Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 7, másik 24 egység. Milyen távol van egymástól a derékszögű csúcsból induló szögfelezőnek az átfogóra eső végpontja és a súlyvonalnak az átfogóra eső végpontja?
  (A) 5,685
  (B) 6,585
  (C) 6,855
  (D) 8,556
  (E) 8,655

Helyes válasz: c

Indoklás: A derékszögű háromszög átfogója Pitagorasz-tétele alapján hosszú. Ezt az oldalt a súlyvonal végpontja felezi, azaz 12,5 - 12,5 hosszú részre bontja. A szögfelező ugyanezt a szakaszt a befogók arányában, azaz 7:24 arányban osztja. A rövidebb oldalhoz közelebbi osztásrész tehát . A két pont távolsága tehát az átfogó felének és a szögfelező által kimetszett rövidebb szakasz hosszának különbsége, azaz 12,5-5,645=6,855.

2. feladat. Mennyi b+c értéke, ha

x³-ax²+bx-c=(x-a)(x-b)(x-c)

azonosság?
  (A) 0
  (B) 1
  (C) 2
  (D) 3
  (E) végtelen sok értéket vehet fel

Helyes válasz: a

Indoklás: A kívánt azonosság akkor és csak akkor teljesül, ha a jobb oldalon beszorozva és x hatványai szerint rendezve x ugyanazon kitevős hatványainak együtthatói a két oldalon egyenlők:

(1)-ből b+c=0, ezt (2)-ba helyettesítve, majd 0-ra redukálva

b(1-c)=0.

Ez kétféleképpen teljesülhet:

I. ha b=0, akkor (1)-ből c=0, és így (3) is teljesül, bármi is az a együttható;

II. ha 1-c=0, azaz c=1, akkor (1)-ből b=-1, (3)-ból pedig a=-1.

b+c értéke mindkét esetben 0.

3. feladat. Egy egység sugarú körben húzzunk meg egy átmérőt és a keletkezett egyik félkör felezőpontját kössük össze a másik félkör két harmadoló pontjával. A harmadolópontok, az átmérő, valamint a két imént meghúzott egyenes egy négyszöget határol. Mekkora ennek a négyszögnek a területe?
  (A) 0,333
  (B) 0,665
  (C) 1,330
  (D) 1,152
  (E) 2,304

Helyes válasz: b

Indoklás: Legyen a kör középpontja O, az átmérő végpontjai A és B, az egyik félkör felezőpontja C, a másik félkör harmadoló pontjai D és E, végül legyen a CD, CE egyenesek AB-n levő pontja F és G. Az ODE háromszög szabályos, és oldalai egységnyiek, ugyancsak egységnyi a CFG háromszög CO magassága. A CDE és CFG háromszögek hasonlósága miatt a DE, FG oldalak aránya megegyezik e háromszögek magasságainak az arányával:

A keletkezett trapéz magassága megegyezik az ODE háromszög magasságával, vagyis , így tehát a trapéz területe

4. feladat. Marcsi beledobott egy kosárba valahány piros és kék labdát, amelyeknek legalább 90%-a piros. Jenő találomra kivett 50 golyót, közöttük 49 piros volt. Nándi megnézte a kosárban maradt labdákat, és megállapította, hogy azok 7/8 része piros. Legfeljebb hány labda lehetett a kosárban?
  (A) 130
  (B) 170
  (C) 210
  (D) 250
  (E) 290

Helyes válasz: c

Indoklás: Az 50 labda kivétele után a kosárban maradt labdák számát jelölje 8x. Nándi állítása alapján

Ezt átalakítva:

49+7x0,9^.50+0,9^.8x,

49+7x45+7,2x,

40,2x,

1608x,

2108x+50.

Tehát legfeljebb 210 labda lehetett a kosárban.

5. feladat. Hány megoldása van az

|x+1|^.|x-2|^.|x+3|^.|x-4|=|x-1|^.|x+2|^.|x-3|^.|x+4|.

egyenletnek?
  (A) 4
  (B) 5
  (C) 6
  (D) 7
  (E) 8

Helyes válasz: d

Indoklás: Szorzat abszolút értéke egyenlő a tényezőinek abszolút értékéből képezett szorzattal, és fordítva, tehát az

(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)=x⁴-2x³-13x²+14x+24 és

(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)=x⁴+2x³-13x²-14x+24

szorzatok abszolút értéke egyenlő. Ez kétféleképpen teljesülhet: a két szorzat egyenlő, és így a különbségük 0, vagy egymás negatívja, ezért az összegük 0.

Az első esetben

A második esetben

Ez összesen 7 megoldás.