KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Játékszabályok
Aktuális feladatok
A verseny állása
Regisztráció

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. Legkevesebb hány egyenes vágással lehet egy 5×5-ös négyzetet egységnyi élhosszúságú négyzetekre darabolni, ha az egyes vágások után kapott részeket tetszőlegesen elrendezhetjük az újabb vágás előtt, azaz így egyszerre többüket is kettévághatjuk?
  (A) 5
  (B) 6
  (C) 7
  (D) 8
  (E) 9

Helyes válasz: B

Indoklás: Azt fogjuk megmutatni, hogy 6 vágásra legalább szükség van. Az persze könnyen látható, hogy ennyi elegendő: Ha kiegészítjük a négyzetet 8×8-asra, akkor ezt 3 függőleges vágással - minden egyes lépésben felezve az addig kapott valamennyi részt - 8 darab 8×1-es csíkra szeleteljük, majd ezeket egymásra helyezve vízszintesen megismételjük az eljárást.

Belátjuk, hogy 5 vágással nem érhetünk célt (annak ellenére, hogy így 25=32 részre vágható a négyzet, persze nem a kívánt módon). Két tetszőleges vágást követően 3 vagy 4 rész keletkezik. Az előbbi esetben a kapott részek egyike 8-nál nagyobb területű - hiszen 8.3<25 -, és ezt a részt három további vágással legfeljebb 23=8 részre bonthatjuk, így biztosan marad egy olyan, amelynek a területe 1-nél nagyobb. Ha 4 részt kapunk az első két vágás során, akkor ezek között ismét lesz olyan, amelyiknek a területe legalább 9. Az első vágás után ugyanis a négyzet (két szembenlévő) oldala épen marad, a másik (kettő) pedig két részre esik szét, melyek közül a nagyobbik hossza legalább 3. Egy 3×5-ös téglalapot pedig bármelyik oldalával párhuzamosan osztunk is fel két egész oldalú részre, e részek közül legalább az egyiknek legalább 9 a területe. Tehát 5 vágás valóban nem elegendő.


2. feladat. Hányféleképpen tölthető ki egy ötöslottószelvény úgy, hogy a megjelölt 5 szám összege legalább 228 legyen?
  (A) 19 300 385
  (B) 20 274 456
  (C) 20 803 510
  (D) 21 974 634
  (E) 23 153 266

Helyes válasz: D

Indoklás: Nevezzük egy a szám tükörképének azt a b számot, amelyre a+b=91, egy lehetséges lottókitöltés tükörképének pedig a megjelölt 5 szám tükörképeiből álló számötöst. Mivel bármely lottószám tükörképe is lottószám (90-nél nem nagyobb pozitív egész), különböző számok tükörképei különbözők, ezért minden lottókitöltés tükörképe is lottókitöltés.

Egy kitöltés és a tükörképe biztosan különbözők, hiszen a bennük megjelölt számok összege 5.91=455=2.227+1, ami páratlan szám. Ebből az is látszik, hogy egy kitöltés és a tükörképe közül pontosan az egyikben lesz 227-nél nagyobb a számok összege. A tükörkép szerinti párbaállítás tehát két egyenlő elemszámú csoportra osztja a lehetséges \binom{90}{5} darab lottókitöltést úgy, hogy az egyik csoportban minden tagban (lottókitöltés) a számok összege legalább 228, a másikban pedig legfeljebb 227. Így az előírt módon \frac12 \cdot \binom{90}{5} = 21 974 634-féleképpen tölthető ki egy lottószelvény.


3. feladat. Legyen adott egy egységnyi területű ABCD konvex négyszög. Tükrözzük az A csúcsot B-re, a B-t C-re, a C-t D-re, a D-t pedig A-ra. Mekkora a tükörpontok által meghatározott négyszög területe?
  (A) 3,5
  (B) 4
  (C) 4,5
  (D) 5
  (E) 6

Helyes válasz: D

Indoklás: Jelöljük a tükörképeket rendre A',B',C',D'-vel. Az eredeti ABCD négyszög konvexitásából következik, hogy A'B'C'D' négyszög is konvex, és tartalmazza ABCD-t. Az ábrán látható módon osszuk részekre A',B',C',D'-t.

Az AB szakasz súlyvonal a DBD' háromszögben, ezért annak területét két egyenlő részre osztja, azaz TABD=TABD'. D'B súlyvonal az AA'D' háromszögben, ezért TABD'=TA'BD', így TAA'D'=2.TABD. Hasonlóan belátható még, hogy TBB'A'=2.TABC, TCB'C'=2.TCDB és TDC'D'=2.TCDA. Ezeket felhasználva

TA'B'C'D'=TAA'D'+TBB'A'+TCB'C'+TDC'D'+TABCD=2(TABD+TABC+TCDB+TCDA)+TABCD=

=2(TABCD+TABCD)+TABCD=5.TABCD.

Tehát A'B'C'D' 5 egység területű.


4. feladat. Legalább hány csoportba kell beosztanunk az első 100 pozitív egész számot ahhoz, hogy egyetlen csoportban se legyen két olyan szám, amelyek egyike többszöröse a másiknak?
  (A) 7
  (B) 8
  (C) 10
  (D) 11
  (E) 12

Helyes válasz: A

Indoklás: Két 2-hatvány közül a kisebbik osztója a nagyobbiknak, ezért a 7 darab 100-nál kisebb 2-hatvány (2^0 , 2^1, \ldots , 2^6) közül semelyik kettő nem kerülhet azonos csoportba. Ez tehát azt jelenti, hogy 7 csoportra biztosan szükség van. Ennyi viszont elegendő is, ugyanis 2k csoportjába azon n számok kerüljenek, amelyekre 2k\leqn<2k+1, ahol 0\leqk\leq6. Két ilyen szám hányadosa ugyanis - a nagyobbikat osztva a kisebbel - 1 és 2 között van, így nem lehet egész.


5. feladat. Adott egy egyenes, és tőle 1 cm távolságra egy pont. Mekkora annak a kockának a térfogata, amelynek a pont az egyik csúcsa, az egyenes pedig az egyik testátlója?
  (A) \frac{4\sqrt6}{3} ~cm^3
  (B) 2\sqrt3 ~cm^3
  (C) \frac{3\sqrt6}{2} ~cm^3
  (D) \sqrt6 ~cm^3
  (E) \frac{3\sqrt6}{4} ~cm^3

Helyes válasz: E

Indoklás: A kocka bármelyik testátlójának végpontjait a kocka másik 6 csúcsával egy-egy él köti össze. A testátló és az egyik végpontjából kiinduló él által meghatározott sík a kockát egy téglalapban metszi. Ezért feltehetjük, hogy a pont az ábrán látható D pont, az egyenes pedig a HB egyenes. A kocka élhosszát a-val jelölve DB = \sqrt2
a, HB = \sqrt3 a. A BDH derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága éppen a D pontnak a HB egyenestől való távolsága, azaz 1 cm. A DBH háromszög területét kétféleképpen felírva \frac{BH
\cdot 1}{2} = \frac{DB \cdot DH}{2}, azaz \frac{\sqrt3 a \cdot
1}{2} = \frac{\sqrt2 a \cdot a}{2}. Ebből kapjuk, hogy a=
\frac{\sqrt6}{2} cm, tehát a kocka térfogata a^3 = \frac{3
\sqrt6}{4} cm^3.

Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap