Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[908] b.andi2005-05-05 12:13:12

Köszi szépen!!!! Nem akarok visszélni segítőkészségeddel, de nagyon megköszönném, ha segítenél (vagy valaki más)ezekben! :)

1. Adott A(-2;1) és B(8;1). Az y tengely mely pontjaiból látszik az AB szakasz derékszög alatt?

2.Mi az egyenlete annak a körnek, melynek sugara négyzetgyök 5, és az "e": x-2y=6 egyenest A (2;4) pontjában érinti?

3. Írja fwl az (x-2)2 +(y-1)2 =5 kör y=2x egyenessel párhuzamos érintőinek egyenletét!

Előzmény: [907] Fálesz Mihály, 2005-05-05 10:12:06
[907] Fálesz Mihály2005-05-05 10:12:06

A pont a II. síknegyedben van, a kör középpontja is ott lesz. Legyen a középpont (-a,a), a sugár a. A kör egyenlete:

(x+a)2+(y-a)2=a2.

Az egyenletnek teljesülnie kell x=-2, y=4 esetén, tehát

(-2+a)2+(4-a)2=a2

a2-12a+20=0

a=2 vagy a=10.

A két lehetséges egyenlet tehát:

(x+2)2+(y-2)2=4 és (x+10)2+(y-10)2=100.

Előzmény: [906] b.andi, 2005-05-05 09:26:14
[906] b.andi2005-05-05 09:26:14

Hello! Megoldanátok nekem ezt a feladatot? ( csak arra vagyok kiváncsi, hogy jól dolgoztam-e): Egy kör érinti mindkét tengelyt és átmegy a P(-2;4) ponton. Mi a kör egyenlete?

[905] Lóczi Lajos2005-05-04 22:34:50

163. feladat. Tekintsünk egy r>0 sugarú kört egy adott perempontjához tartozó érintőegyenessel együtt. Egy teljes fordulat erejéig csúszásmentesen görgessük végig a kört az egyenesen. A kijelölt perempont eközben egy G görbét ír le. Mekkorának válasszuk r értékét, ha azt szeretnénk, hogy az egyenes és G által határolt síkidom területének és kerületének mérőszáma ugyanakkora legyen?

[904] tudniakarok2005-05-04 22:18:53

Na ehhez a következőt találtam:

"... július 27-ére minden adat végleges lesz ahhoz, hogy beindíthassuk a vonalhúzás számítógépes eljárását. Ez egy többszörös biztosítással lefuttatott matematikai algoritmus,mely folyamatosan összeveti az egyes intézmények és szakok irányszámait az oda jelentkezők számával és elért felvételi pontszámaival. Minden egyes szak esetében az oda jelentkezők pontszámaiból alakul ki egy sorrend,amelynek csúcsán a legtöbb pontot elért jelentkező áll, majd sorra következik a többi... a szabály az, hogy a ténylegesen felvett hallgatók száma alulról közelíti meg az irányszámot. Mindezek figyelembevételével alakul ki végül július 27-én, előreláthatólag késő este a ponthatár..."

Előzmény: [897] Csimby, 2005-04-29 19:15:31
[903] Lóczi Lajos2005-05-04 22:09:28

Következzék egy régi feladat:

162. feladat. Tekintsünk két kört, K1-et és K2-t, sugaraik legyenek rendre 1, illetve r egység. K2 középpontja K1 peremén helyezkedik el. Mekkorának válasszuk r értékét, hogy a két körlap metszetének területe K1 területének fele legyen?

[902] Atosz2005-05-04 17:53:49

Sziasztok!

Kissé eltűntem az utóbbi időben, de újra itt vagyok, s gondolom ilyenkor illik egy új feladattal visszatérni. Nem túl nehéz.

[161]. feladat

A távoli hegyi faluban akkor tartanak ünnepet, amikor a kolostor és a templom harangjai pontosan egyszerre konganak. Mindkét harangot szabályos időközönként, egész számú percenként kongatják; de természetesen más ritmusban. Ma a harangok déli 12-kor fognak együtt kongani. Az ünnepnapok között a harangok felváltva konganak, és előfordul, hogy a nem ünnepnapok egyikén csak egy percnyi eltérés választja el a két hangot. Legutóbb a harangszók egybeesése déli 12 órakor történt, az azóta eltelt napok száma prímszám.

Hány napja történt ez?

Jó fejtörést hozzá!

[901] Lóczi Lajos2005-05-03 13:53:25

Kedves Géza,

már rögtön az idézett hozzászólás után letisztáztuk a kérdést, és a továbbiakban szinte az egész problémát.

Előzmény: [900] BohnerGéza, 2005-05-03 12:49:15
[900] BohnerGéza2005-05-03 12:49:15

Kedves Csimby!

Sajnos az asztroidra vonatkozó feltevésed nem jó. Kiszámoltam, egységnyi sugarú körben az asztroid hossza 6, a kör kerülete 2*PI.

(A számolás egy egyszerű integráláshoz vezet.)

Előzmény: [884] Csimby, 2005-04-26 22:06:56
[899] Lóczi Lajos2005-05-01 19:55:05

Én közvetlenül az ívhossz kiszámítására vonatkozó képletet használtam, ismert, hogy egy (megfelelően sima) függvény grafikonjának ívhossza 0 és 1 között \int_0^1 \sqrt{1+(f^{'}(x))^2}. Az a kérdés, hogy ez mikor lesz épp egy negyedkörívnyi hosszú, azaz \frac{\pi}{2}, ha a függvényünk f(x)=(1-x^\alpha)^{1/\alpha}. Más szavakkal, meg kell keresni azt az 0<\alpha<1 kitevőt (pl. ügyes programokkal), melyre a {\sqrt{1 + x^{-2 + 2\alpha }
      {\left( 1 - x^{\alpha } \right) }^
       {-2 + \frac{2}{\alpha }}}} függvény görbe alatti területe 0-tól 1-ig épp \frac{\pi}{2}.

Előzmény: [898] levi, 2005-04-29 21:47:06
[898] levi2005-04-29 21:47:06

Nagyon érdekelne hogy hogyan lehet eljutni ahhoz a kitevőhöz (szóval tulajdonképpen a megoldás érdekelne)... persze csak ha el lehet árulni...

[897] Csimby2005-04-29 19:15:31

Más kérdés:

Tudja valaki, hogyan határozzák meg a felvételi ponthatárokat, milyen algoritmussal? (Ez ugyanis csöppet sem tűnik egyértelműnek)

[896] Lóczi Lajos2005-04-29 17:05:01

Igen, csak véletlen.

A keresett kitevő ugyanis megközelítőleg \alpha=0.561493300750... (melyhez tartozó x^\alpha+y^\alpha=1-alakzat kerülete az egységkör kerületétől csak kb. 10-12-nel tér el.)

Előzmény: [895] Csimby, 2005-04-29 16:42:04
[895] Csimby2005-04-29 16:42:04

Lehet, hogy csak véletlen egybeesés,de: \frac{1}{\sqrt{\pi}}=0,564189...

Előzmény: [891] Lóczi Lajos, 2005-04-28 17:22:56
[894] Lóczi Lajos2005-04-29 01:38:38

Ott, hogy a körívre nem lehet felírni egy x^\alpha+y^\alpha=1 egyenletet, más szavakkal, x^\alpha+y^\alpha=1 pontosan akkor lesz egy kör egyenlete, ha \alpha=2.

Előzmény: [893] levi, 2005-04-28 23:19:30
[893] levi2005-04-28 23:19:30

Átszámoltam még pár számra az eredményt és tényleg rossz. Viszont én ezt nem értem. Abból indultam ki hogy van egy (1,1) középpontú 1 sugarú kör. Ennek ugye 2\pi a kerülete, és a o,1 zárt intervallumban lévő ívét vizsgáltam. Ennek az egyenlete (x-1)2+(y-1)2=1 (0\lex,y\le1). Ugyanakkor nekünk erre az ívre kellene felírni egy x^\alpha + y^\alpha =1 egyenletet. A könnyű számolás miatt olyan pontot választottam hol a két koordináta megegyezik: ez az (1-\frac1{\sqrt2},1-\frac1{\sqrt2}) pont. Ez a két koordináta az x^\alpha + y^\alpha =1 egyenletbe behelyettesítve adja nekem \alpha-ra a 0.564476383 eredményt (pontosan: \frac {lg \frac 12}{lg (1-\frac1{\sqrt2})}). Ebből gondoltam azt hogy akkor ez az \alpha lesz az eredmény. Hol tévedtem?

[892] Lóczi Lajos2005-04-28 20:01:27

Az előző hozzászólásomból a "szeritem" törölhető, aprócska feladat: lássuk be, hogy a "tükrözött körív" (melynek egyenlete könnyen láthatóan y=1-\sqrt{2x-x^2}) nincs a vizsgált görbék között, azaz nem létezik olyan \alpha>0, hogy minden 0\lex\le1 esetén x^\alpha+(1-\sqrt{2x-x^2})^\alpha=1 fennállna.

[891] Lóczi Lajos2005-04-28 17:22:56

A [890]-es hozzászólással viszont nem értek egyet, nincs megindokolva, hogy a tükrözött körívre miért lenne igaz az x^\alpha+y^\alpha=1 egyenlet. (Szerintem nem is igaz.)

Az viszont érdekes, hogy az én számításaim szerinti \alpha "viszonylag közel" van az Általad megadotthoz, de azért határozottan más, az eltérés csak a 3. tizedesjegytől kezdődik (ez nem róható fel kerekítési hibáknak, nagyobb pontossággal megismételve a számítást a kétfajta \alpha továbbra is eltér.)

Előzmény: [889] levi, 2005-04-28 16:54:59
[890] Lóczi Lajos2005-04-28 16:57:00

Egyetértek.

(Viszont furcsa, hogy a [888]-as hozzászólás eltűnt. Vajon ki akart benne mit mondani?)

Előzmény: [888] levi, 2005-04-28 16:00:55
[889] levi2005-04-28 16:54:59

Vizsgáljuk csak az első síknegyedet (azon belül is a 0,1 zárt intervallumot)! Húzzuk be az x+y=1 egyenest és rajzoljuk be a kör részét. Arra gondoltam, hogy tükrüzzük a körívet. Ehhez szintén húzzuk be az x-y=0 egyenest. Az első egyenessel és a körrel vett metszéspontjának koordinátáit kiszámíthatjuk: ezek M(1/2,1/2) ill. N(1/\sqrt2,1/\sqrt2). Az MN távolság pedig \frac{\sqrt2 -1}{\sqrt2}. Keressük meg az x-y=0 egyenesen a másik ilyen távolságban lévő pontot M-től, ez az P(\frac{2-\sqrt2}2,\frac{2-\sqrt2}2). Ez a pont rajta lesz a keresett köríven. Erre az ívre érvényes az x^\alpha +y^\alpha =1 egyenlet. Mivel x=y és behelyettesítve ezt az egyenletet kapjuk: 2(\frac{2-\sqrt2}2)^\alpha =1. Ebből azt kapjuk hogy \alpha=0.564476383. Ez talán egy keresett \alpha érték.

[888] levi2005-04-28 16:00:55

http://www.sulinet.hu/termeszetvilaga/archiv/2000/0001/05.html

a cikk részben érinti a kérdést (4. ábra és a mellette lévő kis bekezdés), ebből úgy gondolom ha \alpha>2 akkor a kerület (ha az \alpha megfelelően nagy) közelít a 8-hoz (egy 2*2 négyzet). Ha 1\le\alpha<2, akkor a kerület a 4\sqrt2-höz közelít.

[886] Csimby2005-04-26 23:06:10

Tudom, rájöttem hamar miután beírtam :-(

A keresett ponthalmaz parametrikus egyenlete: x=cos^{2/\alpha}t, y=sin^{2/\alpha}t

Az ívhossz: \int{\sqrt{x'^2+y'^2}} Most nem írom tovább, de \alpha=2/3-ra tényleg kijön a 6.

Előzmény: [880] Lóczi Lajos, 2005-04-22 11:23:44
[885] Lóczi Lajos2005-04-26 22:23:28

Sajnos nem. Az asztroid kerülete csak 6, ami nem 2\pi (ez benne is van a cikkben, amiből az ábrák valók).

Előzmény: [884] Csimby, 2005-04-26 22:06:56
[884] Csimby2005-04-26 22:06:56

A kis kör sugara a nagy kör sugarának a negyede, az animációból látszik, hogy az asztroid és a nagy kör kerülete megegyezik. (egy negyed körív = egy negyed asztroid ív = a kis kör teljes kerülete)

Előzmény: [883] Csimby, 2005-04-26 22:02:49
[883] Csimby2005-04-26 22:02:49

Szemléletesen az asztroid jónak tűnik.

( a kép innen van: http://mathworld.wolfram.com/Astroid.html)

Előzmény: [880] Lóczi Lajos, 2005-04-22 11:23:44

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]