Fórum: Érdekes matekfeladatok

57. feladathoz

Nem tudom, vajon van-e ennek a feladatnak elemi megoldása, s mivel én nem találtam olyat, így programmal estem neki. Ha már lúd, legyen kövér: nem csak a kitűzött formátumú megoldásokat kerestem, hanem másokat is, amelyek ráillenek a kiírás szövegére. Az eredeti, vagyis az AB*CDE=GHIJ formátumból az alábbi hetet találta a progi:

12 x 483 = 5796; 18 x 297 = 5346; 27 x 198 = 5346; 28 x 157 = 4396; 39 x 186 = 7254; 42 x 138 = 5796; 48 x 159 = 7632

Emellett adódott két darab A*BCDE=GHIJ típusú megoldás (4 x 1738 = 6952; 4 x 1963 = 7852), valamint számtalan A*B*CDE=GHIJ és A*BC*DE=GHIJ típusú is, például 3 x 28 x 71 = 5964 illetve 6 x 9 x 138 = 7452.

A négyféle típus elemeinek összlétszáma 79.

Akit esetleg érdekel, a program forrása és teljes kimenete megtalálható itt.

57. feladat:

Tekintsük a 48×159=7632 szorzatot, melyben az 1-9 számjegyek mindegyike szerepel, de csak egyszer. Képezzünk hasonló szorzásokat!

HK

Én is ezt mondtam [216]-ban, de hát gyorsan felejtenek a népek...

n²+1=2^m és m2 esetén a bal oldal 4-es maradéka 1 vagy 2, a jobb oldalé 0, tehát ilyenkor nincs megoldás.

m=0 esetén n=0, m=1 esetén n=1 adódik, és ezzel az egyszerü húzással az eredeti feladatot is megoldottuk.

S

Kedves Onogur,

ha csak képlet kell, azt könnyű gyártani:) Íme egy, amely megadja az egyenlet megoldását, ha az iteratív módszer már szóba került:

lim(a_k),

ahol a_k+1=log₂(a_k²+1), és például a₀=4. (A limesz létezik, mert az a_k sorozat monoton növő és felülről korlátos.)

Igazad van. Azt hittem, n egész szám, de valójában ez sehol sem volt leírva :-)

z.

Kedves Zormac!

n=44²+1>2⁴

n=55²+1<2⁵

Így a (4,5) tartományban van egy megoldás, ezt én iteratív úton meghatároztam [214], továbbá tény, hogy n>5 megoldás már nem létezik, amire hozzászólásodban utaltál. Mi arra is kiváncsiak lettünk volna, hogy ez képlet formájában megadható-e. Eddig erre nem jött válasz, tehát szerintem nem olyan egyszerű a feladat.

HK

nyomdahiba... természetesen ezt akartam írni: "ráadásul n=5-re már igaz, hogy 2ⁿ>n²+1 és ennek az öröklődését már..."

A 47. feladat valóban nem kelt el, pedig egyszerű... (az volt, hogy oldjuk meg: n²+1=2ⁿ).

Először is n=0 és n=1 megoldások, 2n5 pedig nem megoldások, amint azt könnyű ellenőrizni. Ráadásul n=5-re már igaz, hogy 2ⁿ<n²+1 és ennek az öröklődését könnyű belátni nagyobb n-ekre, például azáltal, hogy a 2ⁿ sorozat hányados-sorozata nagyobb, mint az n²+1 sorozaté (afféle indukció):

Esetleg az lehetne egy nehezebb feladat, hogy oldjuk meg az alábbit (nem tudom, értelmes feladat-e, csak úgy eszembe jutott, hátha mi lesz :-)

n²+1=2^m.

56.feladat: 40 m magas torony tetejéről kell lejutnunk. Van egy 30 m-es kötelünk, késünk és gyufánk. A kötelet csak 40 m és 20 m magasságban lehet rögzíteni. Leugrani persze semmilyen magasságból sem tanácsos.

(Aki ismeri, ne lője le!)

A 35. feladat a Cornides István Matematika - Fizika Emlékverseny 1.feladata volt és így szólt:

Határozza meg, mely p valós számokra van az

x³+px²+2px=3p+1

egyenletnek három különböző a, b, c valós gyöke, amelyre ab=c².

35. faladat megoldása: A három gyök a, b, c tehát a gyöktényezős alak:

(x-a)(x-b)(x-c)=x³-(a+b+c)x²+(ab+ac+bc)x-abc=0

Összehasonlítva ezt az eredeti egyenlettel és alakítgatva:

a+b+c=-p    a+b=-c-p

ab+ac+bc=2p    ab+(a+b)c=2p

abc=3p+1  mivel  ab=c²  c³=3p+1

Második egyenletbe ab és (a+b) értékét beírva:

c²+(-p-c)c=2p  -pc=2p  0=p(c+2)

Tehát p = 0 vagy c=-2

p=0 esetén x³=1 a=1, b=1, c=1 és ab=c² is teljesül.

Ha c=-2, akkor p = -3, a+b=5, ab=4 és így a²-5a+4=0.

Gyökei: a=1 vagy a=4, amihez b=4 vagy b=1 tartozik.

p= -3 esetén az eredeti egyenlet gyökei valóban 1, 4 és -2.

Kedves Károly!

Éppen most gondoltam, hogy kigyüjtöm a megoldatlan példákat. Szerencsére már megcsináltad - köszönet érte!

55. feladat:

Daraboljuk az egységnégyzetet kisebb négyzetekre.

A) Milyen részekre nem lehet feldarabolni?

B) Lehet-e legalább 11 féleképpen feldarabolni 11 részre?

HK

Kedves Topik!

A még meg nem oldott feladatok listája:

3. [3] (félig megoldva!)

12. [60]

35. [148]

40. [180]

44. [199]

47. [204]

54. [229]

Jó gondolkodást a hétvégére :o)

HK

Kedves László!

Tény, hogy hamar lelőttem, de cserében feltettem gyorsan egy másikat. Hasonló feladatokat a GEOMETRIA topikba is raktam, de eddig nem harapot rá senki, pedig lehetne még néhányat feladni. Érdekes - legalábbis számomra - a kitölthetőségi téma.

HK

Szevasztok, csao! szeretnelek titeket ertesiteni arrol, hogy a trefort.chat.net -en megalakult a KoMaL szoba, szivesen varunk mindenkit, hogy kialakithassunk egy jo kis matekos, fizikas legkort! remelem minnel tobben leszunk! Hello

Érdemes megnézni az 1990. évi diákolimpia 3. feladatát.

Ez egyúttal könyvajánlás is: Reiman István - Dobos Sándor: Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák 1959 - 2003, Typotex Kiadó

Kedves Károly!

Ez rekord sebességű megoldás volt. Gratulálok! Kár volt megcsinálnom a megoldás ábrát.

Kedves László!

54. feladat:

Vegyünk el ebből a 64 golyóból 1 darabot. Mekorra az a legkisebb négyzet alakú keret belső mérete, amibe még bele lehet rakni ezt a 63 darab golyót?

HK

Kedves László!

Ebbe a keretbe még legalább 4 golyót bele lehet rakni, így 68 lesz benne.

HK

53. feladat: Egy 8 egység belső méretű négyzet alakú keretbe belaraktunk 64 db 1 egység átmérőjű fémgolyót. (A golyók egymással és a keret falával érintkeznek)

Hány ugyanilyen golyót tudnál még berakni a keretbe?

Kedves László!

Hát mit monjak erre? Gratulálok.

Kiegészítendő az 52. feladatot keressünk több megoldást!

HK

Kedves Károly!

Ügyes példák – főleg a gyujtózsinóros!

50. feladat megoldása: Elég reménytelennek tűnik a megoldás, mivel véletlenszerűen égnek a zsinórok nem darabolhatjuk őket. Akkor mit lehet tenni? Ami biztos, hogy, ha mondjuk már fél órája ég a zsinór akkor a hátralévő zsinórdarab is fél óráig ég még. Tehát ha mindkét végét meggyujtjuk az egyik zsinórnak, akkor 1/2 óra alatt ér össze a láng.

Ha a másik zsinórt is meggyujtjuk az első két végének meggyujtásával egyidőben, akkor amikor az elsőn a láng összeér a másik zsinórból még pont félórányi van hátra. Ekkor meggyujtjuk a második zsinór másik végét is és a két láng pontosan 1/4 óra múlva ér össze. Tehát lemértük a 3/4 órát.

51. feladat megoldása: A kolbászt 3 vágással felvágjuk 4 egyenlő részre, majd az egyik részt továbi két vágással harmadoljuk.

52. feladat megoldása: A tortát 2 párhuzamos vágással harmadoljuk, majd 1 merőleges vágással elvágjuk az 1/4 részénél.

50. feladat:

Adott két kanóc, melyek egyenként pontosan 1-1 óra alatt égnek le, de az égési sebességük véletlenszerűen változó. (Tehát a fele nem feltétlen fél óra alatt ég le.)

Hogyan tudunk ezen kanócok segítségével 0,75 órát lemérni?

51. feladat:

Hogyan lehet egy szál kolbászt 10-nél kevesebb vágással úgy feldarabolni, hogy akár 3, akár 4 egyenlő részre lehessen osztani?

52. feladat:

Hogyan lehet egy négyzet alakú tortát 3 egyenes vágással felszeletelni, hogy akár 3, akár 4 egyenlő részre lehessen osztani?

HK

Kedves Onogur!

Semmi baj, úgy sejtettem, hogy az eredeti szövegrészben egy rész véletlenül törlődött (ilyesmi sokszor előfordul, kétszer át szoktam nézni, mit írok, de mindig kerül hiba bele). Az első féle általánosítás így is érthető volt. Persze, megoldani egyiket sem tudom, a numerikus és közelítő módszerek elmélete nemigen megy nekem.

Üdv.: G.

(U.I. Azt hiszem, megoldottam a mágusos feladatot, de még várok egy-két hétig, mielőtt felteszem, hátha más is szeretne még gondolkodni.)