Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2075] Lóczi Lajos2007-05-27 16:25:45

Sőt, a Newton-Leibniz-formula alapján minden olyan f folytonos függvény jó lesz, amelynek F primitív függvényére fennáll, hogy F(0)=F(1)=\int_0^1 F, én ebből a geometrikusabb feltételből találtam meg a

f(x):=(x(x-1/2)(x-1))'=3x2-3x+1/2

példát.

Előzmény: [2074] Cckek, 2007-05-27 15:44:29
[2074] Cckek2007-05-27 15:44:29

Gyönyörűszép levezetések nekem is ezek az értékek jöttek ki nagyjából:). A feltett kérdésre válaszolva:

\int_0^1{(ax+b)\cos{2\pi x}}dx=0, tehát ilyen függvény a cos 2\pix

Előzmény: [2072] Lóczi Lajos, 2007-05-27 13:32:17
[2073] Lóczi Lajos2007-05-27 14:17:02

Az eredeti f.) pont kérdésének megválaszolásához expliciten számoljuk ki az U operátor n-edik kompozícióhatványát, ami most könnyen megtehető: legyen x\inX rögzített elem, ekkor, ahogyan láttuk, bármely n pozitív egész esetén U[n](x)(s)=ans+bn alakú függvény, alkalmas an és bn számegyütthatókkal. Nyilván a_1=\int_0^1 x(t)dt\ge 0, b_1=\int_0^1 t x(t)dt\ge 0. Az U definíciójából ekkor adódik (hasonlóan ahhoz, amit már szintén láttunk az előző hozzászólásban), hogy

an+1=an/2+bn és bn+1=an/3+bn/2.

Ennek a rekurziónak a megoldása

a_{n+1}=\left(\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n \left(3-2
   \sqrt{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n \left(3+2 \sqrt{3}\right)\right) a_1-

 3
   \left(-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n
   \left(-2+\sqrt{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n \left(2+\sqrt{3}\right)\right)
   b_1

és

b_{n+1}=\left(-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n
   \left(-2+\sqrt{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n \left(2+\sqrt{3}\right)\right)
   a_1

-\left(\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n \left(3-2
   \sqrt{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n \left(3+2 \sqrt{3}\right)\right) b_1.

Ebből látszik, hogy tetszőleges s\in[0,1]-re \lim_{n\to \infty} \root n \of {U^{[n]}(x)(s)}=1/2+1/\sqrt{3}, ahol az eredmény tehát egy kontans függvény [0,1]-en.

Előzmény: [2072] Lóczi Lajos, 2007-05-27 13:32:17
[2072] Lóczi Lajos2007-05-27 13:32:17

Tudjuk, hogy a megadott X tér Banach-tér. Az U operátor nyilván lineáris.

a.) Az U operátor korlátos az X téren és ||U||op. operátornormája éppen 3/2, hiszen az X tér egységgömbjéről vett tetszőleges x függvénnyel


|U(x)(s)|\le s \int_0^1 |x(t)|dt+ \int_0^1 t |x(t)|dt \le s\cdot 1+1/2,

ennek a kifejezésnek a maximuma pedig s\in[0,1] esetén 3/2, amiből kapjuk, hogy ||U||op.\le3/2. Viszont az x(t)\equiv1 választás mutatja, hogy ||U(x)||=3/2 elérhető.

b.) Mivel tetszőleges x\inX függvény esetén U(x) egy s\mapstoa.s+b alakú X-beli függvény (a:=\int_0^1 x(t)dt és b:=\int_0^1 t x(t)dt), ezért az U operátor ranU értékkészlete részhalmaza az elsőfokú polinomok alterének X-ben, ami véges dimenziós. U tehát véges rangú, emiatt kompakt operátor.

e.) Bármely kompakt operátorra igaz, hogy spektruma csak a sajátértékeiből, illetve legfeljebb a 0 számból állhat. Mivel az X tér most végtelen dimenziós, ismert, hogy a 0 ilyenkor mindig spektrumpont. Megmutatjuk, hogy U-nak csak két nemnulla sajátértéke van.

Ehhez az U(f)=\lambdaf egyenlet megoldása szükséges: keresendő az összes olyan komplex \lambda\ne0 szám és f nem azonosan nulla folytonos függvény X-ből, amelyre a fenti egyenlőség fennáll. Azonban a bal oldal legfeljebb elsőfokú polinom, ahogyan azt láttuk, f(t) kereshető tehát f(t)=at+b alakban (a, b számok). Mivel ekkor U(f)(s)=s(a/2+b)+(a/3+b/2), ezért a sajátérték-egyenlet megoldása ekvivalens a következő kérdéssel: mely \lambda\ne0 számok esetén van nemtriviális megoldása az

a/3+b/2=\lambdab

a/2+b=\lambdaa

egyenletrendszernek. Egyszerűen látszik, hogy ez csak \lambda=1/2\pm 1/\sqrt{3} esetén van így, ezek tehát az U operátor nemnulla sajátértékei.

U spektruma tehát \{0,1/2- 1/\sqrt{3},1/2+ 1/\sqrt{3}\}.

c.) U nem injektív, mert a 0 egyúttal sajátérték is.

d.) A legkevésbé nyilvánvaló állítás a feladatból az, hogy a 0 szám sajátértéke is U-nak. Ehhez olyan f:[0,1]\toR folytonos függvényt kell keresni, ami nem azonosan nulla, mégis \int_0^1 f(t)dt=0 és \int_0^1 t\cdot f(t)dt=0. Ilyet lehet találni, de kíváncsi vagyok, ki milyen példát ad, a végén erre visszatérek.

f.) A kérdés nem a szokásos alakú, de arra nagyon hasonlít: a kitűző véletlenül itt nem a spektrálsugárra gondolt? Az U operátor spektrálsugara nem más, mint a 0-tól legmesszebb lévő pont a kompakt spektrumból, ami jelen esetben 1/2+ 1/\sqrt{3}. Ismert, hogy ez a szám egyenlő a \lim_{n\to \infty}\root n \of {||U^n||} limesszel -- nem elírás az f.) pont és erre gondoltál? (Az eredeti kérdésre egy lineáris rekurzió megoldása után úgy tűnik, könnyen lehetne válaszolni, de azt még nem néztem meg.)

g.) Jelölje Id az X tér identitásoperátorát. A válasz igen, hiszen az (U-1.Id) operátor (az X\toX korlátos lineáris operátorok Banach-terében) invertálható, lévén az 1 nem spektrumpont. (Sőt, emiatt több is igaz: fennáll a kezdeti feltételtől való folytonos függés is.)

h.) Az (U-1/\sqrt{3} Id)x=0 egyenletnek csak az x azonosan 0 függvény a megoldása, mert 1/\sqrt{3} nem spektrumpont, innentől pedig l. az előbbi pontot.

Végül visszatérve a fent említett kérdésre, oldjuk meg az alábbi feladatot:

Adjunk példát olyan f:[0,1]\toR folytonos függvényre, ami nem azonosan nulla, de tetszőleges elsőfokú p polinommal \int_0^1 p(t)\cdot f(t)dt=0.

Előzmény: [2071] Cckek, 2007-05-16 22:22:36
[2071] Cckek2007-05-16 22:22:36

Legyen X=(C_{[0,1]},||\cdot||), ||x||=max_{t\in [0,1]}|x(t)| és U:X\to X, U(x)(s)=\int_0^1{(s+t)x(t)}dt, s\in[0,1].

Számítsuk ki illetve döntsük el a következő kijelentések igaz vagy hamis voltát:

a) ||U||=?

b) U kompakt

c) U injektiv

d) 0 sajátértéke U-nak

e) U spektruma=?

f) \lim_{n\to \infty}\root{n} \of {U^n(x)}=?

g) x-U(x)=y egyenletnek mindig van egy es csakis egy gyöke, bármely lenne y\inC[0,1]

h) A \sqrt{3}U(x)=x egyenletnek van 0-tól különböző gyöke

[2070] HoA2007-05-09 10:38:48

A 325. feladat megoldásához lásd a "Valaki mondja meg" téma [174] és [176] hozzászólását.

Előzmény: [2069] BohnerGéza, 2007-05-09 00:16:06
[2069] BohnerGéza2007-05-09 00:16:06

Elnézést! A 325. feladat van az előző hozzászólásban.

Előzmény: [2068] BohnerGéza, 2007-05-09 00:12:34
[2068] BohnerGéza2007-05-09 00:12:34

Mutassuk meg, hogy tetszőleges n pozitív egészre van n db pithagóraszi számhármas, melyekben az átfogó (vagy az egyik befogó) megegyezik!

[2067] Gubbubu2007-05-08 23:06:13

Persze, persze. Volt egy fizkémofő tanárom, aki mindig azt mondta: "ne azt írjátok, amit mondok, hanem amit gondolok" :-)).

Előzmény: [2066] Sirpi, 2007-05-08 16:23:26
[2066] Sirpi2007-05-08 16:23:26

Ha már kötözködés, akkor a halászbárka nem 200m-es, hanem \sqrt {\frac 23} \cdot 200 méteres hullám tetején kell, hogy legyen ;-)

Előzmény: [2064] Gubbubu, 2007-05-08 15:46:12
[2065] Gubbubu2007-05-08 15:47:25

Ugyanezen okok miatt a "léghajó" még kevésbé egzakt megoldás, hiszen ha a léghajó a tengeren halad, akkor ott valószínűleg valami baj történt :-)).

Előzmény: [2064] Gubbubu, 2007-05-08 15:46:12
[2064] Gubbubu2007-05-08 15:46:12

A negyedik egyértelműen egy halászbárka, amelyet egy 200 méter magas hullám épp a csúcsára vett. A másik három vízijármű egy 200 méter oldalhosszúságú egyenlőszárú háromszög három csúcsát alkotja, melyek mindegyike 200 méter távolságra van a halászbárkától.

A "tengeralattjáró" kifogásolható megoldás, mivel nem a szó szoros értelmében a "tengeren" halad, hanem a tenger>ben< (kivéve persze, ha épp felszíni üzemmódban halad. De akkor meg nem a szó szoros értelmében vett tengeralattjáró, hanem tengeralattjáró, amelyet halászbárkának használnak).

Ez az egzakt megoldás.

Előzmény: [2051] Fálesz Mihály, 2007-05-04 10:47:19
[2063] Cckek2007-05-06 18:29:46

324.feladat Határozzuk meg azon n-edrendű permutációk számát melyekre |p(i)-i|\lei

[2062] Cckek2007-05-06 18:15:46

Írhatjuk: 1=\frac{\sum_{i=1}^n(\sin^2y_i+\cos^2y_i)}{n}=\frac{\sum_{i=1}^n\sin^2y_i}{n}+\frac{\sum_{i=1}^n\cos^2y_i}{n}\ge \root{n}\of{\prod_{i=1}^n\sin^2y_i}+\root{n}\of{\prod_{i=1}^n\cos^2y_i},

tehát

\frac{1}{\root{n}\of{\prod_{i=1}^n\cos^2y_i}}\ge 1+\frac{\root{n}\of{\prod_{i=1}^n\sin^2y_i}}{\root{n}\of{\prod_{i=1}^n\cos^2y_i}},

az-az

\root{n}\of{\prod_{i=1}^n(1+\tg^2y_i)}\ge 1+\root{n}\of{\prod_{i=1}^n\tg^2y_i}.

Ha \tg^2y_i=x_i, i=\overline{1,n} kapjuk a kivánt egyenlőtlenséget.

Előzmény: [2057] Yegreg, 2007-05-04 16:24:05
[2061] Lóczi Lajos2007-05-05 01:07:51

Definiáljuk kétféleképp, és mindkét értelemben számoljuk ki, úgy, mint ij=elog (i).j, illetve, mint ij=ej.log (i), ahol log (i) (végtelen sok) értékei azon q kvaterniók, melyekre eq=i.

Előzmény: [2060] Lóczi Lajos, 2007-05-05 01:03:05
[2060] Lóczi Lajos2007-05-05 01:03:05

Pár kérdés, amit nem értek:

1. Miért lenne log j=j\pi/4 ? Szerintem nem az.

2. Valósban sem a kitevő, hanem az alap logaritmusát vesszük egy hatvány definíciójakor, tehát nem jó formulából indulsz ki.

3. exp(k\pi/4) értéke nem k.

Előzmény: [2059] jonas, 2007-05-04 22:53:31
[2059] jonas2007-05-04 22:53:31

Jó kérdés.

Azt ugye tudjuk, hogy log j=j\pi/4, így azt mondhatnánk, hogy ij=exp(ilog j)=exp(ij\pi/4)=exp(k\pi/4)=k. Viszont ugyanígy mondhatnánk, hogy ij=exp(log j.i)=-k. Nem tudom, melyik a helyes, és egyáltalán azt sem, hogy értelmezve van-e a hatvány.

Az előző e alapú hatvány azért volt értelmezve, mert egy valós együtthatós hatványsorba bármilyen kvaternió elemet (vagy mátrixot) be tudunk helyettesíteni, hiszen egy elem hatványai felcserélhetőek egymással és a komplex számokkal is. Ezzel szemben az ix már nem valós, hanem komplex együtthatós hatványsor, amibe pedig nem helyettesíthetünk be akármilyen kvaterniót. Ha j-t az előzőhez hasonlóan egy 4x4-es valós mátrixként fogjuk fel, és behelyettesítjük a komplex hatványsorba, akkor egy nem valós komplex mátrixot kapunk, amit nem foghatunk fel kvaternióként.

Előzmény: [2050] Lóczi Lajos, 2007-05-03 22:15:57
[2058] lorantfy2007-05-04 21:20:01

Inkább léghajó, mert nem biztos, hogy a tenger mélysége elegendő.

Előzmény: [2055] Matthew, 2007-05-04 13:50:58
[2057] Yegreg2007-05-04 16:24:05

Igazoljuk, hogy ha x1,x2,...,xn pozitív számok, akkor \root{n}\of{(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)}\geq 1+\root{n}\of{x_1x_2...x_n} !

[2056] Fálesz Mihály2007-05-04 15:02:03

Igen. Esetleg léghajó. :-)

Előzmény: [2055] Matthew, 2007-05-04 13:50:58
[2055] Matthew2007-05-04 13:50:58

tengeralattjáró?

Előzmény: [2051] Fálesz Mihály, 2007-05-04 10:47:19
[2054] HoA2007-05-04 13:48:37

Attól még nem hibás egy feladat, hogy több megoldása van. Ha a kitűző azt szeretné, hogy csak egy legyen, szigorítsa a feltételeket. Tehát a 324. feladatra rímelő kitűzés: Hogyan lehet 6 gyufaszálból 4 olyan szabályos háromszöget kirakni, melyek oldala egy gyufaszál hosszú ?

Előzmény: [2053] jonas, 2007-05-04 13:25:40
[2053] jonas2007-05-04 13:25:40

Ezt a feladatot Mérő László megemlíti az egyik könyvében. Szerintem viszont ez a feladat hibás, mert van egy másik megoldása is:

Előzmény: [2052] HoA, 2007-05-04 11:25:23
[2052] HoA2007-05-04 11:25:23

Aki ezt a fórumot látogatja és nem ismeri ezt a feladatot, az talán azt sem tudja, hogy lehet 6 gyufaszálból 4 szabályos háromszöget kirakni :-)

Előzmény: [2051] Fálesz Mihály, 2007-05-04 10:47:19
[2051] Fálesz Mihály2007-05-04 10:47:19

324. feladat. Négy hajó halad a tengeren, bármelyik kettő távolsága pontosan 200 méter. Az egyik egy motorcsónak, a második egy jacht, a harmadik vitorlás hajó. Milyen hajó a negyedik?

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]