KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Fórum: Matematikai Diákolimpia

  Játékszabályok    Technikai információ    TeX tanfolyam    Elfelejtettem a jelszavam    Témák  

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[352] Bátki Zsolt2017-10-04 17:31:15

Nagyon tetszett! A "geogebra"-ban egy bizonyítás lépésenkénti megoldása. Geometriai feladatokat én is geogebrában kezdem megoldani. Az "olimpián" mint kiderült ez nem használható. De a Kömal feladatversenyen, nagyon jól jöhet. Nem oldja meg helyettünk, de megkímél a körző, vonalzó használattól és az esetleges szabadkézi rajz félresiklásaitól. Lehetne, így is beadni megoldást!

Előzmény: [349] Ármós Lajos, 2017-09-04 17:15:24
[351] jonas2017-10-03 06:17:57

A “más versenyek” elég bő, úgyhogy kimerítő választ ne várj rá.

Az idei matematika OKTV (amit a Minisztérium szabályoz a középiskolásoknak kor szerinti bontás nélkül) szabályai szerint “A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológép és bármely írásos segédeszköz (tankönyv, szakkönyv, függvénytáblázat, saját kézírásos jegyzet stb.) használható, de egyéb elektronikus kommunikációs eszközök (internet, mobiltelefon stb.) nem. Hibajavító használata sem engedélyezett.”

A BME matematika versenyen (a BME-n tanulóknak szól) is lehet nyomtatott és írott jegyzetet használni, de arra már nem emlékszem, hogy számológépet lehet-e.

A BJMT által rendezett Kürschák verseny (egyetemistáknak) és az Arany Dániel verseny (legfeljebb tizedikes iskolásoknak) ehhez képest sokkal szigorúbb: “Semmilyen segédeszköz (könyv, jegyzet, elektronikus segédeszköz) nem használható. Az íróeszközökön kívül az egyedüli megengedett segédeszköz, a körző és vonalzó.”

A levelező versenyekre, mint a KöMaL és a Schweitzer, gyakorlati okból enyhe szabályok vonatkoznak, itt bármilyen segédeszközt lehet használni, vagyis kereshetsz az interneten vagy elmehetsz könyvtárba, csak másik személytől nem kaphatsz szakmai segítséget.

Előzmény: [350] Bátki Zsolt, 2017-10-02 17:35:30
[350] Bátki Zsolt2017-10-02 17:35:30

A harmadik feladathoz: Ez bizonyult a legnehezebbnek. Csak 2 ember oldotta meg.(egy orosz és egy ausztrál)

A hivatalos megoldás még nem ismert, vagy nem találom.

Szerintem az x(0)=1; x(n+1)=1+sqrt(1+x(n)**2-2*sqrt(x**2-1)) rekurziót kell megtalálni n= 10**9 esetre. De n= 65000-re már x(n)>100.

Nem lehet ilyen egyszerű, valamit elrontottam. Programot írtam rá. (1 darab 'for' ciklus)

Kérdésem milyen eszközöket lehet használni matek olimpián, meg más versenyeken? (mert erre se találtam semmit) Nyilván számítógépet, telefont nem, de nem programozható számológépet igen?

[349] Ármós Lajos2017-09-04 17:15:24

A 4. feladatra (merthogy a geometriát szeretem a leginkább) sikerült egy csak a szögazonosságokra épülő megoldást találnom. Fölvittem GeoGebrába, itt nézhető, lapozható (az alsó sáv bal részén lévő nyilakkal) a megoldás folyamata: https://www.geogebra.org/m/DPGW8FDQ

[348] jonas2017-07-22 14:37:31

Az 5. feladat szerintem tanulságos, úgyhogy mondanék rá egy megoldást.

Amikor az \(\displaystyle N(N+1)\) játékos sorba állt, vágjuk fel a sort \(\displaystyle N\) szakaszra, ahol minden szakasz \(\displaystyle N+1\) fős. Ki szeretnék választani minden szakaszból két-két játékost, hogy ez a \(\displaystyle 2N\) játékos megfeleljen a feltételeknek.

Minden szakaszban keressük meg a legmagasabb és a második legmagasabb játékost. A szakaszonként második legmagasabb játékosok közül keressük meg a legmagasabbat, mondjuk Dezsőt. Dezsőt és az ő szakaszában álló legmagasabb játékost, Ernőt, válasszuk be végleg a kiválasztott játékosok közé. Hagyjuk el Dezső szakaszából a többi \(\displaystyle N-1\) játékost, valamint minden további szakaszból a legmagasabb játékost. Vegyük észre, hogy az el nem hagyott játékosok közül Ernő és Dezső a két legmagasabb.

Maradt \(\displaystyle N-1\) szakaszunk, mindegyikben \(\displaystyle N\) egymás mellett álló játékos, és a már kiválasztott játékosok nem állnak egyik megmaradt szakaszban sem. Ugyanezt a kiválasztást ezért folytathajtuk ezen az \(\displaystyle N-1\) szakaszon, addig, amíg \(\displaystyle 1\le N\). A folyamat minden lépésében van legalább egy szakasz, és a szakaszban legalább két játékos, így minden lépésben ki tudunk választani két újabb játékost.

Összesen \(\displaystyle N\) lépés lesz, és \(\displaystyle 2N\) pár játékost választunk ki. A kiválasztott játékosok közül Ernő és Dezső a két legmagasabb, a második lépésben kiválasztott két játékos a második legmagasabb, stb. Ha egy párt ugyanabban a lépésben választunk ki, akkor ők ugyanabból a szakaszból jönnek, és ebből a szakaszból mindenki mást elhagyunk (az eredeti szakaszokra osztás szerint is), ezért a pár a kiválasztott játékosok sorában egymás mellett áll. Ez pont a feladatban kért tulajdonságot igazolja.

(Az egészben csak annyi a csalás, hogy középiskolás koromban ezt a megoldást valószínűleg nem tudtam volna megtalálni. Az 1. feladat is tanulságos, de most nem lövöm le a megoldását, mert könnyű.)

Előzmény: [346] Kós Géza, 2017-07-22 02:10:20
[347] Kós Géza2017-07-22 03:01:35

A 2017-es eredmények:

1.2.3.4.5.6 összesenhelyezésdíj
Baran Zsuzsanna 7 4 0 7 0 0 18 139–187 bronzérem
Borbényi Márton 7 3 0 7 7 1 25 36–48. aranyérem
Gáspár Attila 7 4 0 7 7 0 25 36–48 aranyérem
Kovács Benedek 7 3 0 3 0 0 13 390–415. dicséret
Matolcsi Dávid 5 4 0 3 0 0 12 416–441
Williams Kada 7 4 0 7 2 2 22 72–81 ezüstérem
csapat: 40 22 0 34 16 3 115 22–24

A versenyen összesen 615-en vettek részt. 48-an kaptak aranyérmet, 90-en ezüstérmet, 153-an bronzérmet.

http://imo-official.org/year_individual_r.aspx?year=2017&column=total&order=desc

Előzmény: [346] Kós Géza, 2017-07-22 02:10:20
[346] Kós Géza2017-07-22 02:10:20

Az idei IMO feladatai:

1. nap, 2017. július 18.

1. feladat. Minden \(\displaystyle a_0 > 1\) egész számra definiáljuk az \(\displaystyle a_0\), \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), ... sorozatot a következőképpen. Minden \(\displaystyle n\geqslant 0\)-ra legyen

\(\displaystyle a_{n+1} = \begin{cases} \sqrt{a_n} & \text{ha \(\displaystyle \sqrt{a_n}\) egész szám}, \\ a_n + 3 & \text{különben.} \end{cases} \)

Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle a_0\) értéket, amihez van olyan \(\displaystyle A\) szám, amire \(\displaystyle a_n = A\) teljesül végtelen sok \(\displaystyle n\)-re.

2. feladat. Legyen \(\displaystyle \mathbb{R}\) a valós számok halmaza. Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) függvényt, amire minden valós \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) szám esetén teljesül

\(\displaystyle f \left( f(x) f(y) \right) + f(x+y) = f(xy). \)

3. feladat. Egy vadász és egy láthatatlan nyúl egy játékot játszik az euklideszi síkon. A nyúl \(\displaystyle A_0\) kiindulópontja és a vadász \(\displaystyle B_0\) kiindulópontja egybeesnek. A játék \(\displaystyle (n-1)\)-edik menete után a nyúl az \(\displaystyle A_{n-1}\) pontban, a vadász a \(\displaystyle B_{n-1}\) pontban van. A játék \(\displaystyle n\)-edik menetében a következő három dolog történik, ebben a sorrendben:

(i)   A nyúl láthatatlan módon egy olyan \(\displaystyle A_n\) pontba megy, amire \(\displaystyle A_{n-1}\) és \(\displaystyle A_n\) távolsága pontosan 1.

(ii)  Egy nyomkövető eszköz megad egy \(\displaystyle P_n\) pontot a vadásznak. Az eszköz által a vadásznak nyújtott információ mindössze annyi, hogy \(\displaystyle P_n\) és \(\displaystyle A_n\) távolsága legfeljebb 1.

(iii) A vadász látható módon egy olyan \(\displaystyle B_n\) pontba megy, amire \(\displaystyle B_{n-1}\) és \(\displaystyle B_n\) távolsága pontosan 1.

Igaz-e, bárhogyan mozogjon is a nyúl, és bármilyen pontokat jelezzen is a nyomkövető eszköz, hogy a vadász mindig meg tudja úgy választani a mozgását, hogy \(\displaystyle 10^9\) menet után a távolság közte és a nyúl között legfeljebb \(\displaystyle 100\) legyen?

2. nap, 2017. július 19.

4. feladat. Legyenek \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle S\) különböző pontok egy \(\displaystyle \Omega\) körön, amikre \(\displaystyle RS\) nem átmérője a körnek. Legyen \(\displaystyle \ell\) az \(\displaystyle \Omega\) körhöz a \(\displaystyle R\) pontban húzott érintőegyenes. Legyen \(\displaystyle T\) az a pont, amire teljesül az, hogy \(\displaystyle S\) az \(\displaystyle RT\) szakasz felezőpontja. Legyen \(\displaystyle J\) egy olyan pont az \(\displaystyle \Omega\) kör rövidebb \(\displaystyle RS\) ívén, amire teljesül az, hogy a \(\displaystyle JST\) háromszög \(\displaystyle \Gamma\) körülírt köre az \(\displaystyle \ell\) egyenest két különböző pontban metszi. Legyen \(\displaystyle \Gamma\) és \(\displaystyle \ell\) metszéspontjai közül az \(\displaystyle A\) pont az, ami közelebb van az \(\displaystyle R\)-hez. Az \(\displaystyle AJ\) egyenes \(\displaystyle \Omega\)-val vett második metszéspontja legyen \(\displaystyle K\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle KT\) egyenes érintője a \(\displaystyle \Gamma\) körnek.

5. feladat. Adott egy \(\displaystyle N \geqslant 2\) egész szám. \(\displaystyle N(N+1)\) futballjátékos, akik között nincs két egyenlő magasságú, valahogyan felállnak egy sorban. Az edző ki akar hagyni ebből a sorból \(\displaystyle N(N-1)\) játékost úgy, hogy a megmaradt \(\displaystyle 2N\) játékos alkotta sor játékosaira teljesüljön az alábbi \(\displaystyle N\) feltétel:

(1) senki nem áll a legmagasabb és a második legmagasabb játékos között,

(2) senki nem áll a harmadik legmagasabb és a negyedik legmagasabb játékos között,

      \(\displaystyle \vdots\)

(\(\displaystyle N\)) senki nem áll a két legalacsonyabb játékos között.

Bizonyítsuk be, hogy ez mindig megtehető.

6. feladat. Egy egész számokból álló \(\displaystyle (x,y)\) rendezett párt primitív rácspontnak nevezünk, ha \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) legnagyobb közös osztója 1. Ha adott primitív rácspontok egy véges \(\displaystyle S\) halmaza, bizonyítsuk be, hogy van olyan \(\displaystyle n\) pozitív egész, és vannak olyan \(\displaystyle a_0\), \(\displaystyle a_1\), ..., \(\displaystyle a_n\) egészek, hogy minden \(\displaystyle (x,y)\) \(\displaystyle S\)-beli pontra teljesül

\(\displaystyle a_0 x^n + a_1 x^{n-1} y + a_2 x^{n-2} y^2 + \cdots + a_{n-1} x y^{n-1} + a_n y^n = 1. \)

[345] IMO koordinátor2016-07-22 21:29:35

Feladatonként 601 dolgozatot kellett pontozni, amiket különböző nyelveken írtak. Az sem megoldás, ha a csapatvezetők pontozzák a saját diákjaikat, de az sem várható el, hogy a rendezők állítsanak ki olyan javítókat, akik a világ összes nyelvén tökéletesen megértik a dolgozatok tartalmát.

Erre találták ki azt a rendszert, hogy az előre kitalált megoldókulcs alapján a csapatvezetők és a rendezők által kiválasztott "koordinátorok" közösen megállapodnak az értékelésről. Ha szükséges, a csapatvezető lefordít részeket, vagy akár a teljes dolgozatot. A koordinátorok feladata, hogy a pontozás egységes legyen.

Előzmény: [342] csábos, 2016-07-22 20:40:17
[344] csábos2016-07-22 21:12:46

:-)

Jó,ha van egy diszkrétgeométer a csapatban. Köszi!!

Előzmény: [343] Lpont, 2016-07-22 20:54:48
[343] Lpont2016-07-22 20:54:48

Rácssokszög lévén területe vagy egész vagy ...,5-re végződik.

Előzmény: [342] csábos, 2016-07-22 20:40:17
[342] csábos2016-07-22 20:40:17

Mit jelent az, hogy koordinátor? És miért kell a 3-as feladat szövegébe a 2S, miért nem S van?

Előzmény: [341] IMO koordinátor, 2016-07-22 17:41:28
[341] IMO koordinátor2016-07-22 17:41:28

Idén csak koordinátor voltam. Ott voltam a verseny elejétől a végéig a zsüri mellett, és a pontozásban vettem részt.

Előzmény: [340] jonas, 2016-07-21 00:53:28
[340] jonas2016-07-21 00:53:28

Az, hogy az olimpiai feladatokat most Kós Géza néven írod ide, azt jelenti, hogy idén nem voltál a PSC tagja?

Előzmény: [332] Kós Géza, 2016-07-13 16:16:59
[339] Lpont2016-07-19 19:08:25

Köszönöm, így már értem, miért volt ilyen nehéz a feladat.

Előzmény: [337] Kós Géza, 2016-07-18 19:49:20
[338] Kós Géza2016-07-18 19:59:54

Érdemes ezt a videót is megnézni.

A shortlistben a Jeff név szerepelt, a héber fordításban Lev (az előző csapatvezető Lev Radzilovszki volt), a svédben Jana Madjarova, a svéd koordinátor cukkolására Jana.

A magyar csapatvezetőnek javasoltam a Jocó nevet, de ettől elzárkózott.

Előzmény: [336] Kemény Legény, 2016-07-18 19:28:14
[337] Kós Géza2016-07-18 19:49:20

Orosz feladat.

Indukció az oldalak száma szerint; próbáljuk a sokszöget valamelyik átlójával kettévágni.

Előzmény: [335] Lpont, 2016-07-18 16:56:53
[336] Kemény Legény2016-07-18 19:28:14

Korábban még nem tűnt fel, hogy a feladatokban szereplő személyneveket a különböző nyelvekre hányféleképpen fordítják le. A 6. feladat Jeromosa az angol verzióban Geoff (gondolom, Geoff Smith után kapta a nevét) vagy pl. németül Lisa (nyilván Lisa Sauermann tiszteletére).

Előzmény: [332] Kós Géza, 2016-07-13 16:16:59
[335] Lpont2016-07-18 16:56:53

Úgy látom a harmadik feladat sikeredett igazán nehézre, az olimpia 602 résztvevője közül mindössze 10-en adtak 7 pontos megoldást.

Kedves Géza, honnan származik a feladat és milyen indítót lehetne adni az érdeklődő diákoknak?

Előzmény: [333] Kós Géza, 2016-07-14 16:38:51
[334] Lpont2016-07-18 16:54:14

Köszönöm.

Előzmény: [332] Kós Géza, 2016-07-13 16:16:59
[333] Kós Géza2016-07-14 16:38:51

Az idei eredmények:

1. 2. 3. 4. 5. 6 összesen helyezés díj
Gáspár Attila 7 7 0 7 7 7 35 12-16 aranyérem
Lajkó Kálmán 7 7 0 7 1 3 25 78-93. ezüstérem
Nagy Kartal 7 3 0 7 7 0 24 94-113 ezüstérem
Szabó Barnabás 7 6 2 7 1 0 23 114-136. ezüstérem
Baran Zsuzsanna 7 3 0 6 1 3 20 169-183 bronzérem
Williams Kada 7 2 0 7 2 0 18 206-223 bronzérem
csapat: 42 28 2 41 19 13 145 14

A versenyen összesen 602-en vettek részt. 44-en kaptak aranyérmet, 101-en ezüstérmet, 135-en bronzérmet.

http://imo-official.org/year_individual_r.aspx?year=2016&column=total&order=desc

[332] Kós Géza2016-07-13 16:16:59

Első nap

 

1. A &tex;\displaystyle BCF&xet; háromszögnek &tex;\displaystyle B&xet;-nél derékszöge van. Legyen &tex;\displaystyle A&xet; a &tex;\displaystyle CF&xet; egyenes azon pontja, amelyre &tex;\displaystyle FA=FB&xet;, és az &tex;\displaystyle F&xet; pont &tex;\displaystyle A&xet; és &tex;\displaystyle C&xet; között fekszik. A &tex;\displaystyle D&xet; pontot úgy választjuk, hogy &tex;\displaystyle DA=DC&xet; és &tex;\displaystyle AC&xet; a &tex;\displaystyle DAB\angle&xet; szögfelezője. Az &tex;\displaystyle E&xet; pontot úgy választjuk, hogy &tex;\displaystyle EA=ED&xet; és &tex;\displaystyle AD&xet; az &tex;\displaystyle EAC\angle&xet; szögfelezője. Legyen &tex;\displaystyle M&xet; a &tex;\displaystyle CF&xet; szakasz felezőpontja. Legyen &tex;\displaystyle X&xet; az a pont, amire &tex;\displaystyle AMXE&xet; parallelogramma (ahol &tex;\displaystyle AM || EX&xet; és &tex;\displaystyle AE || MX&xet;). Bizonyítsuk be, hogy a &tex;\displaystyle BD&xet;, &tex;\displaystyle FX&xet; és &tex;\displaystyle ME&xet; egyenesek egy ponton mennek át.

 

2. Határozzuk meg azokat a pozitív egész &tex;\displaystyle n&xet; számokat, amelyekre egy &tex;\displaystyle n \times n&xet;-es táblázat minden mezőjére az I, M, O betűk valamelyikét tudjuk írni úgy, hogy:

   &tex;\displaystyle *&xet; minden sorban és minden oszlopban a mezők egyharmadára I, egyharmadára M és egyharmadára O betű van írva; és

   &tex;\displaystyle *&xet; minden átlóban, ha az átlóban lévő mezők száma &tex;\displaystyle 3&xet; többszöröse, akkor ezen mezők egyharmadára I, egyharmadára M és egyharmadára O betű van írva.

Megjegyzés: Egy &tex;\displaystyle n \times n&xet;-es táblázat sorait és oszlopait természetes módon &tex;\displaystyle 1&xet;-től &tex;\displaystyle n&xet;-ig számozhatjuk. Így minden mezőhöz egy pozitív egészekből álló &tex;\displaystyle (i,j)&xet; számpár tartozik, ahol &tex;\displaystyle 1 \leq i,j \le n&xet;. &tex;\displaystyle n > 1&xet; esetén a táblázatnak &tex;\displaystyle 4n - 2&xet; átlója van, amelyek kétfélék lehetnek. Egy első típusú átló az összes &tex;\displaystyle (i,j)&xet; mezőkből áll, amelyekre &tex;\displaystyle i+j&xet; egy adott konstans, egy második típusú átló pedig az összes &tex;\displaystyle (i,j)&xet; mezőkből áll, amelyekre &tex;\displaystyle i-j&xet; egy adott konstans.

 

3. Legyen &tex;\displaystyle P = A_1A_2 \dots A_k&xet; egy konvex sokszög a síkon. Az &tex;\displaystyle A_1&xet;, &tex;\displaystyle A_2&xet;, ..., &tex;\displaystyle A_k&xet; csúcsok koordinátái egész számok, és ezek a csúcsok egy körön fekszenek. Legyen &tex;\displaystyle S&xet; a &tex;\displaystyle P&xet; sokszög területe. Adott egy &tex;\displaystyle n&xet; páratlan pozitív egész szám, amire teljesül az, hogy a &tex;\displaystyle P&xet; sokszög minden oldalhosszának a négyzete egy &tex;\displaystyle n&xet;-nel osztható egész szám. Bizonyítsuk be, hogy &tex;\displaystyle 2S&xet; egy &tex;\displaystyle n&xet;-nel osztható egész szám.

 

Második nap

 

4. Pozitív egészek egy halmazát illatosnak nevezzük, ha legalább &tex;\displaystyle 2&xet; eleme van, és minden eleméhez található legalább egy olyan másik eleme, hogy a két elemnek van közös prímosztója. Legyen &tex;\displaystyle P(n) = n^2 + n + 1&xet;. Mi a legkisebb olyan pozitív egész &tex;\displaystyle b&xet; érték, amihez található egy nemnegatív &tex;\displaystyle a&xet; egész szám úgy, hogy a

&tex;\displaystyle \{P(a+1), P(a+2), \dots, P(a+b) \} &xet;

halmaz illatos?

 

5. Felírjuk a táblára az

&tex;\displaystyle (x-1)(x-2)\cdots(x-2016) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2016) &xet;

egyenletet, ahol mindkét oldalon 2016 lineáris faktor szerepel. Mi az a legkisebb pozitív &tex;\displaystyle k&xet; érték, amelyre teljesül az, hogy elhagyhatunk e közül a 4032 lineáris faktor közül pontosan &tex;\displaystyle k&xet; darabot úgy, hogy mindkét oldalon maradjon legalább egy lineáris faktor, és az adódó egyenletnek ne legyen valós gyöke?

 

6. Adott a síkon &tex;\displaystyle n \ge 2&xet; szakasz úgy, hogy bármely két szakasz keresztezi egymást, és semelyik három szakasznak sincsen közös pontja. Jeromosnak ki kell választania mindegyik szakasznak az egyik végpontját, és oda egy-egy békát elhelyezni úgy, hogy a béka a szakasz másik végpontja felé nézzen. Ezután Jeromos &tex;\displaystyle (n-1)&xet;-szer fog tapsolni. Mindegyik tapsolásra minden béka azonnal a szakaszon található következő metszéspontra ugrik. A békák az ugrásirányukat soha nem változtatják meg. Jeromos úgy szeretné elhelyezni a békákat, hogy soha ne legyen két béka azonos időben azonos metszésponton.

   (a) Bizonyítsuk be, hogy Jeromos ezt mindig meg tudja tenni, ha &tex;\displaystyle n&xet; páratlan.

   (b) Bizonyítsuk be, hogy Jeromos ezt soha nem tudja megtenni, ha &tex;\displaystyle n&xet; páros.

Előzmény: [331] Lpont, 2016-07-12 19:55:02
[331] Lpont2016-07-12 19:55:02

Megtaláltam :)

http://www.imo-official.org/problems.aspx

Előzmény: [330] Lpont, 2016-07-12 19:43:09
[330] Lpont2016-07-12 19:43:09

Feltenné valaki az idei IMO feladatok magyar szövegét?

Köszönöm.

[329] Lpont2016-06-16 10:28:10

Köszönöm, jó kis csapat :)

Előzmény: [328] Kós Géza, 2016-06-16 10:06:21
[328] Kós Géza2016-06-16 10:06:21

A hivatalos IMO oldalon nem könnyű megtalálni, de kint van itt.

Baran Zsuzsanna (Debrecen, Fazekas, 11. o.)

Gáspár Attila (Miskolc, Földes, 10. o.)

Lajkó Kálmán (Szeged, Radnóti, 11. o.)

Nagy Kartal (Bp. Fazekas, 12. o.)

Szabó Barnabás (Bp. Fazekas 12. o.)

Williams Kada (Szeged, Radnóti., 11.) o.

Tartalék: Bukva Balázs (Bp. Fazekas, 10. o.)

----------------

Úgy tudom, hogy a MEMO csapat:

Borbényi Márton (Kaposvár, Táncsics, 11. o.)

Bukva Balázs (Bp. Fazekas, 10. o.)

Hansel Soma (Szeged, Radnóti, 11. o.)

Imolay András (Bp. Fazekas, 10. o.)

Tóth Viktor (Kaposvár, Táncsics, 11. o.)

Váli Benedek (Szeged, Radnóti, 11. o.)

Előzmény: [327] Lpont, 2016-06-16 08:08:30

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]  

  Játékszabályok    Technikai információ    TeX tanfolyam    Elfelejtettem a jelszavam    Témák  

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley