KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Játékszabályok
Aktuális feladatok
A verseny állása
Regisztráció

 

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

hirdetés

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. Egy kör alakú versenypályának egy pontjáról egyszerre indult el 3 futó egy irányban, mindegyik egyenletes sebességgel. Az első 6 perc alatt lekörözte a másodikat, 10 perc alatt a harmadikat. Hány perc alatt érte utol a harmadik a másodikat? (Az első, második, harmadik megnevezés jól láthatóan nem a helyezésre, hanem a futók sorszámára vonatkozik.)
  (A) 12
  (B) 13
  (C) 14
  (D) 15
  (E) 16

Helyes válasz: D

Indoklás: Legyen a futók sebessége sorban u,v,w, a pálya kerülete k, a keresett idő pedig, ahány perc alatt a harmadik futó lekörözte a másodikat, x. A megtett utakra a következő egyeneleteket írhatjuk fel:

6u=6v+k,  vagyis  (1)  6u-6v-k=0,

10u=10w+k,  vagyis  (2)  10u-10w-k=0,

xw=xv+k,  vagyis  (3)  xw-xv-k=0.

Az (1) egyenletet 5x-szel, (2)-t 3x-szel, (3)-at 30-cal szorozva u,v,w szorzója mindegyik egyenletben 30x vagy -30x lesz:

(4)   30xu-30xv-5xk=0,

(5)   30xu-30xw-3xk=0,

(6)   30xw-30xv-30k=0.

(5) és (6) összegéből kivonva (4)-et u,v és w kiesik: 2xk-30k=0. Minthogy k\neq0, ebből x=15. Tehát a harmadik futó 15 perc alatt körözte le a másodikat.


2. feladat. 7200 forintért háromféle ajándéktárgyat vettünk, összesen 20 darabot. Egységáruk 600, 500, 100 forint volt. Hányféleképpen vásárolhattunk a tárgyakból?
  (A) 2
  (B) 4
  (C) 5
  (D) 7
  (E) 24

Helyes válasz: A

Indoklás: Legyen a 600,500,100 Ft egységárú tárgyak száma rendre x,y,z, így az

(1)   x+y+z=20

(2)   600x+500y+100z=7200

egyenletrendszert kell megoldanunk, de megoldásnak csak pozitív egész számot fogadhatunk el. (2)-t 100-zal egyszerűsítve, és kivonva belőle (1)-et kapjuk, hogy

(3)   5x+4y=52.

Ezt x=4.(13-x-y) alakban írva látható, hogy x egy 4-gyel osztható szám: x=4t és így (3)-ból y=13-5t. Az x,y>0 feltételből látjuk, hogy t>0, másrészt t<\frac{13}{5}, azaz csak a t=1, ill. t=2 értékek jöhetnek szóba. Ezekkel

x1=4,   y1=8,   z1=8

x2=8,   y2=3,   z2=9,

azaz a vásárlás kétféleképpen volt lehetséges.


3. feladat. Egy tömör, 1 dm élhosszúságú kocka mindegyik lapjára olyan kisebb négyzetet rajzolunk, amelynek középpontja egybeesik a lap középpontjával, oldalai pedig párhuzamosak a lap éleivel. A berajzolt négyzet oldala az alap- és fedőlapon a, az elő- és hátlapon b, a bal és jobb oldallapon c, ahol c<b<a<1. Egymás után eltávolítjuk a c,b,a oldalú négyzetpárokkal meghatározott négyzetes hasábokat (a második és harmadik esetben a hasábok terében még ottlévő anyagot). Mennyi lesz a+b+c értéke, ha az egymás után kiemelt részek és a maradéktest térfogata egyenlő? (Azaz minden egyes test térfogata \frac14 dm3.)
  (A) \approx0,951
  (B) \approx1,488
  (C) \approx1,916
  (D) \approx2,340
  (E) \approx2,466

Helyes válasz: C

Indoklás: A kiemelt résztestek és a maradéktest térfogatai egyenlők, azaz mindegyik \frac14 ~ dm^3. Az először kiemelt test egy négyzetes oszlop, melynek térfogata V_1 = c^2 \cdot 1 = \frac14, innen c=\frac12.

Másodszor b alapélű, 1 magasságú négyzetes hasábot kell kiemelnünk, amibe beleesik az előbb kivágott négyzetes oszlop egy része is. Így ha ismét \frac14 ~ dm^3 anyagot akarunk kifaragni, akkor b>\frac12 élű négyzetes oszlopot kell vágnunk a kockába. Az ebbe eső, már üres rész egy c alapélű, b magasságú négyzetes oszlop. Az eltávolított anyag térfogata tehát - ami ismét a kocka negyede kell, hogy legyen -

V_2 = b^2 - c^2 b = b^2 - \frac{b}{4} = \frac14,

ennek pozitív gyöke b= \frac{1 + \sqrt{17}}{8} \approx 0,640.

A harmadik kiemelt résztesten már két négyzetes oszlop alakú átfúrás van, tengelyeik egymásra merőlegesek. Külön-külön c2a, ill. b2a az űrtartalmuk, ha azonban V3-at ezeknek a2-ből való levonásával számítanánk, a második résztesten lévő lyuk kétszeresét vonnánk le, ezért egyszer vissza kell adnunk:

V_3 = a^2 - c^2 a - b^2 a + c^2 b = \frac14,

ahonnan c és b előbb kapott értékeit behelyettesítve

32a^2 - (17 + \sqrt{17})a - (7 - \sqrt{17}) = 0,

melynek pozitív gyöke a= \frac{17 + \sqrt{17} + \sqrt{1202 - 94\sqrt{17}}}{64} \approx 0,776. Ezzel a+b+c\approx1,916.


4. feladat. Az M,N,P lakótelepüléseket egyenes utak kötik össze. Az M-ből N-be vivő délnyugati irányú út hossza 6 km, és emelkedése 14°. N-ből P-be pedig kelet felé jutunk el, 8°-os emelkedésű, 7 km hosszú úton. Mekkora az MP út emelkedése?
  (A) \approx18,6°
  (B) \approx19,4°
  (C) \approx22,1°
  (D) \approx23,3°
  (E) \approx25,9°

Helyes válasz: E

Indoklás: Az első két útszakasz vetületének hossza az M ponton átmenő vízszintes síkon MN'=6.cos (14°)\approx5,822 km, ill. N'P'=7.cos (8°)\approx6,932 km, a köztük lévő szög pedig 45°. Így a koszinusz-tétel alapján MP vetületének a hossza MP'\approx4,988 km. Az N telep magassága M-hez viszonyítva 6.sin (14°)\approx1,452 km, a P telepé N-hez viszonyítva 7sin (8°)\approx0,974 km, tehát M és P magasságkülönbsége P'P\approx2,426 km. Így az MPP' derékszögű háromszögből az MP út hossza MP\approx5,55 km, \delta emelkedése pedig tan \delta=P'P/MP', és így \delta\approx25,9°.


5. feladat. Egy kosárban 20 alma közül 5 férges. Hányféleképpen vehetünk ki 3 almát úgy, hogy legyen közötte férges?
  (A) 596
  (B) 624
  (C) 685
  (D) 742
  (E) 790

Helyes válasz: C

Indoklás: Összesen \binom{20}{3}-féleképpen vehetünk ki 3 almát a 20-ból. Ez megegyezik azon lehetőségek számának összegével, amikor vagy van a kihúzottak között férges, vagy nincs. Ez utóbbi annyiféleképpen lehetséges, ahányféleképpen az egészségesek közül ki tudunk választani 3 almát, azaz \binom{15}{3}-féleképpen.

Ezzel \binom{20}{3} - \binom{15}{3} = 685-féleképpen választhatunk ki 3 almát úgy, hogy legyen közte férges.

Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap