézetest :)

Előzmény: [1752] Sirpi, 2007-01-16 14:43:32
[1753] Roberto852007-01-16 15:55:26

Felírva a koszinusz-tételt az a oldalra kapjuk, hogy

a2=b2+bc+c2 és ezutánni részt nem értem h jön ide, hogy c(a2-c2)=b(a2-b2) meg hogy ezután még ebből hogy lesz c(b2+bc+c2-c2)=b(b2+bc+c2-b2) azet a két lépést mondjátok el, azután nem zaklatlak benneteket :)

[1752] Sirpi2007-01-16 14:43:32

1. 100%

2. van

3. Így szemlátomást értelmetlen a feladat.

Előzmény: [1751] Roberto85, 2007-01-16 14:09:14
[1751] Roberto852007-01-16 14:09:14

amúgy vannak még feladataim :) 1. Egy gömb felületén véletlenszerűen választunk 3 pontot, mennyi a valószínűsége, h a választott pontok egy félgömbön lesznek?

2. Létezhet e olyan test, melynek oldalnézete négyzet, elölnézete háromszög, felülnézete kör :)

3. Körülbelül hány tonna követ használtak fel a Kheposz piramis építői (a mészkő sűrűsége 2,7 tonna köbméterenként) Kheposz fáraó 23 évig uralkodott. Hány köbméter követ kellett megmozgatniuk naponta, ha feltételezzük h 23évig épült? csak ennyi van megadva :S

[1750] Roberto852007-01-16 13:55:49

Ákos küldtem egy email-t :)

[1749] Sirpi2007-01-16 12:53:45

Rossz helyen keresgélsz. Mivel a színusz- és koszínusz-függvény 2\pi szerint periodikus, így ha találunk egy megoldást, akkor ahhoz 2\pi-t hozzáadva szintén jó megoldás adódik. Ráadásul ebben a feladatban most \pi szerinti periodicitás is van, sőt, ami eddig nem is lett írva, \pi/2 szerinti is. Így a legtömörebb megoldás:

x=\frac\pi 4 + k\cdot \frac \pi 2 \qquad k \in Z

Előzmény: [1748] Roberto85, 2007-01-16 12:26:35
[1748] Roberto852007-01-16 12:26:35

de pl a cosinus és sinusos fealdatnál amikor 4 az alapja. na szval annak a végén a megoldásnak van bent valami k betű az ott mi lenne? mert nekem a kerület ugrik be így elsőre...

[1747] Roberto852007-01-15 19:29:07

tenném én fel, de hát nem látom gybe a feladatokat...

[1746] Sirpi2007-01-15 18:41:15

Na, végre egy konkrét kérdés :-)

A koszinusz-tétel szerint minden háromszögben a2=b2+c2-2bccos \alpha. És mivel cos 120o=-1/2, ezért jelen esetben a2=b2+c2+bc. Várjuk a további konkrét kérdéseket :-)

Előzmény: [1745] Roberto85, 2007-01-15 17:25:22
[1745] Roberto852007-01-15 17:25:22

meg hát főleg az lenne a kérdés h amikor bizsonyítani kell a 3szögesnél hova lett a 120fok?

[1744] Roberto852007-01-15 17:23:34

holnap vagy szerdán kéne leadnom :(

[1743] Roberto852007-01-15 17:16:48

valaki elmagyarázná?

[1742] Roberto852007-01-14 19:41:10

Látom én h szépen kiszámoltátok őket, nagyon köszönöm is... csak hát kicsit kuszán vannak a feladatok...

de pl ezt a szinuszosat meg a 3szögeset fullra nem értem... szval én már a kezdésnél csak lesek, azt se tudom h melyik feladat hol kezdődik :( pedig nem vagyok segg hülye matekból csak hát nekem ezek már nehéz feladatok amúgy tényleg nagyon köszi

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]