Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[1008] xviktor

2005-08-12 16:41:51

Mostanaban hallottam par jo kis feladatot, gondoltam beirok ide parat.

181. feladat: Van egy hatszog mely oldalai: 2,4,2,4,2,4 /ebben a sorrendben/. Mekkora a hatszog terulete, ha tudjuk, hogy kor irhato bele?

182. feladat: Kicsit maskepp irom be ide mint az eredeti feladatban szerepel, hogy szamologepet ne lehessen hasznalni: Bizonyitsuk be hogy 2³³³+2⁵⁵⁵-1 nem prim!

183. feladat: Van egy szabalyos tetraederunk. A tetraederbe irt gomb terfogata hany szazaleka a tetraeder terfogatanak?

184. feladat: Van negy ugyanakkora sugaru gomb, melyek egy vizszintes asztalon paronkent erintik egymast. Pontosan kozepre "felrakunk" egy 5., a lentiekkel megegyezo sugaru gombot. Milyen messze van a fenti gomb kozeppontja a talajtol?

Jo gondolkodast!

[1007] xviktor	2005-08-09 00:04:41
Most akkor jo a megoldasom?
Előzmény: [1006] jonas, 2005-08-08 23:19:43

[1006] jonas	2005-08-08 23:19:43
Persze konstans nélkül nem is lenne értelme, mert úgy csak páratlan függvények állhatnak elő.
Előzmény: [1005] jonas, 2005-08-08 23:00:55

[1005] jonas	2005-08-08 23:00:55
Konstansokat (mint az 1) lehet használni? Én eddig úgy hittem, hogy nem.
Előzmény: [1002] xviktor, 2005-08-08 17:12:05

[1003] xviktor

2005-08-08 18:23:15

Az egesz levezetese sztem:

$-\frac1{\frac1{1+(x+y)}+\frac1{1-(x+y)}}+\frac1{\frac1{1+x}+\frac1{1-x}}+\frac1{\frac1{1+y}+\frac1{1-y}}-\frac12=$

$=-\frac1{\frac{1-(x+y)+1+(x+y)}{1-(x+y)^2}}+\frac1{\frac{1-x+1+x}{1-x^2}}+\frac1{\frac{1-y+1+y}{1-y^2}}-\frac12=$

$=-\frac1{\frac2{1-(x+y)^2}}+\frac1{\frac2{1-x^2}}+\frac1{\frac2{1-y^2}}-\frac12=$

$=-\frac{1-(x+y)^2}2+\frac{1-x^2}2+\frac{1-y^2}2-\frac12=\frac{-1+(x+y)^2+1-x^2+1-y^2-1}2=$

$=\frac{(x+y)^2-x^2-y^2}2=\frac{x^2+2\cdot x\cdot y+y^2-x^2-y^2}2=\frac{2\cdot x\cdot y}2=x\cdot y$

Amennyiben elirtam valamit legyszives szoljatok.

Udv: Viktor

u.i.: megtalaltam a szorzas jelet :)

[1004] xviktor

2005-08-08 17:42:52

Az x*y fuggvenyt a kovetkezokepp lehet megcsinalni szerintem:

$\frac{(-2*\frac1{\frac1{1+(x+y)}+\frac1{1-(x+y)}}+1)-(-2*\frac1{\frac1{1+x}+\frac1{1-x}}+1)-(-2*\frac1{\frac1{1+y}+\frac1{1-y}}+1)}2$

Itt kettovel lehet egyszerusiteni:

$(-\frac1{\frac1{1+(x+y)}+\frac1{1-(x+y)}}+\frac12)-(-\frac1{\frac1{1+x}+\frac1{1-x}}+\frac12)-(-\frac1{\frac1{1+y}+\frac1{1-y}}+\frac12)$

Bontsuk fel a zarojeleket:

$-\frac1{\frac1{1+(x+y)}+\frac1{1-(x+y)}}+\frac12+\frac1{\frac1{1+x}+\frac1{1-x}}-\frac12+\frac1{\frac1{1+y}+\frac1{1-y}}-\frac12=$

$=-\frac1{\frac1{1+(x+y)}+\frac1{1-(x+y)}}+\frac1{\frac1{1+x}+\frac1{1-x}}+\frac1{\frac1{1+y}+\frac1{1-y}}-\frac12$

Igy a megoldas szerintem:

$x*y=-\frac1{\frac1{1+(x+y)}+\frac1{1-(x+y)}}+\frac1{\frac1{1+x}+\frac1{1-x}}+\frac1{\frac1{1+y}+\frac1{1-y}}-\frac12$

Előzmény: [1002] xviktor, 2005-08-08 17:12:05

[1002] xviktor

2005-08-08 17:12:05

Az x² fuggvenyt a kovetkezokepp lehet megcsinalni szerintem:

$-2*\frac1{\frac1{1+x}+\frac1{1-x}}+1=-2*\frac1{\frac{(1-x)+(1+x)}{(1+x)(1-x)}}+1=-2*\frac1{\frac2{1-x^2}}+1=-2*\frac{1-x^2}2+1=-1+x^2+1=x^2$ .

Miutan megvan x² Jonas modszerevel megvan x*y fuggveny is.

Udv: Viktor

u.i.: Legyszives segitsetek, hogy szorzas jelet hogy lehet beirni TeXben? Elore is koszi.

Előzmény: [1001] rizsesz, 2005-08-08 16:28:41

[1001] rizsesz	2005-08-08 16:28:41
Tyű, köszönöm :) a négyzet viszont számomra elérhetetlennek tűnik a páratlan kitevők miatt :( Engem is az gátolt meg eddig, és közeledek. :) segítsééééég!

[1000] jonas

2005-08-08 15:35:15

Ezt a feladatot már hallottam, de nem tudom a teljes megoldást.

A segítség az volt hozzá, hogy állítsuk elő a négyzetre emelést először. Ha az már megvan, akkor $x \cdot y = \frac{(x + y)^2 - x^2 - y^2}2$ ; ahol kettővel osztani tudunk, mert $\frac u2 = \frac 1{1/u + 1/u}$

Most azt kéne megpróbálni, hogyan lehet x²-et előállítani. Eddig nem tudom, hogyan lehet, de még gondolkodom rajta.

Valami olyasmit kell használni, hogy $1/\left( \frac 1x - \frac 1{x + 1/x} \right) = x^3 + x$ ...

Előzmény: [989] rizsesz, 2005-08-06 21:42:56

[999] rizsesz	2005-08-07 16:46:16
1000.

[998] rizsesz

2005-08-07 16:46:03

(elnézést, zárójelezgetni is lehet). tehát mondjuk előállítható az 1/(x+y) kifejezés, x-2y, stb, míg azonban n*m esetén nem jó az m+m+m+m...+m (n-szer) (n és m valós szám). tehát összegezve valami olyasmi a feladat, hogy lehetséges-e két számot összeszorozni csak a +, - és 1/x műveletek segíségével úgy, hogy bármely két szám esetén mindig ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre (mintha egy képletbe helyettesítenénk be) függetlenül a két számtól.

[997] Yegreg

2005-08-07 16:07:05

Tehát egy olyan polinomra gondolsz, ahol x és y csak 1 és -1 hatványon lehet, és az együttható is csak 1 vagy -1 lehet mindenhol? Valamint a tagok száma véges, és nem változóval kifejezhető?

Érdekes feladat így.

Üdv

Yegreg

[996] rizsesz	2005-08-07 15:58:06
Igen, de csak a fenti 3 dolgot lehet használni.
Előzmény: [995] xviktor, 2005-08-07 15:00:06

[995] xviktor	2005-08-07 15:00:06
Akar tortet is hozza lehet adni?
Előzmény: [994] rizsesz, 2005-08-07 14:58:22

[994] rizsesz	2005-08-07 14:58:22
Pontosan. Tehát az x*y kifejezést kell előállítani x-k, y-k, +, - és a reciprok műveletek segítségével.
Előzmény: [993] Gubbubu, 2005-08-07 14:43:34

[993] Gubbubu	2005-08-07 14:43:34
És ha jól értem, egyáltalán szorzás sem szerepelhet a célkifejezésben ( pl. (x+y)*(x+y) )?
Előzmény: [992] Gubbubu, 2005-08-07 14:33:10

[992] Gubbubu	2005-08-07 14:33:10
Kapcsos zárójel (ti. olyasmi, mint az informatikában az IF vagy a CASE műveletek) szerepelhet? És "végtelen sok kapcsos zárójel" :-?
Előzmény: [991] Gubbubu, 2005-08-07 14:31:48

[991] Gubbubu	2005-08-07 14:31:48
Ha jól értem, az x és y változók szorzatát (nem a hatványát, ugye?)?
Előzmény: [989] rizsesz, 2005-08-06 21:42:56

[990] Yegreg

2005-08-06 22:41:45

Kedves Péter!

Kössz a címet, de én jobban megértem a saját gondolatmenetem alapján. Az már kiderült számomra, hogy az n dimenziós általánosítás helyes, mert megkérdeztem valakitől, és az mondta, hogy összegezni kell váltott előjellel a különböző dimenziós felületek számát -1-től n-ig(n dimenzióban), és 0 kapunk.(negatívval kezdjük)., Valamint, hogy a -1 dimenziós felületek száma mindig 1, és az n dimenziósé is.

És ha megnézzük, akkor ez pontosan ugyanaz, mint az enyém, egy kis átalakítás után.

Szóval, örülök, hogy rájöttem, és szeretném bizonyítani az én gondolatmenetem, legfeljebb majd utána elolvasok más gondolatmeneteket és bizonyításokat is.

Bár a nem egyszereű poliéderekre vonatkozó általánosítás helyességéről még nem kaptam visszajelzést(igaz, azt a részt magam is bizonyítottam, csak ide nem írtam le), de eddig minden egyes esetben helyes eredményt adott, bár megjegyezték, hogy néha talán nehezen használható. Valójában nem annyira, szerintem, de ez további gondolkodásra késztetett.

ScarMan barátom említette, hogy ismer egy c+l=e+2-2*k képletet, k lyukú tórusszal ekvivalens alakzatokra, ami nyilván adott esetben könnyebben használható, mint az enyém, ezekután gondoltam arra, hogy talán a speciális tulajdonságokat(ami jelen esetben a tórusz-ekvivalencia) beírva a képletbe, megkaphatjuk a speciális formulát.

Az ötlet helyesnek bizonyult, a tóruszoknál legalábbis biztosan. Ha a legvégsőként beírt képletet nézitek... Az egyszerű poliéderek száma, melyekre felbontjuk a tóruszt k. Jelen esetben k=1(ez most nem a lyukak száma, csak a képletben volt így), méghozzá egy véges henger, ha úgy tetszik gömb, amire a "standard" Euler tétel vonatkozik. A tóruszt minden lyukánál található gyűrűben "elvágjuk", így nyilván gömbbel ekvivalens alakzatot kapunk, az egyszerű poliéder pedig önmagával érintkezett akárhány csúcson és ugyanannyi élen, ezek a képletben kiejtik egymást, valamint minden egyes lyuk körüli gyűrűben pontosan két lapon(a vágás mentén, ha úgy tetszik), és mivel k(visszatérva ScarMan képletéhez, bocs, hogy a k-t két dologra használtam) lyukú tóruszról volt szó, így egy 2*k a bal oldalon, ezt ha átvisszük a jobb oldalra, akkor látható, hogy a barátom által említett c+l=e+2-2*k képletet kapjuk, tehát az általam felírt képlet alkalmas speciális esetekre vonatkozó egyenletek levezetésére.

Tulajdonképpen, feltehetőleg ekvivalens a Péter által írt címen található képlettel, csak ahhoz jobban meg kellene nézni.

Igazából azért írtam le a képletet, mert a gondolatmenetem bizonyítására vártam ötleteket, nem azért, hogy leírjátok az általános Euler tételt, mert ez már az. Csak esetleg más alakban, mint ismeritek.

Ha bizonyításként az választjátok, hogy leírjátok a ti képletetek levezetését, és belátjátok, hogy az ekvivalens az enyémmel, az elfogadható, bár mint már mondtam, nekem most nem ez lenne a célom, pontosan ezért nem néztem meg könyvben sem, mert hajlamos lennék én is így letudni, ahelyett, hogy a saját gondolatmenetemet bizonyítanám.

Üdv

Yegreg

[989] rizsesz	2005-08-06 21:42:56
Sziasztok, egy elég meglepő probléma ütött szöget a fejembe: elő kellene állítani az f(x;y)=xy függvényt az összeadás, kivonás és reciprok műveletek segítségével, de természetesen nem jó az x szerepeljen y alkalommal :) szóval valahogy elő kellene állítani xy-t :)

[988] Maga Péter

2005-08-06 17:43:29

Kedves Yegreg!

Az n-dimenziós Euler-formulát megtalálod a következő helyen minden érdekességgel: www.cs.elte.hu/~mg, ez Moussong Gábor tanár úr (ELTE, geometria tanszék) honlapja. Ezen a helyen a Konvex halmazok és politópok affin térben című, pdf kiterjesztésű állomány vége, a 6.10-6.12 pontok tartalmazzák ezt. A bizonyításhoz sajnos kell némi előismeret, főként lineáris algebra.

Minden jót!

Maga Péter

Előzmény: [984] Yegreg, 2005-07-31 18:30:01

[987] Yegreg

2005-08-01 00:58:20

Na jó, most kérek elnézést, hogy iszonyat sok hozzászólásom volt egymás után, de az eredeti képletet, amit írtam, már végiggondoltam, a nem egyszerű polinomos kiegészítést pedig általában írás közben találtam ki, és ezért több hibám is volt benne, most leírom az utolsó javított verziót, ha pedig észreveszem, hogy rosszul írtam ismét, akkor végiggondolom rendesen. Szóval itt lenne(két előjelet rontottam):

$\sum_{i=0}^{[\frac{(n-1)}2 ]}{\big(b_{2i}+b_{kozos_{2i}}\big)}-\sum_{j=0}^{[ \frac{n}2 ]-1}{\big(b_{2j+1}+b_{kozos_{2j+1}}\big)}=2*(n-2[\frac{n}2])*k$

Bocsánat mégegyszer...

Yegreg

[986] Yegreg

2005-08-01 00:45:01

Nah, sikerült!

Így nézne ki

$\sum_{i=0}^{[\frac{(n-1)}2 ]}{\big(b_{2i}-b_{kozos_{2i}}\big)}-\sum_{j=0}^{[ \frac{n}2 ]-1}{\big(b_{2j+1}-b_{kozos_{2j+1}}\big)}=2*(n-2[\frac{n}2])*k$

Az egészen általános képlet, ahol k már nem az izolált részek száma, hanem a poliédert alkotó egyszerű poliéderek száma, b_{kozos_x} pedig a poliéderen(vagy poliéderben) található olyan összes x-brán száma, amely nem csak egy egyszerű polinomhoz tartozik. (azért kozos, mert a közös-t nem szerette a TeX...).

Szóval így nézne ki egészen általánosan...

Na, a feladat még mindig a régi...

Üdv:

Yegreg

[985] Yegreg

2005-08-01 00:31:51

Na jó, a k-t felejtsétek el(illetve ne felejtsétek, csak ne úgy jegyezzétek meg, ahogy írtam, mert az úgy nem jó), mert ha csak úgy hajítom bele a k-t, akkor nem törődnék azzal, hogy lesznek közös lapok(pontosabban n-1-bránok), vagyis kiesnek páran. Tulajdonképpen most jut eszembe, hogy nem is kell elfelejtenetek a k-t, csak jobb oldalt ki kell egészíteni, méghozzá egy ilyesmivel:

...-k*b_{k_n-1átl.}

És ezúttal megjegyezném, hogy ScarMan ismét tévedett, de azért kössz, hogy szólt azzal kapcsolatban, hogy én is tévedtem.

Jah és némi magyarázat a jobb oldal kiegészítéséhez: ki kellett vonni a közös n-1 bránok számát. Nah, és ezután most jut eszembe, hogy nem csak ilyen nem egyszerű polinom lehet. ŐŐŐŐ....kérnék lyan 5 percet, és utána beírom a rendes általános képletet nem egyszerű polinomokkal is, vagy akit az nem érdekel, az maradjon a

$\sum_{i=0}^{[\frac{(n-1)}2 ]}{b_{2i}}- \sum_{j=0}^{[ \frac{n}2 ]-1}{b_{2j+1}}=2*(n-2[\frac{n}2])$

képletnél egyszerű polinomok esetén. Nemsokára újra jelentkezem. Üdv:

Yegreg

[984] Yegreg

2005-07-31 18:30:01

Pár napja írt egy e-mailt egy barátom(az fórumon ScarMan néven), írta, hogy emlékszem-e még, amikor az Euler tétel n-dimenziós általánosításáról beszéltünk, valamint elküldte az egyik ötletét. Aztután a másnap délelőttöt azzal töltöttem, hogy gondolkoztam, majd arra jutottam, hogy helytelen az egyenlete, és kitaláltam egy egyenletet, ami feltehetőleg helyes. Íme: $\sum_{i=0}^{[\frac{(n-1)}2 ]}{b_{2i}}- \sum_{j=0}^{[ \frac{n}2 ]-1}{b_{2j+1}}=2*(n-2[\frac{n}2])*k$

Ahol n a dimenziók száma, b_x az n dimenziós test x-bránjainak(x dimenziós felületeinek, azaz x=0-nál csúcs, x=1-nél él, x=2-nél lap, x=3-nál test stb.) száma, k pedig az izolált és összefüggő részek száma(ez csak akkor szükséges, ha nem egyszerű a polinom). A képletet az alapján kaptam meg, hogy kiindultam abból, hogy egy n-1 dimenziós testre igaznak kell lennie az n dimenziós Euler tételnek, ha figyelembe vesszük azt, hogy az n-1 dimenziós testnek pontosan 2 db n-1-bránja van, de ez logikus, hiszen két oldala van. A képletet úgy kapjuk meg, ha feltételezzük, hogy ez az állítás megfordítva is igaz.

Az ok, ami miatt többek között beírom ezt ide az, hogy a képlet megkapása utáni 2-3 napban nem sikerült bizonyítanom, hogy a fenti állítás megfordítottja igaz, a feladat tehát az lenne, hogy igazoljuk a képlet helyességét, vagy cáfoljuk meg azt.

Sok sikert!

Üdv:

Yegreg

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?