KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Játékszabályok
Aktuális feladatok
A verseny állása
Regisztráció

 

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

hirdetés

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 7, másik 24 egység. Milyen távol van egymástól a derékszögű csúcsból induló szögfelezőnek az átfogóra eső végpontja és a súlyvonalnak az átfogóra eső végpontja?
  (A) \approx5,685
  (B) \approx6,585
  (C) \approx6,855
  (D) \approx8,556
  (E) \approx8,655

Helyes válasz: c

Indoklás: A derékszögű háromszög átfogója Pitagorasz-tétele alapján \sqrt{49+576}=25 hosszú. Ezt az oldalt a súlyvonal végpontja felezi, azaz 12,5 - 12,5 hosszú részre bontja. A szögfelező ugyanezt a szakaszt a befogók arányában, azaz 7:24 arányban osztja. A rövidebb oldalhoz közelebbi osztásrész tehát \frac{7}{7+24}\cdot25\approx5,645. A két pont távolsága tehát az átfogó felének és a szögfelező által kimetszett rövidebb szakasz hosszának különbsége, azaz 12,5-5,645=6,855.


2. feladat. Mennyi b+c értéke, ha

x3-ax2+bx-c=(x-a)(x-b)(x-c)

azonosság?
  (A) 0
  (B) 1
  (C) 2
  (D) 3
  (E) végtelen sok értéket vehet fel

Helyes válasz: a

Indoklás: A kívánt azonosság akkor és csak akkor teljesül, ha a jobb oldalon beszorozva és x hatványai szerint rendezve x ugyanazon kitevős hatványainak együtthatói a két oldalon egyenlők:

(1)-a=-a-b-c,
(2)b=ab+ac+bc=a(b+c)+bc,
(3)-c=-abc.

(1)-ből b+c=0, ezt (2)-ba helyettesítve, majd 0-ra redukálva

b(1-c)=0.

Ez kétféleképpen teljesülhet:

I. ha b=0, akkor (1)-ből c=0, és így (3) is teljesül, bármi is az a együttható;

II. ha 1-c=0, azaz c=1, akkor (1)-ből b=-1, (3)-ból pedig a=-1.

b+c értéke mindkét esetben 0.


3. feladat. Egy egység sugarú körben húzzunk meg egy átmérőt és a keletkezett egyik félkör felezőpontját kössük össze a másik félkör két harmadoló pontjával. A harmadolópontok, az átmérő, valamint a két imént meghúzott egyenes egy négyszöget határol. Mekkora ennek a négyszögnek a területe?
  (A) \approx0,333
  (B) \approx0,665
  (C) \approx1,330
  (D) \approx1,152
  (E) \approx2,304

Helyes válasz: b

Indoklás: Legyen a kör középpontja O, az átmérő végpontjai A és B, az egyik félkör felezőpontja C, a másik félkör harmadoló pontjai D és E, végül legyen a CD, CE egyenesek AB-n levő pontja F és G. Az ODE háromszög szabályos, és oldalai egységnyiek, ugyancsak egységnyi a CFG háromszög CO magassága. A CDE és CFG háromszögek hasonlósága miatt a DE, FG oldalak aránya megegyezik e háromszögek magasságainak az arányával:

DE:FG=\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right):1,

FG=\frac{DE}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{2+\sqrt{3}}.

A keletkezett trapéz magassága megegyezik az ODE háromszög magasságával, vagyis \frac{\sqrt3}{2}, így tehát a trapéz területe

t=\frac{(FG+DE)\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{2}{2+\sqrt3}+1\right)\cdot\frac{\sqrt3}{2}\approx0,665.


4. feladat. Marcsi beledobott egy kosárba valahány piros és kék labdát, amelyeknek legalább 90%-a piros. Jenő találomra kivett 50 golyót, közöttük 49 piros volt. Nándi megnézte a kosárban maradt labdákat, és megállapította, hogy azok 7/8 része piros. Legfeljebb hány labda lehetett a kosárban?
  (A) 130
  (B) 170
  (C) 210
  (D) 250
  (E) 290

Helyes válasz: c

Indoklás: Az 50 labda kivétele után a kosárban maradt labdák számát jelölje 8x. Nándi állítása alapján

\frac{49+7x}{50+8x}\geq0,9.

Ezt átalakítva:

49+7x\geq0,9.50+0,9.8x,

49+7x\geq45+7,2x,

4\geq0,2x,

160\geq8x,

210\geq8x+50.

Tehát legfeljebb 210 labda lehetett a kosárban.


5. feladat. Hány megoldása van az

|x+1|.|x-2|.|x+3|.|x-4|=|x-1|.|x+2|.|x-3|.|x+4|.

egyenletnek?
  (A) 4
  (B) 5
  (C) 6
  (D) 7
  (E) 8

Helyes válasz: d

Indoklás: Szorzat abszolút értéke egyenlő a tényezőinek abszolút értékéből képezett szorzattal, és fordítva, tehát az

(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)=x4-2x3-13x2+14x+24 és

(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)=x4+2x3-13x2-14x+24

szorzatok abszolút értéke egyenlő. Ez kétféleképpen teljesülhet: a két szorzat egyenlő, és így a különbségük 0, vagy egymás negatívja, ezért az összegük 0.

Az első esetben

4x^3-28x=4x(x^2-7)=0,~ x_1=0,\quad x_{2,3}=\pm\sqrt7.

A második esetben

2x^4-26x^2+48=0,\quad x_{4,5}&=\pm\sqrt{6{,}5+\sqrt{18{,}25}},

x_{6,7}&=\pm\sqrt{6{,}5-\sqrt{18{,}25}}.

Ez összesen 7 megoldás.

Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap