Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

Hírek, hirdetések Játekszabályok Az aktuális feladatok Eredmények A korábbi feladatok Regisztráció

Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. Egy tehergépjárműnek mind a négy kerekére új gumiabroncsot szereltek. Egy abroncsot akkor tekintenek elkopottnak, ha a hátsó keréken 15 000 km-t, vagy az első keréken 25 000 km-t futott. Mennyit futhat a kocsi a négy abroncs teljes elkopásáig, ha alkalmas időben az első abroncspárt felcserélik a hátsó párral?

(Feltehetjük, hogy állandóan átlagos minőségű úton járunk, azaz a kopás egyenesen arányos a megtett úttal.)
  (A) 17 500 km
  (B) 17 750 km
  (C) 18 750 km
  (D) 19 120 km
  (E) 19 500 km

Helyes válasz: C

Indoklás: Tekintsük az abroncsok állapotát pl. 1000 km megtétele után. A hátsó abroncsok $\frac{1}{15}$ -öd részükben, az elsők $\frac{1}{25}$ -öd részükben koptak el. Ha most megcseréljük őket, akkor újabb 1000 km után mind a négy egyformán 1/15+1/25=8/75-öd részben tekinthető kopottnak. Az abroncsok annyiszor többet futhatnak 2000 km-nél, ahányszor nagyobb a teljes elkopáshoz tartozó arányszám - azaz 1 - az eddig bekövetkezett 8/75 arányszámnál. Tehát a tehergépkocsi $2000 \cdot \frac{75}{8} = 18 750$ km utat tehet meg a gumik elkopásáig, ennek felét az eredeti elrendezésben, másik felét megcserélt abroncsokkal.

2. feladat. Egy hatjegyű négyzetszámot három kétjegyű számra vágtunk szét úgy, hogy a két szélső kétjegyű szám egyenlő, a középső pedig fele ezek egyikének. Mennyi e hatjegyű számban a számjegyek összege?
  (A) 15
  (B) 24
  (C) 37
  (D) 46
  (E) 51

Helyes válasz: C

Indoklás: Legyen a kérdéses négyzetszám n², és jelöljük a középső két jegyéből alkotott számot x-szel. Így a két szélső kétjegyű szám 2x, ezért 10 $\leq$ 2x<100 és 5 $\leq$ x<50. Másrészt n²=2x^.10⁴+x^.10²+2x=20102x=2^.19^.23²^.x. Négyzetszám lévén n² törzsszámtényezős felbontásában a prímek hatványai párosak, ezért x-ben a 2 és 19 páratlanadik hatványon szerepel, minden más párosadikon, azaz x $\geq$ 2^.19, de ennél nem lehet nagyobb, hiszen akkor már legalább 76 lenne, viszont tudjuk, hogy x<50. Tehát a keresett négyzetszám 763 876, amelyben a számjegyösszeg 37.

3. feladat. Adva van hét valós szám. Bármelyik négyet kiválasztva összegük nagyobb a másik három összegénél. Legfeljebb hány szám lehet negatív ebből a hétből?
  (A) 0
  (B) 1
  (C) 2
  (D) 3
  (E) 7

Helyes válasz: A

Indoklás: Legyen a hét szám nem csökkenő sorrendbe rendezve $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_7$ . Így nyilván a₂+a₃+a₄ $\leq$ a₅+a₆+a₇. Tegyük fel, hogy a₁ negatív. Ekkor az utóbbi egyenlőtlenség bal oldalához adva a bal oldal csak csökkenne, tehát érvényben maradna a reláció, a feladat kikötésével ellentétben. Tehát a₁ nem lehet negatív (még 0 sem). Az összes többi szám pedig nagyobb nála, tehát mindegyik pozitív.

4. feladat. Az ABC háromszögben AB=AC>BC. A B csúcs körül kört írunk BC sugárral, ez az AC szárat a (C-től különböző) D pontban, a BA szakaszt pedig az E pontban metszi. Ugyanekkora sugárral D körül is kört írunk, ez az AB szárat ugyancsak E-ben, az AC szárat F₁-ben, a szár meghosszabbítását pedig F₂-ben metszi. Mekkora a BF₂E szög?
  (A) 15°
  (B) 22°
  (C) 28°
  (D) 30°
  (E) 45°

Helyes válasz: D

Indoklás: Az első kör alapján BE=BD, a második kör alapján ugyanekkora a DE szakasz is, tehát a BDE háromszög egyenlő oldalú, azaz BDE $\angle$ =60°. A keresett szög a BE íven nyugvó kerületi szög, tehát fele akkora, mint az ehhez az ívhez tartozó középponti szög, így nagysága 30°.

5. feladat. 109 személy megajándékozásának céljából 109 darab könyvet vásároltak 2845 forint értékben. A könyvek ára között csak háromféle érték fordult elő: 34 Ft, 27,50 Ft és 17,50 Ft. Állapítsuk meg, hány könyv tartozott a legolcsóbb csoportba, tudva azt is, hogy az egyenlő árú könyvek darabszámai nem sokban különböztek egymástól (két példányszám között legfeljebb 20 lehet az eltérés).
  (A) 32 darab
  (B) 38 darab
  (C) 42 darab
  (D) 43 darab
  (E) 46 darab

Helyes válasz: B

Indoklás: Legyen a 34 Ft-os könyvek száma x, a 17,50 Ft-osoké y, valamint a 27,50 Ft-osoké 109-x-y. Ezek szerint

34x+17,5y+27,5(109-x-y)=2845,

6,5x-10y=-152,5,

azaz $x = \frac{20y-305}{13} = y-23+ \frac{7y-6}{13}$ . Mivel x és y természetes számok, ezért a jobb oldal 3. tagja egy u természetes szám: $u = \frac{7y-6}{13}$ , amiből $y = \frac{13u + 6}{7} = 2u + 1 - \frac{u+1}{7}$ , és ezt a meggondolást ismételve $\frac{u+1}{7} = v$ egész szám, amiből u=7v-1. Továbbá y=2u+1-v=13v-1, x=y-23+u=20v-25 és a 27,50 forintos könyvek száma z=135-33v.

x-re csak akkor kapunk pozitív számot, ha v-t legalább 2-nek választjuk, z pedig csak akkor pozitív, ha v $\leq$ 4, azaz v csak 2,3 vagy 4 lehet.

v=2 esetén x=15, y=25, z=69

v=3 esetén x=35, y=38, z=36

v=4 esetén x=55, y=51, z=3

A feladat kikötése miatt csak a v=3-ból adódó értékek felelnek meg, tehát a 17,50 Ft-os könyvekből 38 darabot vettek.

Támogatóink:

ELTE