Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

Hírek, hirdetések Játekszabályok Az aktuális feladatok Eredmények A korábbi feladatok Regisztráció

Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. Egy kör alakú versenypályának egy pontjáról egyszerre indult el 3 futó egy irányban, mindegyik egyenletes sebességgel. Az első 6 perc alatt lekörözte a másodikat, 10 perc alatt a harmadikat. Hány perc alatt érte utol a harmadik a másodikat? (Az első, második, harmadik megnevezés jól láthatóan nem a helyezésre, hanem a futók sorszámára vonatkozik.)
  (A) 12
  (B) 13
  (C) 14
  (D) 15
  (E) 16

Helyes válasz: D

Indoklás: Legyen a futók sebessége sorban u,v,w, a pálya kerülete k, a keresett idő pedig, ahány perc alatt a harmadik futó lekörözte a másodikat, x. A megtett utakra a következő egyeneleteket írhatjuk fel:

6u=6v+k, vagyis (1) 6u-6v-k=0,

10u=10w+k, vagyis (2) 10u-10w-k=0,

xw=xv+k, vagyis (3) xw-xv-k=0.

Az (1) egyenletet 5x-szel, (2)-t 3x-szel, (3)-at 30-cal szorozva u,v,w szorzója mindegyik egyenletben 30x vagy -30x lesz:

(4) 30xu-30xv-5xk=0,

(5) 30xu-30xw-3xk=0,

(6) 30xw-30xv-30k=0.

(5) és (6) összegéből kivonva (4)-et u,v és w kiesik: 2xk-30k=0. Minthogy k $\neq$ 0, ebből x=15. Tehát a harmadik futó 15 perc alatt körözte le a másodikat.

2. feladat. 7200 forintért háromféle ajándéktárgyat vettünk, összesen 20 darabot. Egységáruk 600, 500, 100 forint volt. Hányféleképpen vásárolhattunk a tárgyakból?
  (A) 2
  (B) 4
  (C) 5
  (D) 7
  (E) 24

Helyes válasz: A

Indoklás: Legyen a 600,500,100 Ft egységárú tárgyak száma rendre x,y,z, így az

(1) x+y+z=20

(2) 600x+500y+100z=7200

egyenletrendszert kell megoldanunk, de megoldásnak csak pozitív egész számot fogadhatunk el. (2)-t 100-zal egyszerűsítve, és kivonva belőle (1)-et kapjuk, hogy

(3) 5x+4y=52.

Ezt x=4^.(13-x-y) alakban írva látható, hogy x egy 4-gyel osztható szám: x=4t és így (3)-ból y=13-5t. Az x,y>0 feltételből látjuk, hogy t>0, másrészt $t<\frac{13}{5}$ , azaz csak a t=1, ill. t=2 értékek jöhetnek szóba. Ezekkel

x₁=4, y₁=8, z₁=8

x₂=8, y₂=3, z₂=9,

azaz a vásárlás kétféleképpen volt lehetséges.

3. feladat. Egy tömör, 1 dm élhosszúságú kocka mindegyik lapjára olyan kisebb négyzetet rajzolunk, amelynek középpontja egybeesik a lap középpontjával, oldalai pedig párhuzamosak a lap éleivel. A berajzolt négyzet oldala az alap- és fedőlapon a, az elő- és hátlapon b, a bal és jobb oldallapon c, ahol c<b<a<1. Egymás után eltávolítjuk a c,b,a oldalú négyzetpárokkal meghatározott négyzetes hasábokat (a második és harmadik esetben a hasábok terében még ottlévő anyagot). Mennyi lesz a+b+c értéke, ha az egymás után kiemelt részek és a maradéktest térfogata egyenlő? (Azaz minden egyes test térfogata $\frac14$ dm³.)
  (A) $\approx$ 0,951
  (B) $\approx$ 1,488
  (C) $\approx$ 1,916
  (D) $\approx$ 2,340
  (E) $\approx$ 2,466

Helyes válasz: C

Indoklás: A kiemelt résztestek és a maradéktest térfogatai egyenlők, azaz mindegyik $\frac14 ~ dm^3$ . Az először kiemelt test egy négyzetes oszlop, melynek térfogata $V_1 = c^2 \cdot 1 = \frac14$ , innen $c=\frac12$ .

Másodszor b alapélű, 1 magasságú négyzetes hasábot kell kiemelnünk, amibe beleesik az előbb kivágott négyzetes oszlop egy része is. Így ha ismét $\frac14 ~ dm^3$ anyagot akarunk kifaragni, akkor $b>\frac12$ élű négyzetes oszlopot kell vágnunk a kockába. Az ebbe eső, már üres rész egy c alapélű, b magasságú négyzetes oszlop. Az eltávolított anyag térfogata tehát - ami ismét a kocka negyede kell, hogy legyen -

$V_2 = b^2 - c^2 b = b^2 - \frac{b}{4} = \frac14,$

ennek pozitív gyöke $b= \frac{1 + \sqrt{17}}{8} \approx 0,640$ .

A harmadik kiemelt résztesten már két négyzetes oszlop alakú átfúrás van, tengelyeik egymásra merőlegesek. Külön-külön c²a, ill. b²a az űrtartalmuk, ha azonban V₃-at ezeknek a²-ből való levonásával számítanánk, a második résztesten lévő lyuk kétszeresét vonnánk le, ezért egyszer vissza kell adnunk:

$V_3 = a^2 - c^2 a - b^2 a + c^2 b = \frac14,$

ahonnan c és b előbb kapott értékeit behelyettesítve

$32a^2 - (17 + \sqrt{17})a - (7 - \sqrt{17}) = 0,$

melynek pozitív gyöke $a= \frac{17 + \sqrt{17} + \sqrt{1202 - 94\sqrt{17}}}{64} \approx 0,776$ . Ezzel a+b+c $\approx$ 1,916.

4. feladat. Az M,N,P lakótelepüléseket egyenes utak kötik össze. Az M-ből N-be vivő délnyugati irányú út hossza 6 km, és emelkedése 14°. N-ből P-be pedig kelet felé jutunk el, 8°-os emelkedésű, 7 km hosszú úton. Mekkora az MP út emelkedése?
  (A) $\approx$ 18,6°
  (B) $\approx$ 19,4°
  (C) $\approx$ 22,1°
  (D) $\approx$ 23,3°
  (E) $\approx$ 25,9°

Helyes válasz: E

Indoklás: Az első két útszakasz vetületének hossza az M ponton átmenő vízszintes síkon MN'=6^.cos (14°) $\approx$ 5,822 km, ill. N'P'=7^.cos (8°) $\approx$ 6,932 km, a köztük lévő szög pedig 45°. Így a koszinusz-tétel alapján MP vetületének a hossza MP' $\approx$ 4,988 km. Az N telep magassága M-hez viszonyítva 6^.sin (14°) $\approx$ 1,452 km, a P telepé N-hez viszonyítva 7sin (8°) $\approx$ 0,974 km, tehát M és P magasságkülönbsége P'P $\approx$ 2,426 km. Így az MPP' derékszögű háromszögből az MP út hossza MP $\approx$ 5,55 km, $\delta$ emelkedése pedig tan $\delta$ =P'P/MP', és így $\delta$ $\approx$ 25,9°.

5. feladat. Egy kosárban 20 alma közül 5 férges. Hányféleképpen vehetünk ki 3 almát úgy, hogy legyen közötte férges?
  (A) 596
  (B) 624
  (C) 685
  (D) 742
  (E) 790

Helyes válasz: C

Indoklás: Összesen $\binom{20}{3}$ -féleképpen vehetünk ki 3 almát a 20-ból. Ez megegyezik azon lehetőségek számának összegével, amikor vagy van a kihúzottak között férges, vagy nincs. Ez utóbbi annyiféleképpen lehetséges, ahányféleképpen az egészségesek közül ki tudunk választani 3 almát, azaz $\binom{15}{3}$ -féleképpen.

Ezzel $\binom{20}{3} - \binom{15}{3} = 685$ -féleképpen választhatunk ki 3 almát úgy, hogy legyen közte férges.

Támogatóink:

ELTE