Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3842] jonas2014-02-27 12:33:17

552. (a) Nincs ilyen. Ugyanis bármely n pozitív egészre m=100 két nullára végződik, ezért nem lehet 10-csökkenő. Sőt, m>1010 esetén mn legalább 11 jegyből áll, ezért nem lehet 10-csökkenő.

(b) Nincs ilyen, mert már az (a)-nak sincs megoldása.

(c) Nincs.

Előzmény: [3841] w, 2014-02-26 21:07:19
[3841] w2014-02-26 21:07:19

552. - m pozitív egész ("mn az n többszöröse")

Az 551. feladatból kimaradt, hogy nem szabad két e egyenesen lévő pont felezőmerőlegesét venni. Bocsánat. (Aztán feladat, hogy milyen mesével lehet ezt valóságszerűvé tenni. :-) )

Előzmény: [3839] jonas, 2014-02-26 20:57:05
[3840] jonas2014-02-26 21:00:04

Az 551. feladat túl könnyűnek néz ki. Nem is értem, hogy az AB szakaszra mi szükség. Megoldás. Vegyél föl két pontot az e egyenesen, szerkeszd meg ezek f szakaszfelezőjét, ez merőleges e-re. Ezután vegyél két pontot f-en, ennek szerkeszd meg a szakaszfelezőjét, ez merőleges f-re ezért párhuzamos e-vel.

Előzmény: [3837] w, 2014-02-26 20:01:14
[3839] jonas2014-02-26 20:57:05

Az 522. (a) feladatban milyen m értékekre kéred a feltételt?

Előzmény: [3837] w, 2014-02-26 20:01:14
[3838] w2014-02-26 20:09:27

B.4509 megfordításával adódik, hogy a húrnégyszög köré még egy parabola írható, melynek tengelye az eredeti paraboláéra merőleges, ezt és az eredeti parabolát elaffinítva további parabolákat kapunk, amik pedig B.4509 szerint húrnégyszögben metszik egymást, amely húrnégyszög az illeszkedéstartás szerint A'B'C'D'.

Előzmény: [3832] Sinobi, 2014-02-11 16:29:21
[3837] w2014-02-26 20:01:14

Néhány témába illően szép feladat:

551. feladat. Adott egy AB szakasz, és egy e egyenes, ami áthalad a szakasz F felezőpontján. Rendelkezésünkre áll egy speciális szerkesztési eszköz, a szakaszfelező, ami két ismert ponthoz megrajzolja a tőlük egyenlő távol lévő pontok mértani helyét. Szerkesszünk csak szakaszfelezővel egy e-vel párhuzamos egyenest!

552. feladat. Nevezzünk egy k-alapú számrendszerbeli számot k-csökkenőnek, ha számjegyei balról jobbra olvasva szigorúan csökkennek.

(a) Van-e olyan n<100 pozitív egész úgy, hogy n bármely mn többszöröse a 10-csökkenő? (b) Van-e olyan n, amelyre igaz, hogy mn tetszőleges k-ra k-csökkenő? (c) Van-e végtelen sok ilyen n szám?

553. feladat. Legyenek a,b,n olyan pozitív egész számok, melyekre a100+b100 és a104+b104 osztható n-nel.

Igazoljuk, hogy a2014+b2014 is osztható n-nel!

[3836] Loiscenter2014-02-19 23:02:31

köszönöm szépen azt hittem hogy nincs vége!

Előzmény: [3835] jonas, 2014-02-19 14:42:13
[3835] jonas2014-02-19 14:42:13

Szerintem ez a szám a 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966, mert

6.1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966=

6101694915254237288135593220338983050847457627118644067796

Előzmény: [3833] Loiscenter, 2014-02-19 11:22:10
[3834] jonas2014-02-19 14:29:40

Ilyesmit néztünk korábban ugyanebben a témában a [2271] hozzászólástól kezdve.

Előzmény: [3833] Loiscenter, 2014-02-19 11:22:10
[3833] Loiscenter2014-02-19 11:22:10

szürgös:

Egy 6-ra végzödö szám ultolsó jegyét elhagyjuk. Ezt a szám elsö jegye elé irjuk. Az igy kapott szám hatsorosa az eredetinek. Melyik ez a szám? (azaz 6B = B6 . 6 ?)

[3832] Sinobi2014-02-11 16:29:21

Sinobi: "b, Bizonyítsd be, hogy ha van egy parabolán három pontpár (húr), amelyek felezőmerőlegesei egy ponton mennek át, akkor ha a hat pontot a parabola tengelyirányában elaffinítjuk, akkor az így kapott pontok felezőmerőlegesei is egy ponton fognak átmenni."

Azota sem tudom. Kedvcsinalonak egy hasonlo, de nagyon egyszeru feladat:

Ha van egy parabolan egy ABCD hurnegyszog, azaz barmelyik 2 pont felezomerolegese atmegy egy O ponton, akkor ha a hurnegyszoget a parabola tengelyiranyaban affinitom, akkor az A'B'C'D' pontnegyes is hurnegyszog lesz, azaz barmelyik ket pont felezomerolegese at fog menni O'-n.

Ez ugyan kovetkezik az elozo allitasbol, de azt nem tudom belatni, meg egyszerubben is kijon.

Előzmény: [3795] Sinobi, 2013-10-12 01:30:53
[3831] w2014-02-04 21:38:37

Az a) részt régi orosz versenyfeladat, a b) pedig egy kis gyakorlat, amit pont ennek a feladatnak az ötlete alapján találtam ki. :-)

Előzmény: [3830] Fálesz Mihály, 2014-02-04 20:43:33
[3830] Fálesz Mihály2014-02-04 20:43:33

Egy kapcsolódó feladat 2007-ből:

A. 429. Határozzuk meg mindazokat az egész együtthatós f(x) és g(x) polinomokat, amikre f(g(x))=x2007+2x+1.

A tanulság valami olyasmi, hogy polinomba polinom \implies deriválás... :-)

Előzmény: [3829] w, 2014-02-03 23:18:11
[3829] w2014-02-03 23:18:11

550. feladat. (körülbelül)

a) Vannak-e olyan f,g,h másodfokú polinomok, melyekre az f\left(g\left(h(x)\right)\right) polinom pontosan az 1,2,3,4,5,6,7,8 helyeken nulla?

b) Határozzuk meg azokat az f,g,h polinomokat, melyekre f\left(g\left(h(x)\right)\right)=x^8-1.

[Ezek nem nehéz, de érdekes feladatok. Ha eddig nem lett volna világos, aki ismeri őket, ne lője le. Aki maga megoldotta a feladatot, annak viszont szívesen látom megoldását.]

[3828] Loiscenter2014-01-29 00:47:03

1. legyen x=y=0 => f(0) = 0; 2) legyen x=y => 4f(x)[ f(x) - x.x] = 0 => vagy f(x) = 0 vagy f(x)=x.x külön x értékre

3) minden t# 0 esetére ha f(t) = t.t # 0 => legyen x=0, y=t => f(t).f(-t) =f(t)f(t) => f(-t) = f(t)=t.t; ha f(t) = 0 => legyen x=0, y=-t => f(t).f(-t) =f(-t)f(-t) => f(-t) = f(t)=0 összefoglalva f(-x)=f(x) minden x estére.

4) Ha létezik a# 0 ugy , hogy f(a)=0 => akkor minden t# 0 esetére legyen x=t, y=a => f(t+a)f(t-a) = f(t)f(t) legyen x=a, y=t => f(t+a)f(a-t) = f(t)f(t) - 4a.a.f(t) Mivel f(t-a) = f(a-t) => 4a.a.f(t) = 0 => f(t)=0

összegezve : f(x)=0 és f(x) = x.x; a két valosfüggvény , amely teljesiti a feltételt.

(Prof. Hung Son Nguyen - Varso egyetemból)

Előzmény: [3827] Loiscenter, 2014-01-28 20:46:14
[3827] Loiscenter2014-01-28 20:46:14

tényleg nincs folytonosság! igy csak 0 vagy x.x maradt! hogy tovább?

Előzmény: [3825] nadorp, 2014-01-28 15:33:25
[3826] w2014-01-28 15:37:28

Keresd meg az összes olyan f:R\toR függvényt, melyre f(x)2=1 teljesül minden x-re.

Előzmény: [3824] Loiscenter, 2014-01-28 15:17:44
[3825] nadorp2014-01-28 15:33:25

Ez így egy kicsit hiányos.

Ugyanis abból, hogy minden x-re f2(x)=x2f(x) teljesül, csak az következik, hogy f(x)=0 vagy f(x)=x2, de ez még nem zárja ki azt, hogy pld f(2)=4 és f(5)=0 egyszerre teljesüljön.

Előzmény: [3824] Loiscenter, 2014-01-28 15:17:44
[3824] Loiscenter2014-01-28 15:17:44

Legyen x=y=0 akkor f(0)=0 . legyen x=y igy f(2x)f(0)=4f(x)f(x) -4x.x.f(x) mivel f(0)=0 ezért 4f(x)f(x)-4x.x.f(x)=0 téhats f(x)=0 vagy f(x)=x.x . ellenörizve igaz mind.( bocsi nem tudtam hatványt irni)

Előzmény: [3822] w, 2014-01-27 22:06:36
[3823] Ménkűnagy Bundáskutya2014-01-27 22:57:22

Ez tetszik, jóféle. :)

Előzmény: [3822] w, 2014-01-27 22:06:36
[3822] w2014-01-27 22:06:36

Egy "vicces" függvényegyenlet.

Keressük meg az összes f:R\toR függvényt a következő tulajdonsággal:

f\left(x+y\right)f\left(x-y\right)=\left(f(x)+f(y)\right)^2-4x^2f(y)\qquad\qquad\forall x,y\in R.

[3821] aaaa2014-01-26 22:07:48

Ebből még az is következik, hogy:

\lim_{n\to\infty}\frac{|F_n|}{\sqrt{n}}=1\qquad |F_n|-\sqrt{n}=\Theta\left(n^{1/3}\right)

Ugyanis n\geq64-re \sqrt{n}+n^{1/3}-n^{1/6}<|F_n|, mert van legalább egy 5-ik hatvány, egyébként finomítva a becslésedet (prímedik hatványokra elég nézni az összeget):

|F_n|\leq 1+\sum_{p<\log_2n} n^{1/p}=1+\sqrt{n}+n^{1/3}+c\cdot n^{1/5}\frac{\log_2 n}{\log\log_2 n}

Ugyanis n-ig a prímek száma kb c\frac{n}{\log n}, ebből látszik, hogy elég nagy n-re

\sqrt{n}+n^{1/3}(1-\varepsilon_1)<|F_n|<\sqrt{n}+n^{1/3}(1+\varepsilon_2)

Előzmény: [3817] Ménkűnagy Bundáskutya, 2014-01-26 15:42:40
[3820] w2014-01-26 21:23:19

Az a sor talán jobban érthetően:

|F_n|\le1+\sum_{k=2}^{[\log_2 n]}n^{1/k}

után ugye n1/k\len1/2 igaz minden k\ge2-re, vagyis az összeg minden tagját (ebből [log2n]-1 darab van) n1/2-re cserélve ez kisebb, mint 1+n^{1/2}\cdot\left([\log_2 n]-1\right)<1+n^{1/2}\log_2 n.

Előzmény: [3819] Loiscenter, 2014-01-26 20:25:37
[3819] Loiscenter2014-01-26 20:25:37

a bizonyitasod tényleg nagyon jonak latszik, csak még nem latom hogy egyenlötlenség masodik része miért ?

Előzmény: [3817] Ménkűnagy Bundáskutya, 2014-01-26 15:42:40
[3818] Loiscenter2014-01-26 20:14:21

nagyon szép a magyarazat! köszönöm szépen!

Előzmény: [3816] aaaa, 2014-01-26 02:07:38

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]