KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Játékszabályok
Technikai információk
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

 

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

hirdetés

Fórum - Kürschák-verseny

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]  

Ha a témához hozzá kíván szólni, először regisztrálnia kell magát.
[52] w2013-10-11 19:39:24

A 2013-as feladatok:

1. feladat. Legyen a és b két olyan pozitív valós szám, amelyekre 2ab=a-b teljesül. Tetszőleges pozitív egész k esetén jelöljük xk-val, illetve yk-val az ak-hoz, illetve bk-hoz legközelebbi egész számot; ha egy számhoz két legközelebbi egész szám is van, akkor válasszuk ezek közül a nagyobbikat. Igazoljuk, hogy bármely n pozitív egész szám akkor és csak akkor szerepel az x1,x2,... sorozatban, ha n legalább háromszor szerepel az y1,y2,... sorozatban.

2. feladat. Tegyük fel, hogy P1, P2 és P3 zárt, konvex sokszöglemezek rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy bárhogyan is választjuk az A\inP1, B\inP2, C\inP3 pontokat, az ABC háromszög területe legfeljebb egységnyi.

(a) Bizonyítsuk be, hogy a P1, P2 és P3 sokszöglemezek valamelyikének a területe 4-nél kisebb.

(b) Mutassuk meg, hogy megadhatók P1, P2 és P3 sokszöglemezek a fenti tulajdonsággal úgy, hogy P1-nek is és P2-nek is 4-nél nagyobb legyen a területe.

3. feladat. Igaz-e, hogy ha n\ge2 egész, és minden 1\lei<j\len párra adott egy \ellij nemnegatív valós szám, akkor léteznek olyan a1,a2,...,an nemnegatív valós számok, amelyek összege nem haladja meg az \ellij számok összegét, és |ai-aj|\ge\ellij teljesül minden 1\lei<j\len párra?

[51] w2013-01-23 19:00:59

Ahogy a téma elején is megtették, tudna valaki ide megoldásokat írni? Az is jó, ha behivatkoztok egy weboldalt, ahol megtaláljuk. (VersenyVizsgán megvan 2008-ig.)

[50] Kovács Balázs2012-12-12 16:56:40

Valaki el tudná küldeni bármelyik feladatnak a megoldását? Nagyon hálás lennék érte! Előre is köszönöm! bkovacs0130@gmail.com

[49] Vonka Vilmos Úr2012-10-12 18:11:29

Köszönöm!

Előzmény: [48] Hölder, 2012-10-12 17:09:20
[48] Hölder2012-10-12 17:09:20

1.Az ABC háromszög A-val, illetve B-vel szemközti hozzáírt körének középpontjait jelölje J(A), illetve J(B). Húzzuk meg a körülírt kör egy olyan PQ húrját, amely párhuzamos az AB oldallal, továbbá metszi az AC és BC oldalszakaszokat.Az AB és CP egyenesek metszéspontja legyen R.Bizonyítsuk be, hogy J(A)Q J(B)szög+J(A)RJ(B) szög=180 fok.

2.Jelölje E(n) az n pozitív egész szám 2-es számrendszerbeli felírásában az 1-esek számát. Nevezzünk egy n pozitív egész számot érdekesnek, ha n osztható E(n)-nel.Bizonyítsuk be, hogy a)nem lehet 5 egymás utáni pozitív egész szám mindegyike érdekes, továbbá, hogy b)végtelen sok olyan n pozitív egész szám van,amelyre az n, n+1 és n+2 számok mindegyike érdekes.

3.Tekintsünk n eseményt, amelyek mindegyikének valószínűsége 1/2, továbbá bármelyik kettő együttes bekövetkezésének valószínűsége 1/4. a) Igazoljuk,hogy annak a valószínűsége, hogy egyik sem következik be, legfeljebb 1/(n+1). b)Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan n természetes szám létezik, amelyre megadhatók az események oly módon, hogy pontosan 1/(n+1) legyen annak a valószínűsége, hogy egyik sem következik be.

Előzmény: [47] Vonka Vilmos Úr, 2012-10-12 09:33:10
[47] Vonka Vilmos Úr2012-10-12 09:33:10

Az idei feladatokat fel tudná tenni valaki? Köszönöm előre is!

[46] Csimby2010-10-23 22:47:18

Köszi :)

Előzmény: [45] Erben Péter, 2010-10-23 22:39:41
[45] Erben Péter2010-10-23 22:39:41

2010:

1. Adott n lezárt bőrönd és n kulcs úgy, hogy a bőröndök mindegyikét pontosan egy kulcs nyitja és mindegyik kulcs pontosan egy bőröndöt nyit. Célunk az, hogy az összes bőröndről megállapítsuk, melyik kulcs nyitja. Egy próbálkozás abból áll, hogy valamelyik kulccsal megpróbálunk kinyitni egy bőröndöt. Határozzuk meg azt a legkisebb p(n) számot, melyhez létezik olyan eljárás, hogy azt végrehajtva legfeljebb p(n) próbálkozás után bizonyosan ismerni fogjuk az n összetartozó bőrönd-kulcs párt.

2. Az ABC háromszög AB oldalának belsejében adottak a C1 és C2 pontok, a BC oldal belsejében az A1 és A2 pontok, végül a CA oldal belsejében a B1 és B2 pontok úgy, hogy AC1<AC2, BA1<BA2, és CB1<CB2 teljesül. Az AB1C1 és AB2C2 körök A-tól különböző metszéspontját jelölje A*, a BC1A1 és BC2A2 körök B-től különböző metszéspontja legyen B*, végül a CA1B1 és CA2B2 körök C-től különböző metszéspontját nevezzük C*-nak. Mutassuk meg, hogy az AA*, BB* és CC* egyenesek egy ponton mennek át.

3. Mely n és k pozitív egész számokra léteznek a1, a2,..., an, b1, b2,..., bk egész számok úgy, hogy az aibj szorzatok (1\lei\len, 1\lej\lek) páronként különböző maradékot adnak nk-val osztva?

Előzmény: [44] Csimby, 2010-10-15 16:43:15
[44] Csimby2010-10-15 16:43:15

Valaki fel tudná tenni az idei példákat?

[43] Erben Péter2009-10-11 21:29:50

2009:

1. Egy n×k-as táblázatba úgy írunk be egész számokat, hogy mind az n sorban szerepeljen 1-től k-ig minden egész szám. Jelöljük S-sel a kapott k oszlopösszeg legnagyobbikát. Minden n-re és k-ra adjuk meg S lehetséges legkisebb értékét!

2. Határozzuk meg azokat a pozitív egészekből álló (a,b) számpárokat, amelyekre igaz az alábbi állítás: a pozitív egészek halmaza felbontható két diszjunkt halmaz, H1 és H2 uniójára úgy, hogy sem a, sem b nem írható fel sem két H1-beli, sem két H2-beli szám különbségeként.

3. Határozzuk meg azokat az f függvényeket, amelyekre

(i) f az egész számok halmazán van értelmezve;

(ii) f(z) racionális szám minden z egész szám esetén;

(iii) ha f(x)<c<f(y) és c racionális, akkor f felveszi a c értéket; és

(iv) ha x,y,z egészek és összegük nulla, akkor f(x)+f(y)+f(z)=f(x)f(y)f(z) teljesül.

[42] MTM2009-04-07 19:28:27

1.feladat. Jelölje az n pozitív egész szám pozitív osztóinak számát d(n). Melyik az a legkisebb valós c érték, amellyel d(n)\le c\cdot \sqrt{n} teljesül minden pozitív egész számra?

2.feladat. Legyenek n\ge1 és a1<a2<...<an egészek. Biz. be, hogy azoknak az 1\lei<j\len pároknak a száma, amelyekre aj-ai kettőhatvány, legfeljebb akkora, mint azoknak az 1\lei<j\len pároknak a száma, amelyekre j-i kettőhatvány.

3.feladat. Egy országban a városok közötti közlekedés vonaton és busszal lehetséges. A vasúttársaság és a buszvállalat is bizonyos várospárok között közlekedtet járatokat, ám két város között nem feltétlenül jár mindkét irányba járat. Tudjuk, hogy bárhogyan is választunk ki két várost, el lehet jutni egy fajta közlekedési eszközön (esetleges átszállásokkal) az egyikből a másikba(de a másikból az egyikbe már nem feltétlenül). Biz. be, hogy van olyan város, amelyből bármely másik város elérhető egyféle közlekedési eszközzel úgy, hogy a különböző városokba jutás eszköze más-más lehet.

Előzmény: [37] rizsesz, 2009-03-16 13:27:29
[41] MTM2009-04-07 19:17:18

I.díj: Lovász László Miklós, II.díj: Nagy János.

Előzmény: [40] rizsesz, 2009-03-17 22:09:13
[40] rizsesz2009-03-17 22:09:13

Oké :) kik a díjazottak :)?

Előzmény: [39] rizsesz, 2009-03-16 13:55:20
[39] rizsesz2009-03-16 13:55:20

Sajnos nincsen olyanom, amúgy tudom. :)

Előzmény: [38] Euler, 2009-03-16 13:44:03
[38] Euler2009-03-16 13:44:03

A Kömal 2009/2 számában.

Előzmény: [37] rizsesz, 2009-03-16 13:27:29
[37] rizsesz2009-03-16 13:27:29

Sziasztok!

A 2008. évi verseny feladatai, illetve eredményei elérhetőek valahol?

[36] Maszat2007-11-13 21:01:48

Mikor lesz meg, hogy kit hívnak meg az eredményhirdetésre?

[35] Iván882006-10-15 21:24:47

Azt tudom, de kíváncsi voltam, hogy ez jó-e, sajnos nem :-(

Na mindegy

Előzmény: [34] kdano, 2006-10-15 10:47:04
[34] kdano2006-10-15 10:47:04

Ennek a feladatnak spec ott van a megoldása a GEOMETRIA topicban..

Előzmény: [33] BohnerGéza, 2006-10-14 23:44:06
[33] BohnerGéza2006-10-14 23:44:06

Sajnos nem jó, mivel az 1003 páratlan. Első gondolatom nekem is ez volt. De ekkor ez nem lehetne ezen a versenyen feladat. Két év múlva egyébként jó lenne a megoldás, aztán négyévente.

Ellenpélda: Legyenek Ai-vel, illetve megfelelően Bi-vel (i=1, 2, 1003) jelölve a két szabályos sokszög csúcsai. ekkor pl. az A1B2- höz (általában) nincs párhuzamos szakasz.

Előzmény: [32] Iván88, 2006-10-14 22:16:42
[32] Iván882006-10-14 22:16:42

Veszel két db szabályos 1003 szöget, úgy, hogy a két lap egymás eltolt képe, de nincsenek egy síkban. Ez nyilván megadható, és a feladatnak is eleget tesz szerintem. Ha nem jó, ekkor bocs...

Előzmény: [28] kdano, 2006-10-13 21:09:54
[31] kdano2006-10-14 21:58:54

De igen :P Bármely két elemének különbsége legalább t. Sorry for that :P

Előzmény: [30] psbalint, 2006-10-14 12:53:44
[30] psbalint2006-10-14 12:53:44

nem úgy volt, hogy "legalább t"? bocs ha rosszul emlékszem :)

[29] jonas2006-10-14 11:55:39

Ne haragudj, de a 2. feladatot nem értem. "Bármely két taguk különbsége t" mit akar jelenteni?

Előzmény: [28] kdano, 2006-10-13 21:09:54
[28] kdano2006-10-13 21:09:54

Sajnos a feladatok papírját elhagytam, így nem lesz szó szerinti a feladatok szövegezése, de remélem, attól még korrekt marad:

(1) (ahogy a szomszéd GEOMETRIA topicban is olvasható):

Létezik-e olyan 2006 pontból álló halmaz a térben, amelyre igaz, hogy:

a) Nincs minden pontja egy síkban

b) Semelyik három pont sincs egy egyenesen

c) Bármely A és B ponthoz található olyan (tőlük különböző) C és D pont, hogy AB egyenes párhuzamos CD egyenessel.

(2) Legyen a,t,n egész, 1\lea\len. Vegyük az {1,2,...,n} halmaz azon részhalmazait, amelyekre igaz, hogy bármely két taguk különbsége t. Bizonyítandó, hogy ezek közül az a-t nem tartalmazóak száma legfeljebb t2-szerese az a-t tartalmazók számának.

(3) Osszunk szét valahogy egy asztalt körbeülő n ember közt n-1 db kártyát. Ezek után egy lépésben egy olyan ember, akinek legalább 2 kártyája van, egy-egy kártyát ad a két szomszédjának. Bizonyítsuk be, hogy bármilyen sorrendben lépnek is, véget ér a folyamat (azaz n-1 embernél 1 kártya, egynél pedig egy se lesz)

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]  

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap