KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
1997. szeptember

Általános iskolások részére javasolt példák: C. 473., C. 474., Gy. 3142.

A pontversenyben kitűzött C gyakorlatok

C. 473. Előfordulhat-e egy naptári évben, hogy egyetlen vasárnap sem esik hetedikére?

C. 474. Egy gyalogos 3,5 órát gyalogolt. Bármely 1 órás időszak alatt 5 km utat tett meg. Lehet-e az átlagsebessége nagyobb, mint 5 km/óra?

C. 475. Az ABC háromszög CC1 súlyvonalán vegyük fel azt a P pontot, amelyre ( tetszőleges egész számok). Milyen arányban osztja P az AP, illetve a BP egyenesnek a háromszögbe eső szakaszát?

C. 476. Egy egyenes kúp alapkörének átmérője és alkotója is 20 cm. Legfeljebb milyen hosszú öntapadó csík ragasztható a kúp palástjára gyűrődés, szakadás (vágás) és átfedés nélkül, ha a csík szélessége 2 cm?


A C gyakorlatok megoldásai a következő címekre küldhetők:


KöMaL Szerkesztőség (C gyakorlatok), Budapest, Pf. 47. 1255
illetve
megoldas@komal.elte.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 1997. október 15.


A pontversenyben kitűzött gyakorlatok

Gy. 3142. Melyik az a legkisebb 28-cal osztható pozitív egész szám, amelynek a 10-es számrendszerbeli alakja 28-ra végződik, és számjegyeinek összege 28?

Gy. 3143. Rajzoljunk a síkra egy sakktáblát. Legyen a fehér mezők középpontja A1, A2, ..., A32, a fekete mezők középpontja B1, B2, ..., B32, P pedig a sakktábla egy tetszőleges pontja. Bizonyítsuk be, hogy A1P2+ A2P2+ A32P2= B1P2+ B2P2+ B32P2. (H)

Gy. 3144. Felírható-e a 7/17 szám 1/a+1/b alakban, ahol a és b pozitív egészek?

Sarinay Dávid, Siófok

Gy. 3145. Oldjuk meg az egyenlőtlenséget.

Gy. 3146. Egy derékszögű háromszög befogói a és b, beírható körének sugara pedig r. Mutassuk meg, hogy .

Varga István, Békéscsaba

Gy. 3147. Legyen egy szabályos hatszög belső P pontján átmenő e egyenes párhuzamos a hatszög egyik oldalával. Húzzunk P-n át még öt egyenest úgy, hogy az összesen hat egyenes közül bármely két szomszédos 30o-os szöget zárjon be. Az egyenesek a hatszöget 12 részre osztják. Mutassuk meg, hogy e 12 rész három csoportba osztható úgy, hogy az egyes csoportokban lévő részek területeinek összege megegyezik. (H)

András Szilárd, Kolozsvár

Gy. 3148. Legyen e1, e1 és e1 egy kocka három kitérő éle. Határozzuk meg az E1E2E3 háromszögek súlypontjainak halmazát, ha Ei az ei él egy pontja (i=1,2,3).

Gy. 3149. Az ABC háromszög AB oldala 1 egység, a rajta levő szögek pedig 15o és 60o. Határozzuk meg a háromszög másik két oldalának hosszát trigonometrikus függvények használata nélkül.

Gáspár Merse Előd, Budapest

A pontversenyben kitűzött feladatok

F. 3184. Bizonyítsuk be, hogy esetén .

F. 3185. Bizonyítsuk be, hogy az 1-nél nem kisebb számokra értelmezett művelet asszociatív.

Pataki János, Duino, Olaszország

F. 3186. Tegyük fel, hogy a nemnegatív számokra teljesül, ha . Bizonyítsuk be, hogy .

Javasolták: Páles Csaba, Debrecen, Pap Gyula, Debrecen és Vörös Zoltán, Budapest

F. 3187. Melyek azok a háromszögek, amelyekre a2+b2+c2=8R2, ahol a, b, c a háromszög oldalainak, R a körülírt kör sugarának hosszát jelöli?

Schmidt Edit, Budapest

F. 3188. Adott az O középpontú kör egy A pontja és egy O-n átmenő d egyenes. Egy A-ból induló szelő a kört B-ben, a d-t D-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy ha a szelő A körül forog, bármely helyzete esetén az O, B, D pontokon átmenő kör O-n kívül átmegy még egy fix ponton.

F. 3189. Egy háromszög szögei . Bizonyítsuk be, hogy .

Mihalovics Sándor, Esztergom

A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

N. 144. Legyen n tetszőleges pozitív egész. Mutassuk meg, hogy 2.(3n)! osztható n!(n+1)!(n+2)!-sal.

N. 145. Van-e olyan f(x,y,z) valós együtthatós polinom, amely pontosan akkor pozitív, ha az |x|, |y|, |z| hosszúságú szakaszokból háromszög szerkeszthető?

Benkő Dávid, Budapest

N. 146. Igazoljuk, hogy a (0, 1) intervallumba eső tetszőleges páratlan nevezőjű r racionális számhoz találhatók olyan x, y, z egészek, hogy az r-rel egyenlő.

N. 147. Igaz-e, hogy tetszőleges tetraéder lapjain van egy-egy olyan belső pont, hogy azok egy szabályos tetraéder csúcsai?


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:


Bolyai János Matematikai Társulat (KöMaL feladatok); Budapest, Pf. 433. 1371
illetve
megoldas@komal.elte.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 1997. október 15.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley