Fórum: Érdekes matekfeladatok

Kedves Csimby!

Én eddig 3-at találtam: a₀=1;a₁=1;a₁₂=144. Az Excell 15 jegy pontosságával a₇₃=806.515.533.049.393-ig nincs újabb. Efölött az Excell már alkalmatlan, programozói gyakorlatom nincs, hogy írjak egy rövid rutint, s általam nem ismert egy Fib(n)=... közvetlen képlet, melyből esetleg lehetne következtetni valamit.

Kiváncsi vagyok a Te megoldásodra is.

HK

80.feladat Hány négyzetszám van a Fibonacci-sorozatban?

http://jpbrown.i8.com/cubesolver.html

(Tudom, hogy nem ilyet keresel, de érdekes. :-) )

Mielőtt az Emberevők Szigete végleg elsülyedne a Feledés Tengerében, próbáljuk meg Csimby gondolatait egy teljes megoldássá rendezni.

Az előzést úgy értettem, hogy két falu között az egyik megelőzi a másikat. Tehát U elindul U-ból, és miközben V felé bandukol, megelőzi őt vetélytársa, a konkurrens felekezet tanait terjesztő T is, és V is partra száll V-ben. Mire U odaér V-be, addigra ott már megették T-t, és U mit sem sejtve tovább mehet W-be, ahol ő lesz a menü. Az U tehát U-ból indul, W-ben végzi, és közben mégis elindult valaki V-ből...

Szeretném hangsúlyozni, hogy az előzés lehetőségét példának hoztam fel arra, hogy sok részlet nincs következetesen és pontosan leírva. A teljesen végig nem gondolt részletekben pedig elbújhat egy olyan hiba, ami az egész megoldást megfúrja.

* * *

Térjünk vissza a megoldásra. Osszuk a misszionáriusokat két csoportra. Az egyikbe tartoznak a szerencsétlenebbek, akiket azonnal megesznek. A másik csoport a még szerencsétlenebbek, akiknek előbb dolgozni is kell; az a falu, ahonnan indulnak, az odaérkezésükkor éppen pogány. Minden még szerencsétlenebb misszionárius (MSZM) megtesz egy bizonyos utat a parton.

Csimby megoldása a következő lépésekből állna:

1. Az MSZM-ek által megtett utak nem fedhetik át egymást; nincs olyan partszakasz, ahol két misszionárius is áthaladt;

2. Az MSZM-ek által megtett partszakaszok egymáshoz csatlakoznak és a sziget teljes kerületét pontosan egszer lefedik.

3. Minden egyes faluban összesen két misszionárius fordult meg, és végül a falu újra pogány lett.

A 78. feladathoz hasonló, de talán egy kicsit érdekesebb és elegánsabb megoldású a következő:

79. feladat: Tetszőleges n természetes számra állítsuk össze az A és B betűkből az összes lehetséges n betű hosszúságú szót. Osszuk e szavakat két halmazba, P_n-be és N_n-be aszerint, hogy egy adott szóban a BA betűcsoport előfordulásainak száma páros vagy páratlan (a nullát páros számnak tekintjük). Például a BABBBBA szó és az AAAAAAB szó a P₇ halmazba, az AABBABB szó és a BABAABA szó az N₇ halmazba tartozik. Határozzuk meg, mely n számokra van a P_n és az N_n halmaznak ugyanannyi eleme.

Hogy őszinte legyek, a 78. feladat megoldása nem túl szép, a 79.-re azonban ismerek egy ritka érdekes bizonyítást, ami eltér a "hivatalos" megoldástól és szerintem sokkal szebb.

Ha valaki tudna valamit mondani az ilyen feladatok eredetéről és mélyebb jelentőségéről, azt megköszönném.

Mint új fórumos, egy feladattal kezdeném:

78. feladat: Tetszőleges n természetes számra állítsuk össze az A és a B betűkből az összes lehetséges n betű hosszúságú "szót". Jelölje pn azon n hosszúságú "szavak" számát, melyek nem tartalmaznak sem négy egymást követő A betűt (AAAA csoportot), sem három egymást követő B betűt (BBB csoportot). Határozzuk meg a következő kifejezés értékét

Hi!

Régebben beszéltetek itt a bűvös kockáról (rubik) azt szeretném megkérdezni, hogy tudtok-e olyan lapot, ahol van valami róla?

Kedves Géza és Károly!

Gratulálok a szép megoldásokhoz! Most sajnálom, hogy nem volt elég kitartásom.

Kedves Géza!

Találtál egy második megoldást! Mindenképpen megérdemled a túró rudit. :o)

S íme az én változatom, melyet anno az 1. gimiben fél év firkálgatás után oldottam meg:

Végül, sok-sok próbálkozás után találtam egy megoldást a 12. feladatra:

(A két kis kanyart azért rajzoltam bele, hogy egyértelmű legyen, hogy merre mennek a szakaszok.)

Még ne, hadd próbálkozzak még egyszer... :-)

Kedves Károly!

Én egy ideig próbálgattam a hurokkal való összekötést, de nem jött össze. Szivesen látnám a megoldást!

Megoldás a 77. feladatra.

Legyen legelő középppontja O, sugara 1. A karó helye legyen P, a kötél hossza r ( lásd az ábrát). A P középpontú r sugarú kör messe a legelőt a Q és R pontokban.

Legyen RPQ=. Nyilván tompaszög, hiszen ellenkező esetben a két körív közti terület nagyobb a legelő felénél és az is látszik, hogy . A két körív közti terület egy körcikkre és két egybevágó körszeletre bontható, a területre:

Mivel , ezért

Ezt az egyenletet csak közelítőleg lehet megoldani, =109,19^o körül van.Innen r=1,16 egység.

Az 59. feladat így szólt: Oldjuk meg a

egyenletet, ha (x,y)R² !

Az 59. feladat megoldása: A logaritmus „hasában” álló A kifejezés:

így log₂A1.

A jobb oldali B tört nevezője: y²+4y+6=(y+2)²+22, így B1.

A két oldal csak akkor lehet egyenlő, ha log₂A=B=1. tehát y = -2. A = 2-ből cos²xy=1. cos²(-2x)=cos²(2x)=1, amiből cos2x=1 vagy cos2x=-1, 2x=k.

Tehát , ahol kZ.

A 40. feladatot visszavonom, mivel feltehetően nemdeterminisztikus és így nem ismert általános megoldása.

HK

A feltettem 12. feladatra több, mint 5 hónapja nem érkezett helyes megoldás. Ezért, ha már senki nem kíván rajta gondolkodni és kívánjátok, közfelkiáltásra közkincsé teszem. :o)

HK

A 63. feladat ez volt: Három barátnő főzéshez készül, az egyik 5 db fát, a másik 3 db fát hozzott a spórba és így mindhármójuk megfőzött. A harmadik, mivel nem volt tüzifája, 8 forinttal járult hozzá a tüzifa költségekhez. A másik két barátnő milyen arányban osztozik igazságosan a pénzen?

A 63. feladat megoldása: A harmadik barátnő 8 Ft-ot ad a rá eső fahasábért, így fahasáb 1 Ft-ot ér.

Az első barátnő, aki fahasábot adott -al adott többet mint a saját része, így 7 Ft-ot kap, míg a második, aki -ot adott csak -al adott többet mint a saját része, tehát 1 Ft-ot kap a 8 Ft-ból.

Kedveseim!

Az alábbi feladatok még megoldóra várnak. Kellemes töprendést!

HK

Kedves Géza, Onogur és Mindenki aki veszi a fáradságot, hogy nyomonkövesse a szigetes feladat megoldását!

Azért nem írok (legalábbis egyenlőre) olyan hozzászólást amiben minden benne van, mert vki úgyis beleköt (ez persze nem baj) és akkor írhatnám újra az egészet. Egyenlőre tehát a legutóbb feltett kérdésekre válszolok:

I. Esetleg valaki meg is előzhette a-t? A hittérítők sorban haladnak, nem hagyhatnak ki falut és egy faluban egyszerre csak egy hittérítő tartózkodhat, tehát nincsen előzés.

II. Ha az a-ból induló misszionárius b-ben végzi, miért ne indulhatott volna közben más pap a kettő között? [326] hozzászólás: "ha lettek volna innen induló papok, akkor a pap meghalt volna az a faluhoz legözelebbi ilyen indulási faluban" (legyen ez a falu y ) Bővebben: Az a és b falu között indulók közül y az a-hoz legközelebbi indulásipont, tehát az a és b között indulók közül csak y járhatott y-ban. Mivel feltettük, hogy időben a az első hittérítő, és I.szerint nicsen előzés, ezért nem lehetséges az sem, hogy valaki a falu előttről indult és így jutott el az a utáni falutól y-ig tartó partszakszra. Tehát a-tól y-ig még senki sem járt egy faluban sem, y-ban pedig egy ember járt, vagyis ha lenne ilyen y falu, akkor a pap y-ban halt volna meg és nem b-ben. Ami ellentmondás! Ebből az is következik, hogy az a-tól a halálozási falujáig, (b-ig) terjedő partszakaszon a-n kívül senki sem indult időben b előtt.

Ha a b-ből induló misszionárius c-ben végzi, nem indulhatott volna közben más pap a kettő között, mert: ha lettek volna innen induló papok, akkor b pap meghalt volna a b faluhoz legözelebbi ilyen indulási faluban. (legyen ez a falu z ) Bővebben: A b és c falu között indulók közül z a b-hez legközelebbi indulásipont, tehát a b és c között indulók közül csak z járhatott z-ben. Mivel az a-tól b-ig terjedő partszakaszon a-n kívül senki sem indult időben b előtt, és I.szerint nicsen előzés, ezért nem lehetséges az sem, hogy valaki b falu előttről indult és így jutott el a b utáni falutól z-ig tartó partszakszra. Tehát b-től z-ig még senki sem járt egy faluban sem, z-ben pedig egy ember járt, vagyis ha lenne ilyem z falu, akkor b pap z-ben halt volna meg és nem c-ben. Ami ellentmondás! Ebből az is következik, hogy a b-től b halálozási falujáig, (c-ig) terjedő partszakaszon b-n kívül senki sem indult időben c előtt.

Bármely két falura bizonyítható az állítás ugyanezzel a gondolatmenettel ...

III. Ha az x-edik faluba megérkezik a majd b , akkor x=a vagy x=b? Azt feltettem, hogy a és b az első két ember aki x-ben jár, tehát a és b közül a második aki oda ér biztosan meghal (legyen ez b). De II. szerint b és a között nem indulhatott senki, tehát a-nak x-ből kellett indulnia.

Csimby

77. feladat: (Felesben legel e kecske)

Egy kecskepásztor egyik nap egy kerek legelőre vitte ki egyetlen kecskéjét legelni. De hogy ne kelljen másnap újabb legelő után nézni, úgy szeretné kikötni, hogy csak a legelő felét tudja a kecskéje lelegelni. A karót a legelő szélén verte le. Milyen hosszúra kell a kecske kötelékét engednie?

HK

Kedves Csimby,

Ha nem veszed zokon, még egy kicsit megdolgoztatlak. A túrórudi csak teljes megoldásért jár, amin nem fog semmilyen javítói kötekedés. :-)

Egy KöMaL-javító szinte minden mondat végén odaírná pirossal, hogy "Miért?". Például miért igaz, hogy ha az x-edik faluba megérkezik a majd b, akkor x=a vagy x=b? Ha az a-ból induló misszionárius b-ben végzi, miért ne indulhatott volna közben más pap a kettő között? (Esetleg valaki meg is előzhette a-t...)

Mindez persze csak akadékoskodás, de azért nem értelmetlen. Egy teljes megoldásban nem lehetnek ilyen homályos pontok, mert ezek hibák forrásai lehetnek. Én úgy látom, hogy közel vagy a megoldáshoz, sok mindent látsz, amin múlik, de a megoldás pontos leírása még mindig hiányzik. (Jó lenne az elejétől a végéig leírni, nem olyan hosszú, és könnyebb elolvasni, ha nem hivatkozik korábi hozzászólásokra.)

Géza

Kedves Onogur!

Legyen x olyan falu ahol 2-nél többen is megfordultak. Legyen az első két ember aki járt x-ben a és b. Ekkor x=a vagy x=b, legyen most x=a. Tehát b pap a faluban halt meg. Vagyis a és b azon papok csoportjába tartozik, akiket [326]-os hozzászólásomban a megoldás elején felsoroltam. De az ebbe a csoportba tartozó papok "váltják" egymást (onnan következik egy új ahol a régi meghalt) vagyis elképzelhetetlen, hogy egy harmadik c pap is átmenjen x-en (ha c is a papoknak ebbe a csoportjába tartozik), mert az ebbe a csoportba tartozó papok útvonalai pontosan lefedik a partot és nincs olyan szakasz amin két pap járt volna. A másik csoportba tartozó papok sem mehetnek át x-en, mert x-ből nem indulhatnak (hiszen onnan már a indult) és ők az induló falujukban meghalnak.

Kedves Csimby!

A feladat szép és elegáns befejezéséhez azt kellene kizárni, hogy semmi szín alatt nem jöhet egy faluba 2-nél több térítő. (Természetesen nem lehet ilyen ellenpéldát mutatni, de bizonyítani igen.)

HK

Tehát ha jó az amiket leírtam, akkor mindegyik faluba pontosan 2 pap érkezik (összesen). Ez egy kicsit meglepő, de most hirtelenjében nem találok ellenpéldát...

Kedves Onugor!

A térítőket két csoportra oszthatjuk: Akik beleférnek a megoldásom elején adott felsorolásba és akik nem. A két csoport közül melyiknél gondolod, hogy fenn állhat ez a problema? (én úgy gondolom, egyikben sem)