|
|
|
|
|
|
|
[2372] SmallPotato | 2007-10-08 21:44:00 |
Értem, köszönöm!
(Az efféle "körszimmetrikus" egyenletrendszerekkel többnyire elakadok: érzem én, hogy ha pontosan egyformán fordulnak elő a változók, akkor egyenlőknek kell lenniük - csakhát az érzés nem bizonyítás, ugye ... :-)) )
|
Előzmény: [2370] rizsesz, 2007-10-08 20:57:16 |
|
|
[2370] rizsesz | 2007-10-08 20:57:16 |
(a-y)ad2+(a+z)ad2 = (a-z)ad2+(a+x)ad2 = (a-x)ad2+(a+y)ad2
Ha a szobában vizsgálódunk, akkor feltehető, hogy x, y és z is egyaránt kisebb, mint "a". Ekkor az f(x)=(a-x)ad2 fv. szig. mon. csökkenő, míg g(x)=(a+x)ad2 szig. mon. nő a>0, x>0 miatt. Ha tehát x>=y, akkor (a-z)ad2+(a+x)ad2 = (a-x)ad2+(a+y )ad2 miatt (a-z)ad2<=(a-x)ad2 innen z>=x.
(a-y)ad2+(a+z)ad2 = (a-z)ad2+(a+x)ad2 is igaz viszont, és ebből teljesen hasonlóan y>=z, ami az előzőek miatt azt jelenti, hogy y>=z>=x>=y, ami azt jelenti, hogy csak az lehetséges, hogy a 3 szám egyenlő.
(valamiért nem megy semmi a teX-kel kapcsolatban :(). Az ad a hatvány-jel.
|
Előzmény: [2353] SmallPotato, 2007-10-02 14:29:53 |
|
[2369] epsilon | 2007-10-07 13:31:32 |
Kedves Róbert Gida! Valóban szórakozom, de nem mással, mint éppen ez utóbbi feladatnak egy másik megoldásával és az általánosításával. Ha észrevetted, a 2359-es hozzászólás ezt a feladatot általánosítja, éppen ezért, ott az n nem csak páros. Tehát, ha ez utóbbi annak a sajátos esete, akkor érthető, hogy sajátos számok, feltételek állnak ez esetben.
|
Előzmény: [2367] Róbert Gida, 2007-10-07 13:14:52 |
|
|
[2367] Róbert Gida | 2007-10-07 13:14:52 |
Most szórakozol, vagy mi? Egyetlen szóval sem írtad, hogy páros nemnegatív számokra kérted csak az előállítást. Egyébként, ahogy megoldottam úgy is teljesen értelmes feladat volt. Gondolatolvasó pedig (még) nem vagyok.
Itt az új feladat megoldása, bár lövésem sincs, hogy most ezt akarod-e megoldani: x2+y2+2*x*y+x+3*y=2*n-nek keressük nemnegatív egész megoldását minden n0-ra. x-re rendezve az egyenletet:
x2+(2*y+1)*x+(y2+3*y-2*n)=0
Ennek a megoldásai:
Legyen a az az egyértelműen meghatározott nemnegatív egész szám, amelyre teljesül, hogy (2*a+1)28*n+1<(2*a+3)2. Ekkor, mivel minden páratlan négyzetszám 8k+1 alakú, ezért van olyan nemnegatív y, amelyre: 8*(n-y)+1=(2*a+1)2, innen azaz ya, ezért és persze egész, ami kellett, így valóban minden nemnegatív páros egész előáll nemnegatív x,y segítségével, a bizonyításból egyébként az is kiderül,némi munkával, hogy az előállítás ráadásul egyértelmű.
|
Előzmény: [2365] epsilon, 2007-10-07 09:37:55 |
|
[2366] epsilon | 2007-10-07 10:07:22 |
Elfelejtettem pontosítani: x és y nemnegatív egészek lehetnek!
|
|
|
|
|
|
[2361] nadorp | 2007-10-06 18:19:25 |
Ha x2+y2=8n+10, akkor x és y azonos paritású, tehát, miatt 4n+5 is két egész szám négyzetösszege. Ismert, hogy egy egész szám akkor lehet két egész négyzetösszege, ha a prímtényezős felbontásában minden 4k-1 alakú prím páros kitevőn szerepel. Ebből következik, hogy például a
3.7(2x-1)2=21(2x-1)2
alakú számok nem állnak elő két egész négyzetösszegeként, tehát a 42(2x-1)2 alakúak sem, pedg 8n+10 alakúak
|
Előzmény: [2357] epsilon, 2007-10-06 08:57:35 |
|
[2360] Róbert Gida | 2007-10-06 16:47:17 |
x=0,y=0 esetén p(x,y)=0
x>0 vagy y>0-ra p(x,y)>1 Azaz már az 1 sem áll elő. A helyzet még ennél is rosszabb, ugyanis végtelen sok pozitív egész szám nem áll elő, ezt a megoldások számának triviális felső becslésável lehet belátni, n=K2-ig tekintve a megoldásokat.
|
Előzmény: [2359] epsilon, 2007-10-06 13:40:30 |
|
[2359] epsilon | 2007-10-06 13:40:30 |
Köszi, egy átalakításnál elnéztem a feladatot ami erre vezetett. Valójában az érdekelne, hogy milyen a, b, c, pozitív egész számok esetén van nemnegatív egészekből álló megoldása az alábbi egyenletnek, minden n pozitív egész számra. Szakirodalom a neten, az is érdekelne! Előre is kösz!
|
|
Előzmény: [2357] epsilon, 2007-10-06 08:57:35 |
|
|
[2357] epsilon | 2007-10-06 08:57:35 |
Helló! A következő kérdésre nem találok azonnali választ :-( "Ihazoljuk, hogy minden nemnegatív n egész szám esetén 8n+10 felírható két páratlan egész szám négyzetösszegeként!" Bármilyen tippet előre is köszönök! Üdv: epsilon
|
|
|
[2354] rizsesz | 2007-10-02 15:18:11 |
Ezekből az egyenletekből páronként 2x=y+z, 2y=x+z, 2z=x+y, és ezekből x=y=z könnyen jön, ami valóban az említett egyenes. nem :D?
|
|