[962] 2501 | 2005-06-14 11:12:21 |
Nem csak az N, Z, Q, R, stb. számhalmazok, hanem ezek részhalmazai is (pl. a páros számok halmaza).
Ezt felhasználva egy lehetséges megoldás:
a 3-mal osztva
A: 0 vagy 1
B: 1 vagy 2
C: 2 vagy 0
maradékot adó számok halmazai.
|
Előzmény: [961] Kérdező, 2005-06-14 10:19:25 |
|
[961] Kérdező | 2005-06-14 10:19:25 |
A példám egyszerű, de mégsem ugrik be a megoldás. Kérlek segítsetek!
----Halmazelmélet----
Adott 3 számhalmaz, melyekben külön-külön végtelen sok elem van. Egy-egy halmaz metszetében szintén végtelen sok elem található. Viszont a közös metszetben nulla, az ugyanis üres!
Hogy lehetséges ez? Tudomásom szerint ugyanis a számhalmazok egymás elemei...
R > Q > Z > N
Tehát két ilyen számhalmaz metszetét mindig a kisebbik halmaz elemei jelentik. Nem értem, hogy a közös metszet hogy lehet üres!?
Előre is köszi a segítséget!
|
|
[960] jonas | 2005-06-13 21:51:02 |
A g(x)=x+1 is jó ellenpélda mindhárom esetre. A g(x)=1-et én is kipróbáltam, de úgy látszik, nem vettem észre, hogy az is mindig jó. Szerintem ez bizonyítja, hogy én nem számoltam túl sokat, hiszen csak beírtam az első olyan ellenpéldát, ami kijött.
|
Előzmény: [959] Lóczi Lajos, 2005-06-13 14:45:33 |
|
[959] Lóczi Lajos | 2005-06-13 14:45:33 |
Hogy hogy tudtok ilyen bonyolult ellenpéldákat kifundálni :-), g(x)=x+1, egy csomót kell számolni, hogy leellenőrizze az ember.
(Ami nekem -- igaz, sajnos nem öt perc után -- beugrott, mint ellenpélda, az a szimpla g(x):=c választás: ez alkalmas c-vel mindegyiket cáfolja. Szinte érzem, hogy sugallják a feladat kitűzői, hogy próbáljuk meg a cx alakú függvényeket, mint "jobb szélső" esetet, 0 és 1 közötti c-vel, ezekre azonban mindhárom eset teljesül...)
|
Előzmény: [958] jonas, 2005-06-12 18:54:39 |
|
[958] jonas | 2005-06-12 18:54:39 |
Nem baj, ha lelövöm a megoldást?
Ha g(x)=1, akkor 0=g'(x) így a feltétel teljesül, de ha 0<x<1, tehát (a) vagy (c) biztosan nem mindig igaz.
Másrészt a (b) sem feltétlenül igaz, szerintem g(x)=x+1 ellenpélda rá.
|
Előzmény: [957] Lóczi Lajos, 2005-06-12 14:09:43 |
|
[957] Lóczi Lajos | 2005-06-12 14:09:43 |
177. feladat. Nemrég valahol tesztkérdésként (!) tűztek ki egy, az alábbihoz hasonló feladatot (tehát úgy gondolom, nem volt túl sok idő a megoldására).
Válasszuk meg a g:(0,)R deriválható függvényt tetszőlegesen úgy, hogy 0g'(x)1 teljesüljön minden x>0 esetén. Döntsük el, melyik állítás igaz mindig.
a.) Minden x(0,1)
b.) Minden x1
c.) Minden x>0
esetén fennáll, hogy
|
|
[956] Lóczi Lajos | 2005-06-12 13:45:31 |
Szép megoldás. Beírom, hogy a feladatra milyen "megoldást" láttam, tanulságos a kettőt összehasonlítani. (Idézőjelbe tettem azokat a részeket, ami miatt a két megoldás látszólagosan elétér.)
Alkalmazzuk a jobb oldalon a tangensfüggvény ismert "azonosságát",
és a rövidség kedvéért pl. legyen y:=tg(x), valamint a:=tg(1) ekkor azt kapjuk, hogy
Ez utóbbi egyenletnek azonban y-ban nincs megoldása, "tehát" a kiindulási egyenletnek sincs.
|
Előzmény: [955] levi, 2005-06-10 20:15:33 |
|
[955] levi | 2005-06-10 20:15:33 |
-2ctg1=tg(1-x)+tg(1+x)
-cos(1-x)cos(1+x)=sin21
-(cos1cosx+sin1sinx)(cos1cosx-sin1sinx)=sin21
sin21sin2x-cos21cos2x=sin21
sin21sin2x-(1-sin21)(1-sin2x)=sin21
sin21sin2x-(1-sin2x-sin21+sin21sin2x)=sin21
-1+sin2x=0
sin2x=1
+ellenörzés (remélem nem baj hogy azt nem írom ide)...
|
Előzmény: [954] Lóczi Lajos, 2005-06-09 14:30:46 |
|
[954] Lóczi Lajos | 2005-06-09 14:30:46 |
176. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:
-2ctg1=tg(1-x)+tg(1+x)
|
|
|
[952] jonas | 2005-06-05 20:39:58 |
Megpróbálom.
Tegyük fel, hogy az f folytonos függvény az egész R-en értelmezett, és minden értéket pontosan kétszer vesz fel.
Vegye fel az y0 számot az x0 és x1 pontokban, ahol x0<x1. Tekintsük az (x0,x1) intervallumot! Mivel itt f nem veszi fel x0-t, vagy csak y0-nál nagyobb, vagy csak y0-nál kisebb értéket vesz fel. Szimmetriaokokból tegyük fel, hogy csupa nagyobbat vesz fel. Ezen a középső intervallumon a függvénynek van maximuma, mégpedig az x2 pontban, ahol f(x2)=y2.
Legyen y3 a másik pont, ahol f(y3)=x2. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy y2<y3
Két eset lehetséges.
Vagy x2<x3<x1, de ekkor az (y2,y3) intervallumban f értéke kisebb y2-nél, de nagyobb y0-nál. De az ilyen értékeket f a közbülsőérték-tétel miatt az (y0,y2) és az (y3,y1) intervallumon is mind felveszi, tehát legalább három helyen is, ami ellentmondás.
Ha viszont x1<x3, akkor f az (y0,y2), (y2,y1) és az (y1,y3) intervallumon is felveszi az összes (x2,x3)-beli értéket, ami lehetetlen.
|
Előzmény: [951] Lóczi Lajos, 2005-06-05 19:29:33 |
|
|
|
[949] Lóczi Lajos | 2005-06-04 15:56:10 |
Igen, igazad van, a [946]-ban kétszer is tévedtem: persze "-" helyett ott "+"-t akartam írni, másrészt rosszul láttam, hogy "nem igaz" -- szerintem is jó a képlet, amit írtál.
|
Előzmény: [948] 2501, 2005-06-03 19:49:31 |
|
[948] 2501 | 2005-06-03 19:49:31 |
Megpróbálom indokolni, hogy
(ahol az alsó egészrész) szerintem miért működik. Bontsuk fel két függvény összegére:
grafikonja egy n hosszúságú "fokokból" álló, növekedő "lépcső", melyben a "fokok" az egészeknél kezdődnek. tulajdonképpen x törtrésze (írhattam volna -et is), tehát a grafikonja negyvenöt fokos, és 1 magas "sörtékből" áll. A kettő összegének grafikonján a "sörték" rákerülnek a "lépcsőfokokra", és minden fokon éppen n darab lesz.
|
Előzmény: [944] 2501, 2005-06-02 21:51:06 |
|
|
[946] Lóczi Lajos | 2005-06-03 16:48:28 |
175. feladat. Adjunk meg olyan folytonos valós függvényt, amelynek értelmezési tartománya az egész számegyenes és minden értéket pontosan kétszer vesz fel.
|
|
[945] Lóczi Lajos | 2005-06-03 16:45:44 |
(A kérdőjeles egyenlőség nem igaz.)
Másrészt nem is működnek jól a képletek, pl. a bal oldali esetén (ha [.] jelöli az alsó egészrészt (=floor)), akkor pl. a felet 3-szor veszi fel, de az egész értékeket csak kétszer.
|
Előzmény: [944] 2501, 2005-06-02 21:51:06 |
|
[944] 2501 | 2005-06-02 21:51:06 |
Aggodalomra semmi ok, mára befejeztem.
|
|
[943] 2501 | 2005-06-02 20:57:45 |
Megint nem jó, csak f2(x) jó. :o(
|
|
[942] 2501 | 2005-06-02 20:43:40 |
Ahol floor(x) az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb x-nél. Így biztosan jó.
|
|
[941] 2501 | 2005-06-02 19:38:23 |
Mégsem jó, pl. f2(x) három helyen 0. :o)
|
|
[940] 2501 | 2005-06-02 19:07:11 |
174.
fn(x) = x - [x] mod n
Ez leírja az egész függvénycsaládot. Legalábbis most jónak tűnik. :o)
|
|
[939] Lóczi Lajos | 2005-06-01 13:40:51 |
174. feladat. Adjunk meg olyan valós függvényt (ha van), amelynek értelmezési tartománya is és értékkészlete is az egész R, és minden értéket pontosan
a.) kétszer
b.) háromszor
c.) négyszer
vesz fel.
|
|
[938] Lóczi Lajos | 2005-05-18 21:12:23 |
173. feladat. Adjuk meg az összes olyan pozitív x,y,z számot, melyekre teljesül, hogy
xy=yz=zx.
(A feladat más, mint a régebbi hasonló kinézetű társa.)
|
|