[1802] epsilon | 2007-01-21 09:08:31 |
Köszi Mindenkinek! Alaposan kimerítettétek a témát! ;-) Cchek: a két szöget x illetve y-ra nevezve, mindkét oldalt 4-gyel szorozva, a sin2x=2sinx×cosx alapján, nullára rendezve, két négyzetösszek különbsége szorzatra bomlik és ez a 2 eset áll elő: sin2x=-2ctgy illetve sin2x=2ctgy és most a sin2x-et a tangens felesképletekkel kifejezzük sin2x=2t/(1+t×t) ahol t=tgx és így t-ben másodfokú egyenlet lesz, szerinted ez az út nem járható?
|
|
[1801] Lóczi Lajos | 2007-01-20 23:54:31 |
A számítógép szépen végignézte az összes esetet, és persze megtalálta a (100,0,0,0,0,0), (50,50,50,50,0,0) optimumokat (és csak ezeket találta).
|
Előzmény: [1799] HoA, 2007-01-20 19:43:10 |
|
[1800] Lóczi Lajos | 2007-01-20 21:32:49 |
Ó, persze, a nemnegativitási feltételeket kihagytam. Köszönöm, hogy rámutattál.
(Az zavarhatott meg, hogy egyenlőtlenséggel megadott feltételek esetén a multiplikátoroknak maguknak is nemnegatívnak kell lenniük, de ez még nem mond semmit a változókról...)
|
Előzmény: [1799] HoA, 2007-01-20 19:43:10 |
|
[1799] HoA | 2007-01-20 19:43:10 |
A megfigyelt jelenség már akkor is előjön, ha csak az első feltételt vesszük. Legyen tehát
L(x,y,):=x2+y2+(100-x-y)
Az első két parciális deriváltból itt is kijön x=y. Ábrázoljuk az f(x,y)=x2+y2 függvényt az xy síkban szintvonalakkal: ezek nyilván origó középppontú koncentrikus körök. A vizsgált tartomány az x+y=100 egyenes által határolt félsík. f(x,y) a tartományban és a határán is tetszőleges nagy értéket felvehet, maximuma nincs. Az egyenes x=0 vagy y=0 értékkel jellemzett pontja, amelyekből az y=100 ill. x=100 érték adódna, semmilyen különleges szerepet nem játszik. Nem is csoda, hiszen nemcsak x és y nagyságviszonyát, hanem az x0 , y0 feltételeket sem vettük figyelembe. Ha megtesszük, a Lagrange függvény így alakul:
L(x,y,1,2,3):=x2+y2+1(100-x-y)+2(x-0)+3(y-0)
A megoldandó egyenletrendszerben a 0-t adó szorzatoknál 0 tényezőül {100-x-y=0;2=0;y=0} -t választva x = 100, {100-x-y=0;x=0;3=0} -ból y = 100 adódik. A {1=0;x=0;y=0} választás a megengedett alakú tartomány harmadik csúcsát jelóli ki, de itt persze nincs maximum. Visszatérve eredeti feladatunkra, itt az x+y100 és z+t+u+w100 mellett a w0 , uw , tu, ... , xy feltételeket is figyelembe kell venni. Ezzel egyúttal a változók nemnegatív voltát is biztosítjuk. A 8 db 0 szorzat 0 tényezőinek megválasztásánál - 28 eset - anélkül, hogy mind a 256 kombinációt végignéznénk, csak rámutatunk, hogy a { w=0; u=w ; t=u; z=t ; y =z ; x+y = 100 } választás adja az x=100,y=z=t=u=w=0 megoldást, míg a { w=0; u=w ; z=t ; y =z ; x+y = 100 ; z+t+u+w = 100 } kombináció az x=y=z=t=50,u=w=0 eredményt.
|
|
Előzmény: [1791] Lóczi Lajos, 2007-01-19 01:16:58 |
|
|
[1797] HoA | 2007-01-19 23:04:07 |
A módszer az alábbi általánosításig biztosan működik:
- a két csoportban szereplő számok darabszáma ( most 2, ill. 4 ) legyen k ill. m.
- a csoportok elemeinek összege ( most 100,100) ne legyen nagyobb, mint A ill. B
Tehát legyen k+m számunk, x1,...,xk+m , ahol
| (2) |
| (3) |
Mekkora maximuma?
Az összeget rögzített xk (az első csoport legkisebb eleme, az eddigi y) mellett vizsgáljuk. (1) -ből és (2) -ből , ( Ez egyben válasz Epsilon kérdésére: A=100 és k=2 esetére 0x2=y50 ) Az [1795]-beli indokláshoz hasonlóan belátható, hogy az első csoport négyzetösszege akkor a legnagyobb, ha x2=x3=...=xk x1=A-(k-1).xk Példa: ha k=4,x4=4,A=22 , akkor { 10;4;4;4 } négyzetösszege nagyobb, mint pl. { 7;6;5;4 } -é. A második csoportra igaz az [1795]-beli szabály: ameddig lehet xk+j=xk egy szám pedig B és az eddigiek összegének különbsége: xk+1=xk+2=...=xk+d=xk,xk+d+1=B-d.xk Az [1795]-beli szakaszhatárok most a ... értékek. Vegyük észre, hogy esetén xk>B is előfordulhat, tehát maga B is lehet szakaszhatár. Ekkor a második csoport első eleme B, a többi 0. Másrészt ha akkor a második csoportba mindig "belefér" m darab xk érték, tehát görbénk csak egyetlen parabolaívből áll. Függvénygörbénk - a maximális négyzetösszeg xk tól függése - vizsgálatát másokra hagyom.
|
Előzmény: [1796] epsilon, 2007-01-19 17:09:25 |
|
[1796] epsilon | 2007-01-19 17:09:25 |
Helló HoA! Valóban elemi, logikus, szép. Van néhány kérdöjelem, amit magamban kellene tisztáznom: Az y nem több mint 50 az indulásból feltehető? Továbbá ha általánosítani kellene, a 100 helyett pl. 2a lenne, na meg a tagok száma 6 helyett n, akkor az általad jelzett 3 intervallumba sorolás az y-ra vonatkozóan hogyan alakulna, mindegyiket külön-külön elemezni kellene, vagy belátható-e elég könnyen, hogy a sok lokális maximumból melyik is a globális maximum? Én ezeken tűnődöm, ha vannak megjegyzéseid, szívesen veszem, és kösz, a megoldásodban volt jó pár mentő ötlet! Üdv: epsilon
|
|
[1795] HoA | 2007-01-19 11:20:58 |
Egy elemi eszközöket használó megoldás lépései:
Bontsuk a négyzetösszeget két részre, legyen az első tag x2+y2 , a második z2+t2+u2+w2 . Vizsgáljuk a maximumot rögzített y mellett (0y50). Az első tag nyilván akkor a legnagyobb, ha x = 100 - y. A második tagban keressük négy 0 és y közötti z,t,u,w szám maximális négyzetösszegét, ahol z+t+u+w<=100 .
1) Belátható, hogy ha z+t+u+w<100 és nem mindegyik = y, akkor az y-nál kisebb számok növelésével a négyzetösszeg nő.
2) Belátható, hogy rögzített z+t+u+w mellett a négyzetösszeg nő, ha egy nagyobb számot növelünk és egy kisebbet csökkentünk: Szabatosan : Ha z>td>0, akkor (z+d)2+(t-d)2>z2+t2
1) -ből és 2) -ből következik, hogy a második tag akkor a legnagyobb, ha z,t,u,w ameddig csak lehet = y , egy szám pedig a többiek 100-ból vett maradéka. Vagyis a második tag szerkezete függ y-tól. Szabatosan: Ha , akkor a második tag maximuma 4y2 , a két tag összege
. Ha , akkor a második tag maximuma 3y2+(100-3y)2 , a két tag összege
(100-y)2+4y2+(100-3y)2 | (2) |
. Végül ha , akkor a második tag maximuma 2y2+(100-2y)2 , a két tag összege
(100-y)2+3y2+(100-2y)2 | (3) |
A négyzetösszeg maximumot y függvényében ábrázolva tehát egy három, egymáshoz csatlakozó, alulról konvex parabolaívből álló görbét kapunk. A teljes y tartományra a maximumot ezért csak a széleken és a csatlakozási pontokban kell vizsgálni. természetesen a már ismert eredményt kapjuk: A maximum 10000, amit az x=100, y=z=t=u=w=0 és az x=y=z=t=50, u=w=0 értékrendszerek adnak.
|
|
Előzmény: [1792] epsilon, 2007-01-19 07:16:56 |
|
[1794] epsilon | 2007-01-19 11:16:20 |
Szerintem nem, mert ennél nem használtuk fel a betűk közötti rendezési sorrendet, és ha annélkül kijönne, akkor...nem stimmel mert a feltételek nélkül más értékekre nagyobb lehet a maximum. Vagyis akár rendezett sorrenddel, akár annélkül, nem jöhet ki ugyanaz.
|
|
[1793] Cckek | 2007-01-19 10:15:30 |
Nos a kérdésem az, hogy ezen feltételek mellett fennáll-e a
(x+y+z+t+u+w)2+(x-y)2+(x-z)2+(x-t)2+(x-u)2+(x-w)2+(y-z)2+(y-t)+(y-u)2+(y-w)2+(z-t)2+(z-u)2+(z-w)2+(t-u)2+(t-w)2+(u-w)26.1002 egyenlőtlenség? Ugyanis ekkor a Lagrange azonosságból következik a maximum.
|
Előzmény: [1791] Lóczi Lajos, 2007-01-19 01:16:58 |
|
[1792] epsilon | 2007-01-19 07:16:56 |
Egy biztos: a feladatot olyan helyen találtam, hogy elemi eszközökkel gondoltak a megoldására. Ahogy viccese mondják, ezt analízissel megoldani olyen mint a bolhavadászat fejszével :-) Az alapelgondolásom az volt (az y-nál kisebb rendett számok miatt), hogy mivel előtte csak 1 szám van, nála kisebb meg 4 szám, ezért az x maximizálása sokkal gyengébb mint az y maximizálása, ami által a többi 4 szám maximizálható, és ezeket maximizálva jobban közeledünk a négyzetösszeg maximumához. Valahogyan nem illik ebbe a képbe a 100, és a többi 0 megoldás. Persze mindez csak érzés, sejtés, de...???
|
|
[1791] Lóczi Lajos | 2007-01-19 01:16:58 |
Felírtam a feltételeket, de nem jött ki csak 7500 a maximum értékére. Valaki tudna segíteni, hogy megértsem, miért nem kaptam meg a 10000-et?
Tehát a link azt mondja, írjam fel a feladat Lagrange-függvényét (az ottani 1 és 2 helyett és betűket használtam):
L(x,y,z,t,u,w,,):=x2+y2+z2+t2+u2+w2+(100-x-y)+(100-z-t-u-w).
Ekkor a lehetséges maximum helyét az alábbi egyenlet-egyenlőtlenségrendszer megoldása adja (az alsó indexek a megfelelő parciális deriváltakat jelöljék, az L függvény argumentumait nem írom ki):
Lx=0,Ly=0,Lz=0,Lt=0,Lu=0,Lw=0,(100-x-y)=0,(100-z-t-u-w)=0,0,0.
Igen ám, de az első két egyenletből az jön ki, hogy x=y, és így rögtön kiesett x=100,y=z=t=u=w=0 megoldás.
Hol van vajon az ellentmondás oka? (A változók nagyság szerinti rendezésére vonatkozó feltételt egyelőre elhagytam az eredeti feladatból.)
|
Előzmény: [1790] Lóczi Lajos, 2007-01-19 00:00:48 |
|
|
[1789] Lóczi Lajos | 2007-01-18 23:55:45 |
Le tudnád írni a multiplikátor-elvet ebben a szituációban, amikor egyenlőtlenségek is szerepelnek a feltételi halmaz kijelölésében? Vagy egy online hivatkozást esetleg, hogy szisztematikusan megpróbáljuk kiszámolni a kérdést.
|
Előzmény: [1786] Cckek, 2007-01-18 20:44:15 |
|
|
[1787] epsilon | 2007-01-18 21:50:05 |
Bocs, a pötyögtetéssel elírtam :-( ezeket: x+y>=100, z+t+u+w>=100 helyesen így lenne: x+y<=100, z+t+u+w<=100 na meg nem szándékom nagyágyúval rálőni, mert több változóra, 100 helyett másra is, meg 6 szám helyett szerintem többre is a 100,0,0,0,0,0 illetve az 50,50,50,50,0,0 esetekben érné el a maximumot? De alaposabban indokolva? Vagy van más vélemény?
|
|
|
|
[1784] HoA | 2007-01-18 08:34:51 |
Szia Epsilon!
Lóczi Lajosnak igaza van, így a feladat érdektelen. Viszont amúgy érdekelne, légy szíves nézd meg, ahol "összefutottál" vele, hogy is állnak valójában az egyenlőtlenségjelek.
|
Előzmény: [1772] epsilon, 2007-01-17 14:15:21 |
|
|
[1782] Matthew | 2007-01-17 21:32:55 |
Bocsánat,Neked van igazad,én az állításból kifolyólag egyértelműnek tartottam,hogy ha a 2-es hátlapján 4-es van,akkor a 4-es kártya hátlapján 2-es van,és ezért elég csak az 1,3-at megfordítani....Becsapós,a 4-esen buktam el a dolgot...Cserébe itt egy feladat(bár igazság szerint a "Csak logika"topikba kellene írnom):
Van 100 cédula. Az elsőre azt írták, hogy "pont egy cédulára írt állítás hamis". A másodikra azt, hogy "pont két cédulára írt állítás hamis", és így tovább. A századikon ez áll:"pont száz cédulára írt állítás hamis". Vajon hány cédulán áll igaz állítás?
|
Előzmény: [1774] Sirpi, 2007-01-17 14:25:30 |
|
[1781] Lóczi Lajos | 2007-01-17 21:29:17 |
Köszönöm ezt a szép eszmefuttatást! Meglepett, hogy "véges dimenzióban" meg lehetett oldani a kérdést szakaszonként lineáris függvényekkel (a töréspontokban persze hajszálnyit lekerekítve, hogy a sebességgrafikon ne törjön meg -- amúgy vajon van annak fizikai realitása, hogy megtörik? Mondjuk ütközésnél talán lehetne feltételezni ezt, nem?) Azért féltem, hogy nehéz ez a kérdés, mert azt hittem, igazi "görbékkel" kell majd dolgozni, de ezt megcáfoltad :)
|
Előzmény: [1766] Sirpi, 2007-01-17 07:56:06 |
|
[1780] Lóczi Lajos | 2007-01-17 20:25:25 |
A 6 szám négyzetösszege akármilyen nagy lehet, írj be pl. egymillió körüli értékeket a változók helyére. De a gondolatmenetedből az látszik, hogy bizonyos egyenlőtlenségjelek meg vannak fordítva, szóval két különböző feladatról beszélünk.
|
Előzmény: [1772] epsilon, 2007-01-17 14:15:21 |
|
[1779] Roberto85 | 2007-01-17 17:34:24 |
na mind1 közben rájöttem a megoldásra nagyon köszi ha valaki gondolkodott rajta
|
|
[1778] Roberto85 | 2007-01-17 16:05:41 |
erre valaki? a, Van egymás mellett 5 ház, mind az 5 különböző színű b, A házakban egy egy személy lakik, mind különböző nemzetiségű c, MIndegyik fogyaszt valamilyen italt, dohányárút és tart valamilyen álatot. d, Egyikük sem fgyaszt ugyanolyan italt, szív ugyanolyan cigit, és tart ugyanolyan állatot.
Egyéb információk: 1. Brit piros házban lakik 2, svéd kutyát tart. 3. Dán teát iszik 4. fehér ház balján a zld ház van. 5, a zöld házban kávét fogyasztanak. 6. Az a személy aki Pall mallt szív, madarakat tart. 7. sárga ház lakója Dunhillt szív 8. Középső házban lakó tejet iszik 9. norvég az első házban lakik. 10.a Blendet szívó szomszédjában lakó macskát tart. 11. A blue mastert szívó ember sörözik 12.A lovakat tartó szomszédjábanlakó Dunhillt szív. 13. A német Prince-t szív 14. A norvég a kék ház szomszédja 15A blendet szívó ember szomszédjban vizet isznak
|
|