Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3791] csábos2013-10-09 22:21:43

Természetesen a létezés bizonyításánál. Kavics mindig a tanteremben röpködő piros krokodilokkal példálózott. Ha azok léteznek, akkor minden igaz. A konstrukció mindig nehezebb a bizonyításnál. Ha feltesszük, hogy valami van, arról már könnyebb bármit igazolni.

Előzmény: [3781] HoA, 2013-09-04 23:31:16
[3790] csábos2013-10-09 21:17:40

Kedves HoA!

Nagyon érdekelne, hogy mitől közismert ez a feladat. Ha megírnád, örülnék.

Csábos

Előzmény: [3781] HoA, 2013-09-04 23:31:16
[3789] w2013-10-04 23:57:23

Szerintem reális a 2% becslés.

Előzmény: [3786] koma, 2013-10-04 20:22:50
[3788] HoA2013-10-04 22:04:07

Azért írta ki furán, mert a százalék jelet megjegyzés kezdetének veszi, és mindent elhagy, amit a sorban utána írsz . Valamelyik témában nemrég volt szó róla. Tehát így kell írni, hogy látható legyen: \%

A feladattípus elég közismert. Nekem van egy egész kis könyvem belőlük. És persze egy táblázatos módszerrel elég automatikusan megoldható.

Az, hogy az emberek hány %-a képes megoldani, kicsit nézőpont kérdése. Készséggel elhiszem, hogy ha 100 embernek feladod, csak 1-2 -től kapsz megoldást. Nem azért, mert képtelen lenne megoldani, de nem érdekli annyira, hogy végigküzdje. Más lenne a helyzet, ha az élete - na jó, a havi fizetése függne tőle.

Előzmény: [3787] koma, 2013-10-04 20:25:34
[3787] koma2013-10-04 20:25:34

-De furán írta ki-, szóval állítólag az emberek két százaléka tudja megoldani, és szerintem azért jóval többen képesek lehetnek rá, ti hogyan vélekedtek?

Előzmény: [3786] koma, 2013-10-04 20:22:50
[3786] koma2013-10-04 20:22:50

Sziasztok, a véleményetekre lennék kíváncsi, szerintem nagyon sokan ismeritek a feladványt:

Ezt a feladatot Einstein írta. Azt mondta, hogy az emberek 98

Tények: 1. 5 ház van, különböző színüek. 2. Minden házban él egy-egy ember, mindegyik más nemzetiségű. 3. Az öt tulajdonos különböző italokat fogyaszt, különféle cigit szív és más-más állatot tart. 4. Nincs két olyan tulajdonos aki ugyanazt az állatot tartaná, ugyanazt a cigit szívná, vagy ugyanazt az italt inná.

1. A brit a piros házban lakik. 2. A svéd kutyát tart. 3. A dán teát iszik. 4. A zöld ház a fehér ház bal oldalán van. 5. A zöld ház tulajdonosa kávét iszik. 6. Az a személy aki Pall Mall-t szív madarat tart. 7. A sárga ház tulajdonosa Dunhill-t szív. 8. Az az ember aki a középső házban lakik tejet iszik. 9. A norvég az első házban lakik. 10. Az ember aki Blend cigit szív amellett lakik aki macskát tart. 11. Az az ember aki lovat tart amellett lakik aki Dunhill cigit szív. 12. A tulaj aki Blue Mastert szív, sört iszik. 13. A német Prince-t szív. 14. A norvég a kék ház mellett lakik. 15. Az ember aki Blend-et szív, a vizet ivó ember szomszédja.

-Én 20-25 perc alatt megoldottam, de nem érzem úgy, hogy a felső 2

[3785] w2013-10-04 14:47:18

Legyen X az ABC háromszög belső pontja, melyre XA.BC=XB.AC=XC.AB. Legyen XBC_{\Delta}, XCA_\Delta, XAB_\Delta beírt körének középpontja rendre P, Q, R. Mutassuk meg, hogy AP, BQ, CR egy ponton halad át.

[3784] Ali2013-09-13 10:38:22

Legyen g(x)=f(x)-x, és gn(x)=g(g(...g(x)...)). Az értelmezési tartományra tett megszorítás miatt g(x)\ge0 \forallx\ge0 esetén.

Megoldva a gn+2(x)+gn+1(x)-2gn(x)=0 másodfokú lineáris rekurziót ( g0(x):=x, g1(x)=g(x) ),

gn(x)=(-2)n[x-g(x)]/3 +[2x+g(x)]/3, n\ge2

Ha x>g(x), akkor elég nagy páratlan n-re, míg x<g(x) esetén elég nagy páros n-re ellentmondás. Így g(x)=x és f(x)=2x.

Előzmény: [3777] w, 2013-09-02 22:15:48
[3783] juantheron2013-09-10 05:57:06

Thanks HoA

[3782] juantheron2013-09-10 05:54:02

Solution for real a,b,c in

a[a]+c{c}-b{b}=0.16

b[b]+a{a}-c{c}=0.25

c[c]+b{b}-a{a}=0.49

Where [x]= Integer part of x

and {x}= fractional part of x

[3781] HoA2013-09-04 23:31:16

A :-) -ból sejtem, észrevetted, hogy ez valójában a közismert izogonális pontos megoldás átírva komplexre.

A feladat talán éppen ezért érdekes: Hogyan derül ki a komplex megközelítésből, hogy a módszer csak 120o -nál kisebb szögű háromszögre működik?

Előzmény: [3780] Fálesz Mihály, 2013-09-04 18:44:31
[3780] Fálesz Mihály2013-09-04 18:44:31

Azért én szívesen látnék egy elemi megoldást izogonális ponttal... :-)

Előzmény: [3779] HoA, 2013-09-04 10:54:29
[3779] HoA2013-09-04 10:54:29

 f(z) = \left|z-1-i \right| + \left| z+2-3i\right| + \left|z+3+2i \right| = \left| z-(1+i)\right| + \left| z-(-2+3i))\right|+ \left|z-(-3-2i) \right| = \left| z-t\right| +\left| z-u\right|+ \left| z-v\right| , ahol t=1+i,u=-2+3i,v=-3-2i Legyen továbbá z'=z-u,t'=t-u,v'=v-u .  f(z) = \left| z'-t'\right| +\left| z'\right|+ \left| z'- v'\right| . Felhasználjuk, hogy \left|e^{i\phi}  \right|= 1 és \left|1 -e^{i\pi /3}\right|  = 1 ( ujjgyakorlat ) . Legyen z'' = z' e^{i\pi /3} t'' = t' e^{i\pi /3} Ekkor

 \left| z'-t'\right| = \left| (z'-t') e^{i\pi /3} \right| = \left| z''-t''\right| = \left| t''-z''\right|

 \left| z' \right| = \left| z' (1 -e^{i\pi /3})\right| = \left| z'-z''\right|= \left| z''-z'\right|

és innen a sokszög egyenlőtlenség miatt

 f(z) = \left| t''-z''\right| + \left| z''-z'\right|  + \left| z'- v'\right| \ge \left| t''- v'\right|

Numerikusan t' = 3-2i , v' = -1 -5i , t'' = (3-2i)(cos \pi/3 + i sin \pi/3) = (3-2i)(1/2 + i \sqrt{3}/2) = (3 + 2 \sqrt{3})/2 + i (3\sqrt{3}-2)/2  t'' - v' = (5 + 2 \sqrt{3})/2 + i (3\sqrt{3}+8)/2 . \left| t''-v'\right| ~ 7,84

Feladatnak hagyom annak bzonyítását, hogy létezik is olyan z' - és innen z - érték, melyre f(z) felveszi minimális értékét – például a megfelelő z kiszámításával.

Előzmény: [3775] juantheron, 2013-09-02 21:15:26
[3777] w2013-09-02 22:15:48

A következő függvényegyenlet leginkább a megoldási módszere miatt hasznos/érdekes (f:{\bf R}_{\ge0}\to{\bf R}_{\ge0}):

f(f(x)-x)=2x.

[3775] juantheron2013-09-02 21:15:26

Minimum value of \left|z-1-i\right| + \left|z+2-3i\right| + \left|z+3+2i\right|,

where z=x+iy and i=sqrt-1

[3774] w2013-08-11 16:48:19

Igen. Sok, az előbbihez hasonló feladat generálható. Olyan \alpha szám kell nekünk, melyre az

S=\sum_{(x,y)\in P} \alpha^{x+y} (*)

összeg a lépések során invariáns marad, ahol P jelöli a zsetonok helyeinek halmazát. Az előbbi feladatban \alphax+y=\alpha(x+1)+y+\alphax+(y+1)-ra redukálódik a (*) egyenlet, ahol \alpha=\frac12 megfelel célunknak. Miért is? Úgy általában, olyan \alpha számra van szükségünk, melyre

W=\sum_{x=0}^\infty \sum_{y=0}^\infty \alpha^{x+y}\in(-\infty;+\infty),

azaz az első síknegyed súlya véges. Ez éppen \alpha\in(-1;+1) esetén következik be, és ekkor

W=\sum_{x=0}^\infty\sum_{y=0}^\infty \alpha^x\cdot \alpha^y=\sum_{x=0}^\infty \alpha^x\cdot\left(\sum_{y=0}^\infty \alpha^y\right)=\left(\frac{1}{1-\alpha}\right)^2

a mértani sor összegzőképlete szerint. A feladatokhoz pedig a P(x) polinomot rendelhetjük, amiről tudjuk, hogy van -1 és +1 között nemnulla gyöke, és tükrözi a zsetonok változását, azaz erre redukálódik a (*) egyenlet egy lépésnyi változás során. A VV-s példában ez a polinom P(x)=2x1-1 volt.

Aki ismer további alkalmazásokat erre a módszerre, örömmel olvasnám azokat.

Előzmény: [3771] Micimackó, 2013-08-07 13:22:20
[3773] aaaa2013-08-07 21:04:37

b)-re butaság, az pozitív egészekre igaz.

Előzmény: [3772] aaaa, 2013-08-07 20:19:50
[3772] aaaa2013-08-07 20:19:50

a) ez ekvivalens n2 darab eredeti feladatbeli (kezdőhelyzet)->(véghelyzet) lehet-e kérdés megválaszolásával.

b) pl. (1;1)-re raksz, erre nem tudod az operációt alkalmazni.

Előzmény: [3770] w, 2013-08-03 14:03:32
[3771] Micimackó2013-08-07 13:22:20

Megsúlyozzuk a mezőket, hogy egy érme mindig egyet érjen. Így 4 mező van, amiből 2-t akarunk üresen és két érmét akarunk a Fálesz verzióban, így ez nem lehet. A b) résznél még a szélső sorra és oszlopra is figyelni kell, mert ott is marad kis plusz üres terület és így nem lesz elég hely.

Előzmény: [3768] w, 2013-08-02 22:28:38
[3770] w2013-08-03 14:03:32

Egyetértek, csak az eredeti feladatot akartam kitűzni. Lehetne bőven variálni a dolgokat: keressünk kezdő- és célhelyzeteket az (x,y)\to (x+n,y), (x,y+n) operációra (előbbiből leveszünk, utóbbiakra rárakunk egy-egy zsetont) stb.

Megkérdezném (a feladatot még nem gondoltam át): az (x,y)\to (x+1,y+1), (x-2,y-1) hasonló változatban legalább hány zsetont kell {(x,y): x,y egész} halmazra rakni, hogy sehogy se lehessen elérni, hogy mondjuk az (1,1)(1,10)(10,10)(10,1) négyzetben ne legyen zseton.

Előzmény: [3769] Fálesz Mihály, 2013-08-03 05:45:44
[3769] Fálesz Mihály2013-08-03 05:45:44

Nem értem, hogy az (a) rész miért ennyire bonyolult. Szerintem elég lenne három pont: (0,0), (1,0) és (0,1). Ha kezdetben csak ezeken van zseton, akkor akárhány lépés után is lesz legalább az egyiken.

Előzmény: [3757] w, 2013-07-27 22:52:42
[3768] w2013-08-02 22:28:38

Igen, de miért "nem férnek el"?

Előzmény: [3767] Micimackó, 2013-08-02 21:06:06
[3767] Micimackó2013-08-02 21:06:06

Nekem úgy tűnik nem lehet, mert nem férnek el. Az első bőven nem fér el (nem is marad elég hely a táblán), a másodikhoz már lenne elég hely, de nincs jól elosztva. Úgyhogy szerintem nem lehet.

Előzmény: [3757] w, 2013-07-27 22:52:42
[3766] w2013-08-01 13:22:40

y=t\sqrt3

cosinustétel miatt ábra

T=\frac{xt*1/2}2+\frac{zt}2+\frac{xz*\sqrt3/2}2=4*3/2

(sinustétel)

4\sqrt3T=24\sqrt3=xy+2yz+3xz

Előzmény: [3765] Lóczi Lajos, 2013-08-01 11:04:27
[3765] Lóczi Lajos2013-08-01 11:04:27

A célkifejezés négyzete azonosan egyenlő a nullára rendezett feltételi egyenletek egy másodfokú polinomjával. A konstans tag 1728-nak adódik, innen egy gyökvonás.

Előzmény: [3762] w, 2013-07-31 12:57:17

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]