Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2827] Lóczi Lajos2009-01-12 23:21:41

Kedves Petyka! Két kérdésem volna a megoldásodhoz: mi a helyzet akkor, ha az A mátrix négyzetes, de nem invertálható, illetve mi van akkor, ha sem A, sem B nem négyzetesek?

Előzmény: [2814] petyka, 2009-01-11 20:54:26
[2826] jenei.attila2009-01-12 21:14:23

Kár, hogy nem olvastad el figyelmesebben amit írtam. Nem állítottam, hogy minden fv. előáll két periodikus fv. összegeként. Szerintem pontosan azok az egyébként nem periodikus h fv.-ek állnak így elő, amelyekre léteznek p és q nem összemérhető (hányadosuk irracionális) valós számok, úgy, hogy az x->h(x+p)-h(x) fv. q szerint periodikus (vagy ami ugyanez, hogy x->h(x+q)-h(x) p szerint periodikus). Amúgy már bocs, de kissé zagyvaságokat írsz. A perioddikus fv. definícióját ismerem, nem tudom miért írod le, mintha fel akarnál ezzel kapcsolatban világosítani. Ezután az "Akkor: f(x+p)+h(x+q)= g(x)" mit jelent? A g honnan jött, mi az? A törtrész periódusa valóban egy, ezért is feltételeztem, hogy f 1 szerint periodikus, mert a törtrésszel úgy egyszerűbb volt a jelölés. A Dirichlet fv. valóban periodikus, és nincs legkisebb periodusa, de nem azért mert "hiszen érték készlete 2 elemű véges halmaz: (1;0) ". Könnyű olyan fv.-t konstruálni aminek (1;0) az értékkészlete, de mégsem periodikus (pl. 0-ban legyen 0, különben pedig 1). Ezt a mondatodat nem értem: "g(x)-re kétfajta függvényt lehet kapni: g(x+r)=g(x), itt r szintén állandó, azaz periódikus függvény." Mi a g? miből lehet két fajtát kapni? Amit utána írsz, nem tudom, hogy úgy van-e, elképzelhető. De pontatlanságok miatt ott sem mindent értek. A "g(x=0) létezik" mit jelent? Értelmezve van a 0 pontban? Az "(ez lesz az r(0)beli helyettesítési értékek átlaga)" mit jelent? Mi az r? előbb még a g periodusa volt. Most mi? Ez a mondatod teljesen értelmetlen: "A nem periódikus tag tehát Fourier integrál, ha r(0)=0, ha r(0)nem nulla, akkor ez a véletlen tag. Vagy a nem periódikus tag előáll (1) szerint. Nincs más eset." Továbbra sem tudom mi az az r, a Fourier integrálra pedig egy integráltranszformációként emlékszek, tehát egy operátor, ami fv-hez egy másik fv-t rendel (nagyon rég tanultam, és most nincs is kedvem utána nézni), de lehet hogy mást is neveznek így. Akkor sem értem, hogy ez most így a levegőből hogyan pottyant ide. Szerintem jobban tennéd, ha nem vagdalkoznál szakkifejezésekkel, értelmetlen félmondatokkal, ettől nem fogsz okosabbnak látszani.

Előzmény: [2825] kiskiváncsi, 2009-01-12 19:44:46
[2825] kiskiváncsi2009-01-12 19:44:46

Szerintem: a periódikus fv. definiciója azt mondja, hogy f periódikus p szerint, akkor f(x+p)=f(x) minden x re igaz. Itt p állandó. p egy és csak egy nullától különböző szám.Ez a p f(x) egyik periódusa. Hiszen p egész számú többszöröse szintén periódus. p tehát legyen a legkisebb pozitív periódus. hasonlóan: h peródikus q szerint, akkor h(x+q)=h(x) Akkor: f(x+p)+h(x+q)= g(x) Pl: A törtrész függvény periódusa 1 A Dirichlet fv periódusa minden szám, (hiszen érték készlete 2 elemű véges halmaz: (1;0)

g(x)-re kétfajta függvényt lehet kapni: g(x+r)=g(x), itt r szintén állandó, azaz periódikus függvény.

Általában az igaz, hogy: (1)ha g(x) minden valós intervallumon korlátos változású függvény, és g(x=0) létezik, akkor g(x) előállítható megszámlalhatóan sok periódikus tag (ez lesz az r(0)beli helyettesítési értékek átlaga) és egy nem periódikus tagnak az összegeként.

A nem periódikus tag tehát Fourier integrál, ha r(0)=0, ha r(0)nem nulla, akkor ez a véletlen tag. Vagy a nem periódikus tag előáll (1) szerint. Nincs más eset.

Tehát általában az állítás: nem igaz, hogy minden függvény előállítható két periódikus függvény összegeként.

Előzmény: [2823] jenei.attila, 2009-01-12 12:54:20
[2824] jenei.attila2009-01-12 13:14:45

Közben rájöttem. h(x+p)-h(x) 1 szerinti periodikusságából következik h(x+1)-h(x) p szerinti periodikussága és viszont.

Előzmény: [2823] jenei.attila, 2009-01-12 12:54:20
[2823] jenei.attila2009-01-12 12:54:20

Tehát a kérdés az, hogy a valós számokon értelmezett h(x)=x fv. előállítható-e két periodikus fv. összegeként. Kicsit általánosabban, a h fv.-t próbáljuk előállítani f és g periodikus fv.-ek összegeként, ezért

g(x)=h(x)-f(x)

Feltehetjük, hogy f periodusa 1 (különben megfelelő fv. transzformációt alkalmazhatunk). Legyen g periodusa p. Ekkor minden valós x-re g(x+p)=g(x), vagyis

h(x+p)-f(x+p)=h(x)-f(x)

Kicsit átrandezve:

f(x+p)=h(x+p)-h(x)+f(x)

Mivel f periodusa 1, ezért szükségképpen h(x+p)-h(x) is periodikus 1 szerint. Indukcióval folytatva:

f(x+np)=h(x+np)-h(x)+f(x)

ahol n tetszőleges egész szám. Mivel f periodusa 1, ezért írhatjuk, hogy

f({x+np})=h(x+np)-h(x)+f({x})(1)

({x} x törtrészét jelöli). Tehát ha ismerjük egy adott x pontban f értékét, akkor ez magadja az {x+np}+k pontokban is f értékét (n és k tetszőleges egész számok). Visszafelé is igaz, ha teljesül az (1) egyenlőség, akkor h előáll f és g periodikus fv.ek összegeként az {x+np}+k halmazon, ahol x adott, n és k pedig tetszőleges egész számok. Ehhez persze még az is kell, hogy h(x+p)-h(x) fv. 1 szerint periodikus legyen, mivel f 1 szerint periodikus. Tehát nem kell mást tennünk, mint tetszőlegesen kiválasztani egy x0 értéket, ott tetszőlegesen megadni f értékét, amellyel máris meghatároztuk f értékét az A0={{x0+np}+k|n,kelemeZ} halmazon. Könnyen belátható, ha x0 helyett más x1-et választunk, akkor vagy A0 meg fog egyezni A1-gyel, vagy diszjunktak lesznek. Vagyis ha x végigfut a valós számokon, akkor a szóban forgó halmazok a valós számok egy osztályozását fogják megadni. Az is könnyen látható, hogy ha x0-ban már megadtuk f értékét, akkor az A0 halmaz többi pontjában már egyértelműen és ellentmondás mentesen megkapjuk f értékét. Az ellentmondás mentesség azt jelenti, hogy ha x0-ban megadott f értékből (1) szerint definiáljuk f értékét az {x0+np} pontban, majd ugyanígy az {x0+mp} pontban is, akkor {x0+mp}-ben ugyanazt kapjuk, mint ha {x0+np}-ből indulva definiálnánk f értékét (1) szerint {x0+mp}-ben. Az ellentmondás mentességhez még kell az is, hogy az A halmazok ne legyenek végesek, vagyis ne érjünk vissza már definiált pontba. Ehhez elég, ha p irracionális (általában f és g periódusainak aránya legyen irracionális). Összefoglalva: a kívánt előállítás pontosan akkor végezhető el, ha h(x+p)-h(x) 1 szerint periodikus valamilyen irracionális p-vel. Ekkor elvégezzük a valós számok tárgyalt osztályozását, majd mindegyik osztályból egy-egy elemet kiválasztva ott tetszőlegesen definiáljuk f (és ezzel együtt g) értékét, majd ezekből kiindulva (1) szerint definiáljuk f értékét az osztály összes elemén. Ha h(x)=x, akkor h(x+np)-h(x)=np természetesen 1 szerint periodikus fv., vagyis h ilyen módon előállítható. g periodusa (p) lehet pl. négyzetgyök 2. A szimmetria szerint szükséges feltételként azt is kaphatnánk, hogy h(x+1)-h(x) legyen p szerint periodikus (h(x)=x-re ezi teljesül). Nem világos, hogy ez általában teljesül-e az előző feltételből, vagy ez is hozzátartozik a szükséges feltételhez (bár nem használtuk ki), de ha a periodusokkal fordítva indulnánk el, ekkor ennek is teljesülni kéne. Szerintetek?

Előzmény: [2822] Lóczi Lajos, 2009-01-12 00:41:53
[2822] Lóczi Lajos2009-01-12 00:41:53

Írd be, kérlek.

Előzmény: [2809] jenei.attila, 2009-01-11 20:06:34
[2821] R.R King2009-01-11 21:19:23

vagy hozzáadni a számjegyek felcserélésével kapott számot...

[2820] R.R King2009-01-11 21:10:14

Esetleg beszorozni egy alkalmas számmal, ami a jegyeket szebbé varázsolja.(mondjuk csupa 1-es vagy ilyesmi..)és akkor ennek a szorzónak nézni a maradékát. Persze ez csak egy ötlet lehet butaság...

[2819] jenei.attila2009-01-11 21:09:11

Ne haragudj, de teljesen félreérted. Nem megbántani akartalak, és nem is vagyok zseni, de azt hiszem nem olvastad át eléggé a fórumot. Itt először is a hangnem sem ez, mint amit te megütsz, meg a színvonal sem. Szerintem higgadj le, olvasd el a topik címét, netán a hozzászólásokat, aztán gyere vissza, szívesen látunk. Na persze érdekes feladatokkal, és udvarias tisztelettudó hangnemmel. Most tényleg ne haragudj, de mit akarsz azzal, hogy bizonyítsam be a gömb térfogatát? Vizsgáztatni (egyébként be tudom bizonyítani, de nem írom le, sok helyen többféleképpen is megtalálható)? Vagy most találjam ki magam, és adjak egy eddig még nem ismert bizonyítást? A mátrixok persze a lináris algebra tárgykörébe tartoznak (főleg), de itt sokan ismerik mire is valók. Ezzel megint nem értem mit akartál? Na szóval nyugi, a sértegetéseket kerüld, én sem sértettelek meg.

Előzmény: [2814] petyka, 2009-01-11 20:54:26
[2818] psbalint2009-01-11 21:07:29

ismerem a szabályt de ennél a nagy számnál nem tudom alkalmazni.

[2817] R.R King2009-01-11 21:05:52

11-gyel való oszthatóság szabályával kijön nem?

[2816] psbalint2009-01-11 21:00:12

Emberek ne foglalkozzunk az ide véletlenül beszabaduló és 'majdőkúgyismegoldják'-ot kiáltó emberekkel!

337. feladat: Mennyi maradékot ad 1980-nal osztva az 123456789101112...19781979 szám?

addig jutottam el hogy az 1980-at felírtam úgy, hogy 1980=20×9×11, amiből egy lineáris kongruenciarendszert hoztam létre. a hosszú szám 20-as és 9-es maradékát sikerült is megállapítanom, ám a 11-es maradékot nem sikerült. esetleg a 99-es maradékkal kell valamit csinálni? valakinek valami ötlet? :)

[2815] R.R King2009-01-11 20:59:29

A gömb térfogatának kiszámítása szerintem nem túl érdekes...Integrálni kell és jó sokat számolni..Vagy van valami szebb megoldás?

[2814] petyka2009-01-11 20:54:26

Na, te kis zseni! Elöször is fejből veszem ezeket a feladatokat , másrészt aki a számelméletet fikázza, azt az embert ki nem állhatom analízist akarsz? tessék:

Bizonyítsd be!

Az R sugarú gömb térfogata: 4Rköb*pí/3! Na mostlégy okos!

A mátrixokat lineáris algebrai vonatkozásban értem! Az előzőhöz:

A*X = B /*Aad-1 (balról) Aad-1*A=En En*X = B X = Aad-1*B

Ell: A*A-1*B=En*B=B tehát B=B valóban teljesül! Arra jó hogy akárhány ismeretlenes lineáris egyenletrendszert meg tudjunk oldani!

[2813] R.R King2009-01-11 20:52:36

Az ABCD konvex négyszögben AD=2. Az ABD szög és az ACD szög derékszög. Az ABD háromszög szögfelezőinek metszéspontja gyök(2) távolságra van az ACD háromszög szögfelezőinek a metszéspontjától. Mekkora a BC oldal hossza?

[2812] jenei.attila2009-01-11 20:21:43

Ahogy elolvastam, kb egy perc alatt meg is csináltam. A 2 a 14.-en miért négyzetszám? Ezt most komolyan kérdezed? Remélem nem. Nálam középiskolában emiatt nem mentél volna át matekból.

Előzmény: [2810] petyka, 2009-01-11 20:12:38
[2811] jenei.attila2009-01-11 20:18:51

Ezeket most honnan veszed? miért olyan érdekes feladatok. Vagy jól ismertek (végtelen sok prímszám van ld. Bizonyítások a könyvből), vagy teljesen triviálisak (ikerprímpárok közti szám osztható 6-tal: páros, és osztható 3-mal, mert három egymás utáni szám valamelyike osztható 3-mal, de a két prím nem osztható 3-mal), vagy egyszerűen értelmetlen. Mit értesz azalatt, hogy oldjuk meg az A*X=B mátrixegyenletet? Úgy általában? (szorozzunk balról A inverzével), vagy milyen mátrixokkal? A tükrözéssel kapcsolatban megint nem értem mit akarsz, hiszen a tükrözés definíciójából közvetlenül adódik. Szerintem nem jó helyen adod fel ezeket. Bocs, ha nem jól látom, de akkor kissé bővebben magyarázd el, mire is gondoltál.

Előzmény: [2808] petyka, 2009-01-11 20:03:58
[2810] petyka2009-01-11 20:12:38

Szerintem éppen eléggé szivatós! Nekem ezt elemi matek ZH-n adták fel. Honnan vagytok olyan biztosak benne hogy pl: 2 a 14.-re felemelve négyzetszám? Na ezt válaszoljátok meg!

Előzmény: [2807] jenei.attila, 2009-01-11 20:03:03
[2809] jenei.attila2009-01-11 20:06:34

Az f(x)=x fv. előállítása két periodikus fv. összegeként nehéz, vagy érdektelen? Ha senki nem gondolkozik rajta, leírom a megoldást. Esetleg valakinek ötlete? szerintem tényleg érdekes feladat és nem is túl nehéz.

Előzmény: [2797] jenei.attila, 2008-12-15 18:50:13
[2808] petyka2009-01-11 20:03:58

Aki nem bír magával:

Bizonyítsa be, hogy sqrt13 szám irracionális!

Bizonyítsátok be!

Tétel: A (3,5) ikerprímpártól különböző ikerprímpárok közti szám mindig osztható 6-tal.

Bizonyítsátok be hogy végtelen sok prímszám van!(Euklidész tétele)

Bizonyítsátok be, hogy egy tengelyes tükrözés négyzete: az identikus leképezés!

Oldjátok meg a következő mátrixegyenletet!Mire lehet ezt használni? A * X = B

Jó szórakozást!

[2807] jenei.attila2009-01-11 20:03:03

Sirpi megelőzött. na persze nem vagyok egy Einstein, de ez nem is volt egy nehéz feladat.

Előzmény: [2805] petyka, 2009-01-11 19:45:04
[2806] Sirpi2009-01-11 19:56:42

Tehát olyan n kell, amiben a 2 kitevője páratlan, de osztható 3-mal és 5-tel, a legkisebb ilyen a 15. A 3 kitevője 3k+1 alakú, valamint páros és 5-tel is osztható, a legkisebb ilyen szám a 10. Az 5 kitevője 5k+1 alakú, valamint osztható 2-vel és 3-mal, ez a 6 lenne. Tehát a legkisebb ilyen szám: 215.310.56.

Előzmény: [2805] petyka, 2009-01-11 19:45:04
[2805] petyka2009-01-11 19:45:04

Itt egy fincsi számelméleti feladat, nem éppen a könnyű kategóriából: Aki ezt megoldja az egy Einstein:

Melyik az a legkisebb n pozitív egész szám amelyre n/2 teljes négyzet n/3 teljes köb és n/5 pedig teljes ötödik hatvány? (segítség: a 3 feltételnek egyszerre kell teljesülnie!!!)

[2804] kutasp2009-01-07 22:02:55

Kitűzném én is az egyik kedvenc feladatomat, a számozást remélem nem rontottam el.

339. feladat

Ki lehet-e színezni a pozitív valós számokat pirosra és kékre(mindkét színt kell használni), hogy pirosak összege piros, kékek összege kék legyen?

[2803] lorantfy2008-12-28 16:40:36

Bocs! Rossz helyre tettem.

Pont az maradt ki a magyarázatból, ami a lényeg, hogy ha a Föld közeledik a Jupiterhez, akkor rövidebb, ha távolodik akkor hosszabb időt mért. Az A és C pontban meg éppen egyenlő időket kellett mérnie.

Előzmény: [2802] leni536, 2008-12-28 15:10:48

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]