Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Matematikai Diákolimpia

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[67] rizsesz2010-07-10 11:09:41

Szia Géza!

Az eredmények mikorra várhatóak?

Előzmény: [66] Kós Géza, 2010-07-08 10:52:53
[66] Kós Géza2010-07-08 10:52:53

Íme az idei feladatok.

 

Első nap

 

1. feladat. Határozzuk meg az összes olyan f:R\toR függvényt, amelyre az

f([x]y)=f(x)[f(y)]

egyenlőség teljesül minden x,y\inR-re. (Itt [z] a legnagyobb olyan egész számot jelöli, amely kisebb vagy egyenlő z-nél.)

Javasolta: Franciaország

 

2. feladat. Legyen I az ABC háromszög beírt körének középpontja, \Gamma pedig a háromszög körülírt köre. Az AI egyenes másik metszéspontja a \Gamma körrel legyen D. Legyen E a BDC körív egy pontja, F pedig a BC szakasz egy pontja, amelyekre teljesül


BAF \angle = CAE \angle < \frac{1}{2}
BAC \angle .

Legyen továbbá G az IF szakasz középpontja. Bizonyítsuk be, hogy a DG és EI egyenesek a \Gamma körön metszik egymást.

Javasolta: Hong Kong

 

3. feladat. Legyen N a pozitív egész számok halmaza. Határozzuk meg az összes olyan g:N\toN függvényt, amelyre

(g(m)+n)(m+g(n))

teljes négyzet minden m,n\inN-re.

Javasolta: USA

 

Második nap

 

4. feladat. Legyen P egy pont az ABC háromszög belsejében. Az AP, BP és CP egyenesek másik metszéspontja az ABC háromszög \Gamma körülírt körével legyen rendre K, L és M. A \Gamma körhöz C pontban húzott érintő messe az AB egyenest az S pontban. Tegyük fel, hogy SC=SP. Bizonyítsuk be, hogy MK=ML.

Javasolta: Lengyelország

 

5. feladat. A B1,B2,B3,B4,B5,B6 dobozok mindegyikében kezdetben egy érme van. Kétféle megengedett lépés van:

1. típusú lépés: Választunk egy Bj nemüres dobozt, ahol 1\lej\le5. Elveszünk egy érmét a Bj dobozból, és hozzáadunk két érmét a Bj+1 dobozhoz.

2. típusú lépés: Választunk egy Bk nemüres dobozt, ahol 1\lek\le4. Elveszünk egy érmét a Bk dobozból, és kicseréljük a Bk+1 (esetleg üres) doboz tartalmát a Bk+2 (esetleg üres) doboz tartalmával.

Állapítsuk meg, hogy ilyen lépések valamilyen véges sorozata segítségével elérhető-e, hogy a B1, B2, B3, B4, B5 dobozok mindegyike üres legyen, a B6 doboz pedig pontosan 201020102010 érmét tartalmazzon. (Definíció szerint abc=a(bc).)

Javasolta: Hollandia

 

6. feladat. Legyen a1,a2,a3,... pozitív valós számok egy sorozata. Tegyük fel, hogy van egy olyan s pozitív egész, amellyel

an=max {ak+an-k | 1\leqk\leqn-1}

teljesül minden n>s egészre. Bizonyítsuk be, hogy léteznek olyan \ell és N pozitív egészek, amikre \ell\leqs, és a_n=a_\ell+a_{n-\ell} minden n\geqN-re.

Javasolta: Irán

[65] janomo2009-07-26 10:48:12

Hát sajnos nem sokal, egy egyszerű geot kellet volna megoldanom. De mondom, majd jövőre...

Előzmény: [64] Tibixe, 2009-07-25 23:56:48
[64] Tibixe2009-07-25 23:56:48

Gratulálok én is. Jól látom, hogy nem sokkal maradtál le az aranyról?

Előzmény: [60] janomo, 2009-07-22 20:19:23
[63] lorantfy2009-07-24 16:14:38

Gratulálok a csapat minden tagjának és a felkészítő tanároknak!

[62] Python2009-07-23 12:32:55

Gratulálok a csapatnak!

[61] Láda192009-07-23 07:03:43

Biztosak vagyunk abban, hogy mindent megtettetek az eredményes szereplés érdekében. Mnd a hatan érmet szereztetek, ez szép teljesítmény. Gratulálok a csapatnak, és mindannyiótoknak további sikeres és eredményes munkát kívánok.

Előzmény: [60] janomo, 2009-07-22 20:19:23
[60] janomo2009-07-22 20:19:23

Köszönjük. Megpróbáltuk a lejobbat kihozni magunkból. Jővőre megpróbálunk még jobbak lenni. Nagy János

Előzmény: [56] m2mm, 2009-07-19 14:25:26
[59] Láda192009-07-19 17:03:21

Köszönöm szépen!

Előzmény: [58] m2mm, 2009-07-19 16:33:24
[58] m2mm2009-07-19 16:33:24

http://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=2009

Előzmény: [57] Láda19, 2009-07-19 16:22:46
[57] Láda192009-07-19 16:22:46

Honnan tudod az eredményt? Még nincs fenn az IMO honlapján.

Előzmény: [56] m2mm, 2009-07-19 14:25:26
[56] m2mm2009-07-19 14:25:26

Mármint

Tomon István 7 7 7 7 7 0 35 Gold medal

Szűcs Gergely 7 7 1 0 3 0 18 Bronze medal

Nagy János 7 7 7 2 7 0 30 Silver medal

Nagy Dániel 7 7 1 5 3 0 23 Bronze medal

Kornis Kristóf 7 7 0 2 7 0 23 Bronze medal

Éles András 7 7 2 5 7 0 28 Silver medal

Előzmény: [55] m2mm, 2009-07-19 14:23:03
[55] m2mm2009-07-19 14:23:03

Gratulálok a magyar csapat tagjainak!

Az eredmények:

Tomon István 7 7 7 7 7 0 35 Gold medal

Szűcs Gergely 7 7 1 0 3 0 18 Bronze medal

Nagy János 7 7 7 27 0 30 Silver medal

Nagy Dániel 7 7 1 53 0 23 Bronze medal

Kornis Kristóf 7 7 0 27 0 23 Bronze medal

Éles András 7 7 2 57 0 28 Silver medal

[54] Kós Géza2009-07-17 18:09:41

Az idei feladatok

(Szabad fordításban)

 

I. nap

1. feladat. Legyen n pozitív egész, és legyenek a1,a2,a3,...,ak (k\ge2) különbző egészek az {1,2,...,n} halmazból úgy, hogy ai(ai+1-1) osztható n-nel minden egyes i=1,2,...,k-1 esetén. Bizonyítsuk be, hogy ak(a1-1) nem osztható n-nel.

2. feladat. Az ABC háromszög köré írt kör középpontja O. P és Q belső pontjai a CA, illetve AB oldalaknak. Legyen K, L és M a BP, CQ, illetve PQ szakaszok felezőpontja, és legyen \Gamma a K,L,M pontokon átmenő kör. Bizonyítsuk be, hogy ha \Gamma érinti a PQ egyenest, akkor OP=OQ.

3. feladat. Tegyük fel, hogy s1,s2,s3,... egy pozitív egészekből álló, szigorúan növekvő sorozat, amire az ss1,ss2,ss3,... és ss1+1,ss2+1,ss3+1,... részsorozatok számtani sorozatok. Bizonyítsuk be, hogy s1,s2,s3,... maga is számtani sorozat.

 

II. nap

4. feladat. Az ABC háromszögben AB=AC. A CAB és az ABC szög felezője a BC és CA olalakat D-ben, illetve E-ben metszi. Legyen K az ADC háromszögbe írt kör középpontja. Tegyük fel, hogy BEK\angle=45o. Határozzuk meg a CAB szög összes lehetséges értékét.

5. feladat. Határozzuk meg az összes olyan, a pozitív egészek halmazából a pozitív egészek halmazába képező f függvényt, amire tetszőleges a,b pozitív egészek esetén az a, f(b) és f(b+f(a)-1) hosszúságú szakaszokból (nem elfajuló) háromszög szerkeszthető.

6. feladat. Legyenek a1,a2,...,an különböző pozitív egészek, és legyen M egy n-1 pozitív egészből álló halmaz, ami nem tartalmazza az s=a1+a2+...+an számot. Egy szöcskének, a számegyenes 0 pontjából indulva, összesen n-szer kell ugrania jobb felé úgy, hogy az ugrások hossza rendre a1,a2,...,an legyen valamilyen sorrendben. Bizonyítsuk be, hogy az ugrások sorrendjét meg tudjuk választani úgy, hogy a szöcske egyszer se lépjen M-beli pontra.

[53] lorantfy2008-07-24 19:56:22

GRATULÁLOK A MAGYAR CSAPAT MINDEN TAGJÁNAK!

[52] Diego22008-07-21 18:53:57

Nagyon nagy dolog, amit a fiúk műveltek. Ez nem vicc, gyerekek. Le a kalappal! Gratulálok az egész magyar csapatnak és mindenkinek, akinek ehhez a világraszóló sikerhez valamilyen köze van! Mert tetszik van nem, igenis, többek között az ilyen tudás az IGAZI ÉRTÉK! Nem lehet pénzben kifejezni.

[51] rizsesz2008-07-21 15:24:55

Azért ne feledkezzünk el Tomon Istvánról sem, aki ugyan nem Lovász fia :) mégis, az 5. helyet szerezte meg, ami legalább olyan kimagaslóan szép teljesítmény...

Előzmény: [50] Róbert Gida, 2008-07-20 18:38:52
[50] Róbert Gida2008-07-20 18:38:52

Eredmények:

http://www.imo-2008.es/results.html

Lovász fia negyedik lett az összes induló között, másodikban vesztett pontot.

Ezt a számolós második példának az a részét beadtam a Mathematica-nak, nem tudta bebizonyítani, tehát annyira mégsem könnyű, legalábbis egy gépnek. Csak a teljesen triviális jobboldal=0-át tudta belátni.

[49] m2mm2008-07-18 17:39:00

Köszönöm a segítséget.

Előzmény: [47] sakkmath, 2008-07-18 16:54:09
[48] sakkmath2008-07-18 17:09:08

Egy pontosítás: a könyv 2003-ban jelent meg. Az Eötvös Kiadó jelenleg így hirdeti:

Előzmény: [47] sakkmath, 2008-07-18 16:54:09
[47] sakkmath2008-07-18 16:54:09

Ha jó angolul is, klikk ide. Itt az "S"-ikonokra kattintva a megoldásokhoz jutunk. Magyarul két lehetőség adódik:

1) Egy könyv: Reiman István - Dobos Sándor: Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák 1959 - 2003 (TypoTex, 2000, ISBN : 9639548045);

2) Egy lap: KöMaL 2000. év októberi száma. (Legalábbis ebben kell lennie, ugyanis az elmúlt évek gyakorlata ez: a szeptemberi számban a feladatokat és a beszámolót közlik, s a következőben hozzák a magyar olimpikonok megoldásait.

Előzmény: [46] m2mm, 2008-07-18 12:58:42
[46] m2mm2008-07-18 12:58:42

Üdv! Valaki megtudná mondani, hol találhatom meg a 41. diákolimpia(2000 júliusa) feladatainak megoldását?

[45] Róbert Gida2008-07-17 18:39:03

Magyarul az idei 6 feladat:

http://www.imo-2008.es/examenes/hun.pdf

Előzmény: [44] Róbert Gida, 2008-07-16 16:30:30
[44] Róbert Gida2008-07-16 16:30:30

2008-as spanyolországi matematikai olimpia első napjának feladatai:

1. Legyen H egy ABC hegyesszögű háromszög magasságpontja. \gammaA kör középpontja a BC oldalfelezőpontja, és átmegy H-n, BC oldalt A1 és A2 pontokban metszi. Hasonlóan definiáljuk a B1,B2,C1,C2 pontokat. Mutassuk meg, hogy A1,A2,B1,B2,C1,C2 egy körön vannak.

2. x,y,z valós számok mindegyike különbözik egytől és xyz=1. Mutassuk meg, hogy \frac {x^2}{(x-1)^2}+\frac {y^2}{(y-1)^2}+\frac {z^2}{(z-1)^2}\geq 1. Továbbá, hogy végtelen sok x,y,z racionális számhármasra az egyenlőtlenség egyenlőséggel teljesül.

3. Mutassuk meg, hogy végtelen sok pozitív egész n számra n2+1-nek van 2n+\sqrt {2n}-nél nagyobb prímosztója.

[43] Sirpi2006-08-07 13:36:41

Az M-et a megfelelő helyre beszúrtam, a hiányzó abszolútérték-jellel együtt.

Előzmény: [42] sakkmath, 2006-08-07 11:49:30

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]