Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2777] rizsesz2008-11-26 00:23:28

Nem tudok deriválni. Ez rémisztő. :)

Előzmény: [2775] Lóczi Lajos, 2008-11-25 23:48:43
[2776] Káli gúla2008-11-26 00:05:32

A függvénynek végtelen sok szélsőértéke lesz. Próbáld elképzelni, hogy egy rudat befestünk úgy, hogy minden pontját páros sok réteg fedjen. Az egész számegyenest (vagy ami ugyanaz, végpontok nélküli intervallumot) már nem lehetne így befesteni. (Nem létezik f\inC(R), f(R)=R függvény úgy, hogy minden a\inR-re #f -1(a)<\infty és páros.)

Előzmény: [2774] Valezius, 2008-11-25 21:47:14
[2775] Lóczi Lajos2008-11-25 23:48:43

333. feladat. Különböző a>1 számok esetén vizsgálva az x\mapstoax függvények grafikonjait láthatjuk, hogy bizonyos a számok esetén (pl. a=2) a grafikon határozottan az y=x egyenes felett van, míg kisebb a>1 számok esetén (pl. a=1.1) az exponenciális függvény grafikonja metszi az y=x egyenest. Adjuk meg a "határalapot", vagyis azt az a>1 számot, amelyre az exponenciális függvény éppen érinti a 45 fokos egyenest.

[2774] Valezius2008-11-25 21:47:14

Tegyük fel, hogy létezik ilyen függvény. Toljuk el úgy, hogy f(0)=0 legyen, majd vegyük az abszolút értékét. Az így kapott függvény még mindig olyan tulajdonságú, hogy értékkészletének minden pontját páros sokszor veszi fel.

Mivel minden értéket csak véges sokszor vehet fel, így két szélsőértékhely között szigorúan monoton.

Ha y egy olyan érték, ami a 0kivételével minden lokális szélsőértékénél kisebb, akkor:

0-tól az első szélsőértékhelyig 1-szer veszi fel y-t a függvényt. Ha f(x)=0, akkor az x előtti és x utáni szélsőértékhelyek között pontosan kétszer veszi fel y-t.

Ebből már következik, hogy f(1)=0. Ha f(1)>0, akkor van olyan y', hogy y'<f(1) és mint az előző bekezdésből látszik y'-t páratlan sokszor veszi fel a fv.

Tehát a függvénynek f(0)-ban és f(1)-ben is minimuma van. Amiből az következik, hogy összesen páratlan sok szélsőértékhelye van. (Mert a szélsőértékeket rendre lok. min-lok. max-lok. min-...-lok. min sorrendben veszi fel a fv.)

Márpedig egy ilyen függvénynek minden szélsőértékét páros sokszor kell felvennie.

Ezzel beláttuk, hogy nincs ilyen fv.

Előzmény: [2771] lgdt, 2008-11-23 16:03:22
[2773] Valezius2008-11-23 19:55:11

Ugyanilyen biztos, hogy nem, mivel akkor 0-ban és 1-ben végtelen lenne a határértéke- A helyettesítési értéke meg nem lehet végtelen.

Előzmény: [2772] Róbert Gida, 2008-11-23 17:34:40
[2772] Róbert Gida2008-11-23 17:34:40

Nem mondtam semmit a transzformációról, hogy milyen lesz. [0,1]-en is megadható ugyanilyen fűrészfogas folyt. fv., sok fantázia nem kell hozzá. 2 értéket kétszer vesz fel, értékkészletének többi értékét pedig pontosan négyszer.

Előzmény: [2770] Valezius, 2008-11-23 14:37:12
[2771] lgdt2008-11-23 16:03:22

Elnézést kérek, hogy még a második sem sikerült érthetőre. Talán így már jó lesz:

f:R\toR,  f\inC[0,1]

g:=f|[0,1]

\forallx\inRg:  |g-1{x}|\in2N

Előzmény: [2767] lgdt, 2008-11-22 02:11:48
[2770] Valezius2008-11-23 14:37:12

A feladat szövegében benne van, hogy véges sokszor, így a konstans fv nyilván nem jó. (Bár szerintem az, hogy páros sokszor már maga után vonja, hogy véges sokszor)

A fűrészfogas függvénnyel szerintem az a baj, hogy az R nyílt intervallumot akarod beletranszformálni, a [0,1] zárt intervallumba. Szerintem ezt nem tudod úgy megtenni, hogy 0-ban és 1-ben is folytonos maradjon a függvény.

Még nem sikerült teljesen belátni, hogy miért nem lehet ilyen fv. [0,1)-en persze azonnal találtam. És azt is elég valószínűnek látom, hogy van olyan megfelelő [0,1)-ről képező fv, aminek az értékkészlete az egész R. Mondjuk egy alkalmas [0, végtelen)-en értelmezett fűrészfog fv transzformációja.

Előzmény: [2769] Róbert Gida, 2008-11-23 04:26:20
[2769] Róbert Gida2008-11-23 04:26:20

Nem csak a konstans fv. okozza a bajt. Azt kéne beletenni, hogy az f minden értéket véges sokszor vesz fel.

Erre egy megoldás, fűrészfogakból:

Legyen f(x)=-x, ha x\leq0

f(x)=x, ha 0<x\leq1

f(x)=2-x, ha 1<x\leq2

f(3k+2+c)=k+c, ha k\geq0 egész, 0<c\leq2 valós.

f(3k+2+c)=k+4-c, ha k\geq0 egész, 2<c\leq3 valós.

De f:[0,1]->[0,1] ilyen folyt fv. is megadható, csak az előbbit kell "áttranszformálni".

Előzmény: [2768] Sirpi, 2008-11-22 12:27:55
[2768] Sirpi2008-11-22 12:27:55

És mondjuk vegyük bele azt is, hogy a 0-t és az 1-et is felveszi, különben az f(x)\equiv2 függyvény is jó lenne. Vagy akár azt, hogy a teljes értékkészlete része a [0,1]-nek.

Előzmény: [2767] lgdt, 2008-11-22 02:11:48
[2767] lgdt2008-11-22 02:11:48

Kicsit félreérthetőre sikerült. Pontosabban: van-e olyan valós->valós mindenhol folytonos függvény, amelyre teljesül, hogy a [0;1]-re való leszűkítése az értékkészletének minden elemét véges és páros sok helyen veszi fel?

Előzmény: [2765] lgdt, 2008-11-21 03:34:37
[2766] psbalint2008-11-21 18:44:22

jó és lehetne úgy esetleg hogy elmondod hogy ez itt miért volt használható? ezek ugyanis nem kis számok. köszönöm

Előzmény: [2764] jonas, 2008-11-20 10:57:55
[2765] lgdt2008-11-21 03:34:37

Van olyan f: R\toR folytonos függvény, amely a [0;1]-en minden értéket véges és páros sokszor vesz fel?

[2764] jonas2008-11-20 10:57:55

Kis számokra működő prímteszt. A 2, 3, 5 prím, ezekre külön kell figyelni, a 49 és 77 pedig nem prím, de ezeket mindenki észreveszi magától, ezért van a szabályban 91, mert az a legkisebb szám, ami prímnek látszik, de nem az. Ha csak 119-nél kisebb számokat vizsgálsz, akkor ez a szabály elég.

Előzmény: [2763] psbalint, 2008-11-19 23:56:37
[2763] psbalint2008-11-19 23:56:37

ez micsoda amit itt alkalmazol? leírod? (vagy csak én nem értem?)

Előzmény: [2761] jonas, 2008-11-19 19:55:25
[2762] Róbert Gida2008-11-19 21:08:59

Pari-Gp isprime() funkcióját használtam. Egy másik út:

(104,108] számokról van szó, így legbénább programmal is 9999 osztással ellenőrizheted, hogy prím-e: 2-től 10000-ig egyetlen egész számmal sem osztható, akkor prím.

Előzmény: [2760] MTM, 2008-11-19 18:04:10
[2761] jonas2008-11-19 19:55:25

Mindegyik páratlan, nem ötre végződik, a hármas maradékuk rendre 2, 1, 1, és egyik sem pont 91, úgyhogy prímek.

Előzmény: [2758] MTM, 2008-11-19 17:26:29
[2760] MTM2008-11-19 18:04:10

Helyes a válasz, de hogyan jött ki (milyen prímtesztet használtál)?

Előzmény: [2759] Róbert Gida, 2008-11-19 17:44:26
[2759] Róbert Gida2008-11-19 17:44:26

Mind a három prím.

Előzmény: [2758] MTM, 2008-11-19 17:26:29
[2758] MTM2008-11-19 17:26:29

Hello!

Prímszám-e a, 99999989 b, 66666667 c, 11111101?

MTM

[2757] Róbert Gida2008-11-13 19:44:57

K=\frac {10^n-1}{9}-hez a minimális jegyösszegű többszöröshöz n jegyösszeg kell. Ha n nem osztható 3-mal, akkor K sem, így ez a sorozat sem korlátos. Hasonló igaz minden számrendszerre.

Előzmény: [2756] Sirpi, 2008-11-13 18:06:01
[2756] Sirpi2008-11-13 18:06:01

Szép, frappáns megoldás. Viszont az még mindig kérdés, hogy a g-1-hez relatív prímekre is igaz-e a nemkorlátosság.

Csak egy érdekes példa, továbbra is 10-es számrendszernél maradva. A 31-hez legkisebb összegként 3 tartozik (bizonyítsátok be, hogy 2-vel nem lehet), és a legkisebb ilyen többszörös a 10000011. Jó messzire el kellett menni, hogy az eredeti 3+1-et megjavítsuk :-)

Előzmény: [2754] Róbert Gida, 2008-11-13 17:07:09
[2755] Róbert Gida2008-11-13 17:16:46

A két kérdés ugyanaz. Ha van s jegyösszegű többszöröse n-nek, akkor van s jegyösszegű 01 többszörös is.

Előzmény: [2753] Alma, 2008-11-13 16:54:41
[2754] Róbert Gida2008-11-13 17:07:09

Az első ellenpélda n=99, ehhez 18 a minimális jegyösszeg. Ebből meg már könnyű látni, hogy a sorozatod nem korlátos, mert 10n-1-hez 9*n lesz a minimális jegyösszeg. Ez más számrendszerben is igaz: gn-1-nek (g-1)*n a minimális jegyösszeg.

Előzmény: [2751] Sirpi, 2008-11-13 15:53:19
[2753] Alma2008-11-13 16:54:41

Szerintem félreértetted.

"Hasonló minimalizmusra törekedve azt is meg lehet keresni, hogy az egyes számoknak melyik az a többszöröse, aminek számjegyösszege minimális"

Ennek semmi köze nincs a csupa 0ákból és 1ekből álló számokhoz, az csak egy analógia volt a minimalizmusra, ha jól értem.

Előzmény: [2752] HoA, 2008-11-13 16:35:48

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]