A Kürschák példák szerintem igazán megérdemelnek egy saját témát. Az igaz, hogy pár megoldás már olvasható a Nehezebb matematikai problémák cím alatt, de a feladatok nem találhatóak sehol és ez kellemetlen azoknak, akik nem ismerik a példákat. A megoldásgyűjtögetést is jobb lenne itt folytatni...
A 2004. évi Kürschák József Matematikai Tanulóverseny feladatai
1. feladat:
Adott a síkban az ABC háromszög, melynek köréírt körét kívülről érinti a k kör. A k kör érinti egyúttal az AB és AC félegyeneseket is, mégpedig P és Q pontban. Mutassuk meg, hogy a PQ szakasz felezőpontja egybeesik az ABC háromszög BC oldalához hozzáírt körének középpontjával.
2. feladat:
Határozzuk meg a legkisebb olyan, 2004-től különböző, pozitív egész n számot, amelyhez létezik olyan egész együtthatós f(x) polinom, hogy az f(x)=2004 egyenletnek legalább egy, az f(x)=n egyenletnek pedig 2004 különböző egész megoldása van.
3. feladat:
Egy körvonal mentén néhány kék és piros pontot helyeztünk el. Ezekkel az alábbi műveleteket végezhetjük:
(a) valahova beillesztünk egy új piros pontot, és a két szomszédját ellentétes színűre változtatjuk.
(b) Ha legalább három pont van, és ezek közül legalább az egyik piros, akkor egy piros pontot törlünk, a két szomszédját pedig ellentétes színűre változtatjuk.
Kezdetben két kék pont van a kör kerületén, mindkettő kék. Elérhetjük-e a lépések többszöri alkalmazásával, hogy újra két pontunk legyen, de azok pirosak legyenek?
|