KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Játékszabályok
Aktuális feladatok
A verseny állása
Regisztráció

 

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

hirdetés

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. Egy tehergépjárműnek mind a négy kerekére új gumiabroncsot szereltek. Egy abroncsot akkor tekintenek elkopottnak, ha a hátsó keréken 15 000 km-t, vagy az első keréken 25 000 km-t futott. Mennyit futhat a kocsi a négy abroncs teljes elkopásáig, ha alkalmas időben az első abroncspárt felcserélik a hátsó párral?

(Feltehetjük, hogy állandóan átlagos minőségű úton járunk, azaz a kopás egyenesen arányos a megtett úttal.)
  (A) 17 500 km
  (B) 17 750 km
  (C) 18 750 km
  (D) 19 120 km
  (E) 19 500 km

Helyes válasz: C

Indoklás: Tekintsük az abroncsok állapotát pl. 1000 km megtétele után. A hátsó abroncsok \frac{1}{15}-öd részükben, az elsők \frac{1}{25}-öd részükben koptak el. Ha most megcseréljük őket, akkor újabb 1000 km után mind a négy egyformán 1/15+1/25=8/75-öd részben tekinthető kopottnak. Az abroncsok annyiszor többet futhatnak 2000 km-nél, ahányszor nagyobb a teljes elkopáshoz tartozó arányszám - azaz 1 - az eddig bekövetkezett 8/75 arányszámnál. Tehát a tehergépkocsi 2000 \cdot \frac{75}{8} = 18 750 km utat tehet meg a gumik elkopásáig, ennek felét az eredeti elrendezésben, másik felét megcserélt abroncsokkal.


2. feladat. Egy hatjegyű négyzetszámot három kétjegyű számra vágtunk szét úgy, hogy a két szélső kétjegyű szám egyenlő, a középső pedig fele ezek egyikének. Mennyi e hatjegyű számban a számjegyek összege?
  (A) 15
  (B) 24
  (C) 37
  (D) 46
  (E) 51

Helyes válasz: C

Indoklás: Legyen a kérdéses négyzetszám n2, és jelöljük a középső két jegyéből alkotott számot x-szel. Így a két szélső kétjegyű szám 2x, ezért 10\leq2x<100 és 5\leqx<50. Másrészt n2=2x.104+x.102+2x=20102x=2.19.232.x. Négyzetszám lévén n2 törzsszámtényezős felbontásában a prímek hatványai párosak, ezért x-ben a 2 és 19 páratlanadik hatványon szerepel, minden más párosadikon, azaz x\geq2.19, de ennél nem lehet nagyobb, hiszen akkor már legalább 76 lenne, viszont tudjuk, hogy x<50. Tehát a keresett négyzetszám 763 876, amelyben a számjegyösszeg 37.


3. feladat. Adva van hét valós szám. Bármelyik négyet kiválasztva összegük nagyobb a másik három összegénél. Legfeljebb hány szám lehet negatív ebből a hétből?
  (A) 0
  (B) 1
  (C) 2
  (D) 3
  (E) 7

Helyes válasz: A

Indoklás: Legyen a hét szám nem csökkenő sorrendbe rendezve a_1 \leq a_2
\leq \ldots \leq a_7. Így nyilván a2+a3+a4\leqa5+a6+a7. Tegyük fel, hogy a1 negatív. Ekkor az utóbbi egyenlőtlenség bal oldalához adva a bal oldal csak csökkenne, tehát érvényben maradna a reláció, a feladat kikötésével ellentétben. Tehát a1 nem lehet negatív (még 0 sem). Az összes többi szám pedig nagyobb nála, tehát mindegyik pozitív.


4. feladat. Az ABC háromszögben AB=AC>BC. A B csúcs körül kört írunk BC sugárral, ez az AC szárat a (C-től különböző) D pontban, a BA szakaszt pedig az E pontban metszi. Ugyanekkora sugárral D körül is kört írunk, ez az AB szárat ugyancsak E-ben, az AC szárat F1-ben, a szár meghosszabbítását pedig F2-ben metszi. Mekkora a BF2E szög?
  (A) 15°
  (B) 22°
  (C) 28°
  (D) 30°
  (E) 45°

Helyes válasz: D

Indoklás: Az első kör alapján BE=BD, a második kör alapján ugyanekkora a DE szakasz is, tehát a BDE háromszög egyenlő oldalú, azaz BDE\angle=60°. A keresett szög a BE íven nyugvó kerületi szög, tehát fele akkora, mint az ehhez az ívhez tartozó középponti szög, így nagysága 30°.


5. feladat. 109 személy megajándékozásának céljából 109 darab könyvet vásároltak 2845 forint értékben. A könyvek ára között csak háromféle érték fordult elő: 34 Ft, 27,50 Ft és 17,50 Ft. Állapítsuk meg, hány könyv tartozott a legolcsóbb csoportba, tudva azt is, hogy az egyenlő árú könyvek darabszámai nem sokban különböztek egymástól (két példányszám között legfeljebb 20 lehet az eltérés).
  (A) 32 darab
  (B) 38 darab
  (C) 42 darab
  (D) 43 darab
  (E) 46 darab

Helyes válasz: B

Indoklás: Legyen a 34 Ft-os könyvek száma x, a 17,50 Ft-osoké y, valamint a 27,50 Ft-osoké 109-x-y. Ezek szerint

34x+17,5y+27,5(109-x-y)=2845,

6,5x-10y=-152,5,

azaz x =
\frac{20y-305}{13} = y-23+ \frac{7y-6}{13}. Mivel x és y természetes számok, ezért a jobb oldal 3. tagja egy u természetes szám: u = \frac{7y-6}{13}, amiből y = \frac{13u + 6}{7} = 2u + 1
- \frac{u+1}{7}, és ezt a meggondolást ismételve \frac{u+1}{7} =
v egész szám, amiből u=7v-1. Továbbá y=2u+1-v=13v-1, x=y-23+u=20v-25 és a 27,50 forintos könyvek száma z=135-33v.

x-re csak akkor kapunk pozitív számot, ha v-t legalább 2-nek választjuk, z pedig csak akkor pozitív, ha v\leq4, azaz v csak 2,3 vagy 4 lehet.

v=2 esetén x=15, y=25, z=69

v=3 esetén x=35, y=38, z=36

v=4 esetén x=55, y=51, z=3

A feladat kikötése miatt csak a v=3-ból adódó értékek felelnek meg, tehát a 17,50 Ft-os könyvekből 38 darabot vettek.

Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap