Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. Legkevesebb hány egyenes vágással lehet egy 5×5-ös négyzetet egységnyi élhosszúságú négyzetekre darabolni, ha az egyes vágások után kapott részeket tetszőlegesen elrendezhetjük az újabb vágás előtt, azaz így egyszerre többüket is kettévághatjuk?
  (A) 5
  (B) 6
  (C) 7
  (D) 8
  (E) 9

Helyes válasz: B

Indoklás: Azt fogjuk megmutatni, hogy 6 vágásra legalább szükség van. Az persze könnyen látható, hogy ennyi elegendő: Ha kiegészítjük a négyzetet 8×8-asra, akkor ezt 3 függőleges vágással - minden egyes lépésben felezve az addig kapott valamennyi részt - 8 darab 8×1-es csíkra szeleteljük, majd ezeket egymásra helyezve vízszintesen megismételjük az eljárást.

Belátjuk, hogy 5 vágással nem érhetünk célt (annak ellenére, hogy így 2⁵=32 részre vágható a négyzet, persze nem a kívánt módon). Két tetszőleges vágást követően 3 vagy 4 rész keletkezik. Az előbbi esetben a kapott részek egyike 8-nál nagyobb területű - hiszen 8^.3<25 -, és ezt a részt három további vágással legfeljebb 2³=8 részre bonthatjuk, így biztosan marad egy olyan, amelynek a területe 1-nél nagyobb. Ha 4 részt kapunk az első két vágás során, akkor ezek között ismét lesz olyan, amelyiknek a területe legalább 9. Az első vágás után ugyanis a négyzet (két szembenlévő) oldala épen marad, a másik (kettő) pedig két részre esik szét, melyek közül a nagyobbik hossza legalább 3. Egy 3×5-ös téglalapot pedig bármelyik oldalával párhuzamosan osztunk is fel két egész oldalú részre, e részek közül legalább az egyiknek legalább 9 a területe. Tehát 5 vágás valóban nem elegendő.

2. feladat. Hányféleképpen tölthető ki egy ötöslottószelvény úgy, hogy a megjelölt 5 szám összege legalább 228 legyen?
  (A) 19 300 385
  (B) 20 274 456
  (C) 20 803 510
  (D) 21 974 634
  (E) 23 153 266

Helyes válasz: D

Indoklás: Nevezzük egy a szám tükörképének azt a b számot, amelyre a+b=91, egy lehetséges lottókitöltés tükörképének pedig a megjelölt 5 szám tükörképeiből álló számötöst. Mivel bármely lottószám tükörképe is lottószám (90-nél nem nagyobb pozitív egész), különböző számok tükörképei különbözők, ezért minden lottókitöltés tükörképe is lottókitöltés.

Egy kitöltés és a tükörképe biztosan különbözők, hiszen a bennük megjelölt számok összege 5^.91=455=2^.227+1, ami páratlan szám. Ebből az is látszik, hogy egy kitöltés és a tükörképe közül pontosan az egyikben lesz 227-nél nagyobb a számok összege. A tükörkép szerinti párbaállítás tehát két egyenlő elemszámú csoportra osztja a lehetséges darab lottókitöltést úgy, hogy az egyik csoportban minden tagban (lottókitöltés) a számok összege legalább 228, a másikban pedig legfeljebb 227. Így az előírt módon -féleképpen tölthető ki egy lottószelvény.

3. feladat. Legyen adott egy egységnyi területű ABCD konvex négyszög. Tükrözzük az A csúcsot B-re, a B-t C-re, a C-t D-re, a D-t pedig A-ra. Mekkora a tükörpontok által meghatározott négyszög területe?
  (A) 3,5
  (B) 4
  (C) 4,5
  (D) 5
  (E) 6

Helyes válasz: D

Indoklás: Jelöljük a tükörképeket rendre A',B',C',D'-vel. Az eredeti ABCD négyszög konvexitásából következik, hogy A'B'C'D' négyszög is konvex, és tartalmazza ABCD-t. Az ábrán látható módon osszuk részekre A',B',C',D'-t.

Az AB szakasz súlyvonal a DBD' háromszögben, ezért annak területét két egyenlő részre osztja, azaz T_ABD=T_ABD'. D'B súlyvonal az AA'D' háromszögben, ezért T_ABD'=T_A'BD', így T_AA'D'=2^.T_ABD. Hasonlóan belátható még, hogy T_BB'A'=2^.T_ABC, T_CB'C'=2^.T_CDB és T_DC'D'=2^.T_CDA. Ezeket felhasználva

T_A'B'C'D'=T_AA'D'+T_BB'A'+T_CB'C'+T_DC'D'+T_ABCD=2(T_ABD+T_ABC+T_CDB+T_CDA)+T_ABCD=

=2(T_ABCD+T_ABCD)+T_ABCD=5^.T_ABCD.

Tehát A'B'C'D' 5 egység területű.

4. feladat. Legalább hány csoportba kell beosztanunk az első 100 pozitív egész számot ahhoz, hogy egyetlen csoportban se legyen két olyan szám, amelyek egyike többszöröse a másiknak?
  (A) 7
  (B) 8
  (C) 10
  (D) 11
  (E) 12

Helyes válasz: A

Indoklás: Két 2-hatvány közül a kisebbik osztója a nagyobbiknak, ezért a 7 darab 100-nál kisebb 2-hatvány közül semelyik kettő nem kerülhet azonos csoportba. Ez tehát azt jelenti, hogy 7 csoportra biztosan szükség van. Ennyi viszont elegendő is, ugyanis 2^k csoportjába azon n számok kerüljenek, amelyekre 2^kn<2^k+1, ahol 0k6. Két ilyen szám hányadosa ugyanis - a nagyobbikat osztva a kisebbel - 1 és 2 között van, így nem lehet egész.

5. feladat. Adott egy egyenes, és tőle 1 cm távolságra egy pont. Mekkora annak a kockának a térfogata, amelynek a pont az egyik csúcsa, az egyenes pedig az egyik testátlója?
  (A) 
  (B) 
  (C) 
  (D) 
  (E) 

Helyes válasz: E

Indoklás: A kocka bármelyik testátlójának végpontjait a kocka másik 6 csúcsával egy-egy él köti össze. A testátló és az egyik végpontjából kiinduló él által meghatározott sík a kockát egy téglalapban metszi. Ezért feltehetjük, hogy a pont az ábrán látható D pont, az egyenes pedig a HB egyenes. A kocka élhosszát a-val jelölve , . A BDH derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága éppen a D pontnak a HB egyenestől való távolsága, azaz 1 cm. A DBH háromszög területét kétféleképpen felírva , azaz . Ebből kapjuk, hogy , tehát a kocka térfogata .