Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1803] Cckek2007-01-21 09:59:09

De igen:) Ugyanis pontosan az

\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z^2}

diofantikus egyenlet megoldása közben jött elő ez az egyenlet.

Előzmény: [1802] epsilon, 2007-01-21 09:08:31
[1802] epsilon2007-01-21 09:08:31

Köszi Mindenkinek! Alaposan kimerítettétek a témát! ;-) Cchek: a két szöget x illetve y-ra nevezve, mindkét oldalt 4-gyel szorozva, a sin2x=2sinx×cosx alapján, nullára rendezve, két négyzetösszek különbsége szorzatra bomlik és ez a 2 eset áll elő: sin2x=-2ctgy illetve sin2x=2ctgy és most a sin2x-et a tangens felesképletekkel kifejezzük sin2x=2t/(1+t×t) ahol t=tgx és így t-ben másodfokú egyenlet lesz, szerinted ez az út nem járható?

[1801] Lóczi Lajos2007-01-20 23:54:31

A számítógép szépen végignézte az összes esetet, és persze megtalálta a (100,0,0,0,0,0), (50,50,50,50,0,0) optimumokat (és csak ezeket találta).

Előzmény: [1799] HoA, 2007-01-20 19:43:10
[1800] Lóczi Lajos2007-01-20 21:32:49

Ó, persze, a nemnegativitási feltételeket kihagytam. Köszönöm, hogy rámutattál.

(Az zavarhatott meg, hogy egyenlőtlenséggel megadott feltételek esetén a multiplikátoroknak maguknak is nemnegatívnak kell lenniük, de ez még nem mond semmit a változókról...)

Előzmény: [1799] HoA, 2007-01-20 19:43:10
[1799] HoA2007-01-20 19:43:10

A megfigyelt jelenség már akkor is előjön, ha csak az első feltételt vesszük. Legyen tehát

L(x,y,\mu):=x2+y2+\mu(100-x-y)

Az első két parciális deriváltból itt is kijön x=y. Ábrázoljuk az f(x,y)=x2+y2 függvényt az xy síkban szintvonalakkal: ezek nyilván origó középppontú koncentrikus körök. A vizsgált tartomány az x+y=100 egyenes által határolt félsík. f(x,y) a tartományban és a határán is tetszőleges nagy értéket felvehet, maximuma nincs. Az egyenes x=0 vagy y=0 értékkel jellemzett pontja, amelyekből az y=100 ill. x=100 érték adódna, semmilyen különleges szerepet nem játszik. Nem is csoda, hiszen nemcsak x és y nagyságviszonyát, hanem az x\ge0 , y\ge0 feltételeket sem vettük figyelembe. Ha megtesszük, a Lagrange függvény így alakul:

L(x,y,\mu1,\mu2,\mu3):=x2+y2+\mu1(100-x-y)+\mu2(x-0)+\mu3(y-0)

A megoldandó egyenletrendszerben a 0-t adó szorzatoknál 0 tényezőül {100-x-y=0;\mu2=0;y=0} -t választva x = 100, {100-x-y=0;x=0;\mu3=0} -ból y = 100 adódik. A {\mu1=0;x=0;y=0} választás a megengedett \Delta alakú tartomány harmadik csúcsát jelóli ki, de itt persze nincs maximum. Visszatérve eredeti feladatunkra, itt az x+y\le100 és z+t+u+w\le100 mellett a w\ge0 , u\gew , t\geu, ... , x\gey feltételeket is figyelembe kell venni. Ezzel egyúttal a változók nemnegatív voltát is biztosítjuk. A 8 db 0 szorzat 0 tényezőinek megválasztásánál - 28 eset - anélkül, hogy mind a 256 kombinációt végignéznénk, csak rámutatunk, hogy a { w=0; u=w ; t=u; z=t ; y =z ; x+y = 100 } választás adja az x=100,y=z=t=u=w=0 megoldást, míg a { w=0; u=w ; z=t ; y =z ; x+y = 100 ; z+t+u+w = 100 } kombináció az x=y=z=t=50,u=w=0 eredményt.

Előzmény: [1791] Lóczi Lajos, 2007-01-19 01:16:58
[1798] Cckek2007-01-20 13:29:37

Legyen \theta,\phi \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right) úgy, hogy tg\theta,tg\phi\inQ.

Oldjuk meg a cos2\thetasin2\theta=ctg2\phi egyenletet.

[1797] HoA2007-01-19 23:04:07

A módszer az alábbi általánosításig biztosan működik:

- a két csoportban szereplő számok darabszáma ( most 2, ill. 4 ) legyen k ill. m.

- a csoportok elemeinek összege ( most 100,100) ne legyen nagyobb, mint A ill. B

Tehát legyen k+m számunk, x1,...,xk+m , ahol

x1\gex2\ge...\gexk+m\ge0(1)
\sum_{i=1}^k {x_i} \le A (2)
\sum_{j=1}^m {x_{k+j}} \le B (3)

Mekkora \sum_{i=1}^{k+m} {x_i}^2 maximuma?

Az összeget rögzített xk (az első csoport legkisebb eleme, az eddigi y) mellett vizsgáljuk. (1) -ből és (2) -ből A \ge \sum_{i=1}^k {x_i} \ge k \cdot x_k , 0 \le x_k \le \frac{A}{k} ( Ez egyben válasz Epsilon kérdésére: A=100 és k=2 esetére 0\lex2=y\le50 ) Az [1795]-beli indokláshoz hasonlóan belátható, hogy az első csoport négyzetösszege akkor a legnagyobb, ha x2=x3=...=xk x1=A-(k-1).xk Példa: ha k=4,x4=4,A=22 , akkor { 10;4;4;4 } négyzetösszege nagyobb, mint pl. { 7;6;5;4 } -é. A második csoportra igaz az [1795]-beli szabály: ameddig lehet xk+j=xk egy szám pedig B és az eddigiek összegének különbsége: xk+1=xk+2=...=xk+d=xk,xk+d+1=B-d.xk Az [1795]-beli szakaszhatárok most a \frac{B}{m} , \frac{B}{m-1} ... értékek. Vegyük észre, hogy  \frac{A}{k} > B esetén xk>B is előfordulhat, tehát maga B is lehet szakaszhatár. Ekkor a második csoport első eleme B, a többi 0. Másrészt ha B \ge m \cdot \frac{A}{k} akkor a második csoportba mindig "belefér" m darab xk érték, tehát görbénk csak egyetlen parabolaívből áll. Függvénygörbénk - a maximális négyzetösszeg xk tól függése - vizsgálatát másokra hagyom.

Előzmény: [1796] epsilon, 2007-01-19 17:09:25
[1796] epsilon2007-01-19 17:09:25

Helló HoA! Valóban elemi, logikus, szép. Van néhány kérdöjelem, amit magamban kellene tisztáznom: Az y nem több mint 50 az indulásból feltehető? Továbbá ha általánosítani kellene, a 100 helyett pl. 2a lenne, na meg a tagok száma 6 helyett n, akkor az általad jelzett 3 intervallumba sorolás az y-ra vonatkozóan hogyan alakulna, mindegyiket külön-külön elemezni kellene, vagy belátható-e elég könnyen, hogy a sok lokális maximumból melyik is a globális maximum? Én ezeken tűnődöm, ha vannak megjegyzéseid, szívesen veszem, és kösz, a megoldásodban volt jó pár mentő ötlet! Üdv: epsilon

[1795] HoA2007-01-19 11:20:58

Egy elemi eszközöket használó megoldás lépései:

Bontsuk a négyzetösszeget két részre, legyen az első tag x2+y2 , a második z2+t2+u2+w2 . Vizsgáljuk a maximumot rögzített y mellett (0\ley\le50). Az első tag nyilván akkor a legnagyobb, ha x = 100 - y. A második tagban keressük négy 0 és y közötti z,t,u,w szám maximális négyzetösszegét, ahol z+t+u+w<=100 .

1) Belátható, hogy ha z+t+u+w<100 és nem mindegyik = y, akkor az y-nál kisebb számok növelésével a négyzetösszeg nő.

2) Belátható, hogy rögzített z+t+u+w mellett a négyzetösszeg nő, ha egy nagyobb számot növelünk és egy kisebbet csökkentünk: Szabatosan : Ha z>t\ged>0, akkor (z+d)2+(t-d)2>z2+t2

1) -ből és 2) -ből következik, hogy a második tag akkor a legnagyobb, ha z,t,u,w ameddig csak lehet = y , egy szám pedig a többiek 100-ból vett maradéka. Vagyis a második tag szerkezete függ y-tól. Szabatosan: Ha 0 \le y \le \frac{100}{4} = 25 , akkor a második tag maximuma 4y2 , a két tag összege

(100-y)2+5y2(1)

. Ha 25 = \frac{100}{4} \le y \le \frac{100}{3} = 33\frac13, akkor a második tag maximuma 3y2+(100-3y)2 , a két tag összege

(100-y)2+4y2+(100-3y)2(2)

. Végül ha 33\frac13 = \frac{100}{3} \le y \le \frac{100}{2} =50 , akkor a második tag maximuma 2y2+(100-2y)2 , a két tag összege

(100-y)2+3y2+(100-2y)2(3)

A négyzetösszeg maximumot y függvényében ábrázolva tehát egy három, egymáshoz csatlakozó, alulról konvex parabolaívből álló görbét kapunk. A teljes y tartományra a maximumot ezért csak a széleken és a csatlakozási pontokban kell vizsgálni. természetesen a már ismert eredményt kapjuk: A maximum 10000, amit az x=100, y=z=t=u=w=0 és az x=y=z=t=50, u=w=0 értékrendszerek adnak.

Előzmény: [1792] epsilon, 2007-01-19 07:16:56
[1794] epsilon2007-01-19 11:16:20

Szerintem nem, mert ennél nem használtuk fel a betűk közötti rendezési sorrendet, és ha annélkül kijönne, akkor...nem stimmel mert a feltételek nélkül más értékekre nagyobb lehet a maximum. Vagyis akár rendezett sorrenddel, akár annélkül, nem jöhet ki ugyanaz.

[1793] Cckek2007-01-19 10:15:30

Nos a kérdésem az, hogy ezen feltételek mellett fennáll-e a

(x+y+z+t+u+w)2+(x-y)2+(x-z)2+(x-t)2+(x-u)2+(x-w)2+(y-z)2+(y-t)+(y-u)2+(y-w)2+(z-t)2+(z-u)2+(z-w)2+(t-u)2+(t-w)2+(u-w)2\le6.1002 egyenlőtlenség? Ugyanis ekkor a Lagrange azonosságból következik a maximum.

Előzmény: [1791] Lóczi Lajos, 2007-01-19 01:16:58
[1792] epsilon2007-01-19 07:16:56

Egy biztos: a feladatot olyan helyen találtam, hogy elemi eszközökkel gondoltak a megoldására. Ahogy viccese mondják, ezt analízissel megoldani olyen mint a bolhavadászat fejszével :-) Az alapelgondolásom az volt (az y-nál kisebb rendett számok miatt), hogy mivel előtte csak 1 szám van, nála kisebb meg 4 szám, ezért az x maximizálása sokkal gyengébb mint az y maximizálása, ami által a többi 4 szám maximizálható, és ezeket maximizálva jobban közeledünk a négyzetösszeg maximumához. Valahogyan nem illik ebbe a képbe a 100, és a többi 0 megoldás. Persze mindez csak érzés, sejtés, de...???

[1791] Lóczi Lajos2007-01-19 01:16:58

Felírtam a feltételeket, de nem jött ki csak 7500 a maximum értékére. Valaki tudna segíteni, hogy megértsem, miért nem kaptam meg a 10000-et?

Tehát a link azt mondja, írjam fel a feladat Lagrange-függvényét (az ottani \mu1 és \mu2 helyett \lambda és \mu betűket használtam):

L(x,y,z,t,u,w,\lambda,\mu):=x2+y2+z2+t2+u2+w2+\lambda(100-x-y)+\mu(100-z-t-u-w).

Ekkor a lehetséges maximum helyét az alábbi egyenlet-egyenlőtlenségrendszer megoldása adja (az alsó indexek a megfelelő parciális deriváltakat jelöljék, az L függvény argumentumait nem írom ki):

Lx=0,Ly=0,Lz=0,Lt=0,Lu=0,Lw=0,\lambda(100-x-y)=0,\mu(100-z-t-u-w)=0,\lambda\ge0,\mu\ge0.

Igen ám, de az első két egyenletből az jön ki, hogy x=y, és így rögtön kiesett x=100,y=z=t=u=w=0 megoldás.

Hol van vajon az ellentmondás oka? (A változók nagyság szerinti rendezésére vonatkozó feltételt egyelőre elhagytam az eredeti feladatból.)

Előzmény: [1790] Lóczi Lajos, 2007-01-19 00:00:48
[1790] Lóczi Lajos2007-01-19 00:00:48

Közben itt egy link a Kuhn-Tucker feltételekről, ez alapján el lehetne indulni:

http://mat.gsia.cmu.edu/QUANT/NOTES/chap4/node6.html

Előzmény: [1789] Lóczi Lajos, 2007-01-18 23:55:45
[1789] Lóczi Lajos2007-01-18 23:55:45

Le tudnád írni a multiplikátor-elvet ebben a szituációban, amikor egyenlőtlenségek is szerepelnek a feltételi halmaz kijelölésében? Vagy egy online hivatkozást esetleg, hogy szisztematikusan megpróbáljuk kiszámolni a kérdést.

Előzmény: [1786] Cckek, 2007-01-18 20:44:15
[1788] Lóczi Lajos2007-01-18 23:53:12

Néhány számítógépes teszt nem cáfolta az Általad írt két optimum helyét.

Előzmény: [1787] epsilon, 2007-01-18 21:50:05
[1787] epsilon2007-01-18 21:50:05

Bocs, a pötyögtetéssel elírtam :-( ezeket: x+y>=100, z+t+u+w>=100 helyesen így lenne: x+y<=100, z+t+u+w<=100 na meg nem szándékom nagyágyúval rálőni, mert több változóra, 100 helyett másra is, meg 6 szám helyett szerintem többre is a 100,0,0,0,0,0 illetve az 50,50,50,50,0,0 esetekben érné el a maximumot? De alaposabban indokolva? Vagy van más vélemény?

[1786] Cckek2007-01-18 20:44:15

Ez feltételes szélsőértékfeladat. A Lagrange multiplikátorokkal megoldható. Persze a feltételeknél az egyenlőtlenségek talán fordítva kéne álljanak...

Előzmény: [1772] epsilon, 2007-01-17 14:15:21
[1785] Sirpi2007-01-18 09:46:52

Nyilván a \geq100 egyenlőtlenségek helyett \leq100 kell hogy szerepeljen, legalábbis a korábbi elemzésből ez egyértelműen látszik.

Előzmény: [1784] HoA, 2007-01-18 08:34:51
[1784] HoA2007-01-18 08:34:51

Szia Epsilon!

Lóczi Lajosnak igaza van, így a feladat érdektelen. Viszont amúgy érdekelne, légy szíves nézd meg, ahol "összefutottál" vele, hogy is állnak valójában az egyenlőtlenségjelek.

Előzmény: [1772] epsilon, 2007-01-17 14:15:21
[1783] i2007-01-17 22:13:54

Egy cédulán, a 99.-en. :)

Előzmény: [1782] Matthew, 2007-01-17 21:32:55
[1782] Matthew2007-01-17 21:32:55

Bocsánat,Neked van igazad,én az állításból kifolyólag egyértelműnek tartottam,hogy ha a 2-es hátlapján 4-es van,akkor a 4-es kártya hátlapján 2-es van,és ezért elég csak az 1,3-at megfordítani....Becsapós,a 4-esen buktam el a dolgot...Cserébe itt egy feladat(bár igazság szerint a "Csak logika"topikba kellene írnom):

Van 100 cédula. Az elsőre azt írták, hogy "pont egy cédulára írt állítás hamis". A másodikra azt, hogy "pont két cédulára írt állítás hamis", és így tovább. A századikon ez áll:"pont száz cédulára írt állítás hamis". Vajon hány cédulán áll igaz állítás?

Előzmény: [1774] Sirpi, 2007-01-17 14:25:30
[1781] Lóczi Lajos2007-01-17 21:29:17

Köszönöm ezt a szép eszmefuttatást! Meglepett, hogy "véges dimenzióban" meg lehetett oldani a kérdést szakaszonként lineáris függvényekkel (a töréspontokban persze hajszálnyit lekerekítve, hogy a sebességgrafikon ne törjön meg -- amúgy vajon van annak fizikai realitása, hogy megtörik? Mondjuk ütközésnél talán lehetne feltételezni ezt, nem?) Azért féltem, hogy nehéz ez a kérdés, mert azt hittem, igazi "görbékkel" kell majd dolgozni, de ezt megcáfoltad :)

Előzmény: [1766] Sirpi, 2007-01-17 07:56:06
[1780] Lóczi Lajos2007-01-17 20:25:25

A 6 szám négyzetösszege akármilyen nagy lehet, írj be pl. egymillió körüli értékeket a változók helyére. De a gondolatmenetedből az látszik, hogy bizonyos egyenlőtlenségjelek meg vannak fordítva, szóval két különböző feladatról beszélünk.

Előzmény: [1772] epsilon, 2007-01-17 14:15:21
[1779] Roberto852007-01-17 17:34:24

na mind1 közben rájöttem a megoldásra nagyon köszi ha valaki gondolkodott rajta

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]